תוֹכֶן

• צעדים
• שיטה 1 מתוך 3: הבנת הצהרת הבעיה
• שיטה 2 מתוך 3: גיבוש ההוכחה
• שיטה 3 מתוך 3: רשום את הראיות
• טיפים

מציאת הוכחה מתמטית יכולה להיות משימה מרתיעה, אך הכרת המתמטיקה וכתיבת ההוכחה תעזור לך. למרבה הצער, אין שיטות מהירות וקלות ללמוד כיצד לפתור בעיות במתמטיקה. יש ללמוד כראוי את הנושא ולזכור את המשפטים וההגדרות הבסיסיים שיהיו שימושיים עבורך בעת הוכחת הנחה מתמטית מסוימת. למד דוגמאות להוכחות מתמטיות ותרגל את עצמך כדי לעזור לך לשפר את כישוריך.

צעדים

שיטה 1 מתוך 3: הבנת הצהרת הבעיה

1. 1 קבע מה אתה רוצה למצוא. השלב הראשון הוא להבין מה בדיוק צריך להוכיח. בין היתר, זה יקבע את ההצהרה האחרונה בהוכחתך. בשלב זה, עליך גם להניח הנחות מסוימות שבתוכן תעבוד. כדי להבין טוב יותר את הבעיה ולהתחיל לפתור אותה, גלה מה אתה צריך להוכיח והנח את ההנחות הדרושות.
2. 2 צייר ציור. בעת פתרון בעיות מתמטיות, לעיתים כדאי לתאר אותן בצורה של תמונה או תרשים. הדבר חשוב במיוחד במקרה של בעיות גיאומטריות - הציור עוזר להמחיש את המצב ומקל מאוד על החיפוש אחר פתרון.
   • בעת יצירת תמונה או תרשים, השתמש בנתונים המסופקים בתנאי. סמנו את הכמויות הידועות והלא ידועות באיור.
   • הציור יקל עליך למצוא את הראיות.
3. 3 למד הוכחות למשפטים דומים. אם אינך יכול למצוא פתרון מיד, מצא משפטים דומים וראה כיצד הם מוכיחים.
   • שים לב שאתה צריך לתת נימוקים לכל שלב בהוכחה. ראה כיצד משפטים שונים מוכיחים באינטרנט או בספרי לימוד במתמטיקה.
4. 4 לשאול שאלות. זה בסדר אם אתה לא מצליח למצוא הוכחות מיד.אם אינך ברור לגבי משהו, שאל את המורה או חבריך לכיתה לגביו. אולי לחברים שלך יש אותן שאלות ותוכל לסדר אותן יחד. עדיף לשאול כמה שאלות מאשר לנסות ולמצוא הוכחות שוב ושוב.
   • פנה למורה לאחר השיעורים וברר כל שאלה לא ברורה.

שיטה 2 מתוך 3: גיבוש ההוכחה

1. 1 גיבוש הוכחה מתמטית. הוכחה מתמטית היא רצף של הצהרות הנתמכות על ידי משפטים והגדרות שמוכיחות הנחה מתמטית. הוכחות הן הדרך היחידה לקבוע אם הצהרה נכונה מתמטית.
   • היכולת לכתוב הוכחות מתמטיות מעידה על הבנה מעמיקה של הבעיה ושליטה בכלים הדרושים (לממות, משפטים והגדרות).
   • הוכחה קפדנית יכולה לעזור לך להתבונן מחדש במתמטיקה ולהרגיש את הקסם שלה. רק נסה להוכיח אמירה כדי לקבל מושג על שיטות מתמטיות.
2. 2 התחשבו בקהל שלכם. לפני שתתחיל לרשום הוכחות, עליך לחשוב למי זה מיועד ולהתחשב ברמת הידע של אנשים אלה. אם תכתוב עדויות לפרסום נוסף בכתב עת מדעי, זה יהיה שונה מזה שאתה עושה מטלה בבית הספר.
   • הכרת קהל היעד שלך תאפשר לך לרשום את הראיות תוך הכשרת הקוראים להבין אותן.
3. 3 קבע את סוג ההוכחה. ישנם מספר סוגים של הוכחות מתמטיות, והבחירה של צורה ספציפית תלויה בקהל היעד ובבעיה הנפתרת. אם אינך בטוח איזה מין לבחור, פנה למורה שלך. בתיכון נדרשת הוכחה בת שני עמודים.
   • בעת כתיבת עדויות בשתי טורים, האחד רושם את הנתונים וההצהרות הראשוניים, והשני - הראיות המתאימות לאמירות אלה. צורת סימון זו משמשת לעתים קרובות בעת פתרון בעיות גיאומטריות.
   • בצורה פחות פורמלית של כתיבת ראיות, משתמשים במבנים נכונים דקדוקית ופחות סמלים. ברמות גבוהות יותר, זהו הסימון שיש להשתמש בו.
4. 4 צייר את ההוכחה בשתי עמודות. טופס זה עוזר לארגן מחשבות ולפתור את הבעיה בעקביות. חלק את הדף לשניים בעזרת קו אנכי, וכתוב את הנתונים המקוריים שלך וההצהרות העולות ממנו בצד שמאל. רשום את ההגדרות והמשפטים המתאימים בצד ימין של כל משפט.
   • לדוגמה:
   • פינות A ו- B סמוכות - נתון;
   • זווית ABC שטוחה - מגדירה פינה שטוחה;
   • הזווית ABC היא 180 ° - הגדרת קו ישר;
   • זווית A + זווית B = זווית ABC - הכלל להוספת זוויות;
   • זווית A + זווית B = 180 ° - החלפה;
   • זווית A משלימה לזווית B - הגדרת זוויות נוספות;
   • Q.E.D.
5. 5 רשום את ההוכחה בת שתי העמודות כהוכחה בלתי פורמלית. השתמש בערך של שתי עמודות כבסיס וכתוב את ההוכחה בצורה קצרה יותר עם פחות סמלים וקיצורים.
   • לדוגמה: נניח שהפינות A ו- B צמודות. על פי ההשערה, זוויות אלו משלימות זו את זו. כאשר הם סמוכים, זווית A וזווית B יוצרים קו ישר. אם צדי הפינה יוצרים קו ישר, הזווית היא 180 °. הוסף זוויות A ו- B ליצירת קו ABC ישר. לפיכך, סכום הזוויות A ו- B הוא 180 °, כלומר זוויות אלו משלימות. Q.E.D.

שיטה 3 מתוך 3: רשום את הראיות

1. 1 למד את שפת הראיות. הצהרות וביטויים סטנדרטיים משמשים לכתיבת הוכחות מתמטיות. עליך ללמוד את המשפטים האלה ולדעת כיצד להשתמש בהם.
   • הביטוי "אם A, אז B" פירושו שאם הצהרה A נכונה, אז גם משפט ב 'חייב להיות נכון.
   • "A אם ורק אם B" פירושו שהאמירות A ו- B הן נכונות או שקריות בעת ובעונה אחת. בנייה זו מקבילה לשתי הצהרות סימולטניות: "אם A, אז B" ו- "אם A נכשל, אז B לא מחזיק".
   • "A רק אם B" שווה ל- "אם B, אז A", כך שהבנייה הזו אינה נפוצה. עם זאת, יש לזכור זאת.
   • בעת רישום הוכחות, נסה להשתמש ב"אנחנו "במקום בכינוי האישי" אני ".
2. 2 רשום את כל הנתונים המקוריים. בעת חיבור הוכחה, הדבר הראשון שצריך לעשות הוא להגדיר ולכתוב את כל מה שניתן בבעיה. במקרה זה, יעמדו לנגד עיניך כל הנתונים הראשוניים, שעל בסיסם יש צורך לקבל החלטה. קרא בעיון את הצהרת הבעיה ורשום את כל מה שניתן בה.
   • לדוגמא: הוכיחו ששתי זוויות סמוכות (זווית A וזווית B) משלימות זו את זו.
   • בהתחשב: פינות סמוכות A ו- B.
   • הוכיח: זווית A משלימה לזווית B.
3. 3 הגדר את כל המשתנים. בנוסף לרישום הנתונים המקוריים, כדאי גם לכתוב את שאר המשתנים. כדי להקל על הקורא, רשום את המשתנים ממש בתחילת ההוכחה. אם לא מוגדרים משתנים, הקורא עלול להתבלבל ולא להבין את ההוכחה שלך.
   • אל תשתמש במשתנים שלא הוגדרו בעבר במהלך ההוכחה.
   • לדוגמה: בבעיה הנחשבת לעיל, המשתנים הם ערכי הזוויות A ו- B.
4. 4 נסה למצוא את ההוכחה בסדר הפוך. הרבה יותר קל לפתור סדר הפוך. התחל במה שאתה צריך להוכיח וחשוב כיצד תוכל לחבר את המסקנות למצב הראשוני.
   • קרא שוב את שלבי ההתחלה והסיום ובדוק אם הם דומים זה לזה. בעת פעולה זו, השתמש בתנאים הראשונים, בהגדרות ובהוכחות דומות מבעיות אחרות.
   • שאל את עצמך שאלות והתקדם. כדי להוכיח אמירות בודדות, שאל את עצמך, "מדוע זה המצב?" - וגם: "יכול להיות שזה לא בסדר?"
   • זכור לרשום את השלבים הבודדים ברצף עד לקבלת התוצאה הסופית.
   • לדוגמא: אם זוויות A ו- B משלימות, הסכום שלהן צריך להיות 180 °. על פי ההגדרה של זוויות סמוכות, זוויות A ו- B יוצרות קו ישר ABC. מכיוון שהקו יוצר זווית של 180 °, הזוויות A ו- B מסתכמות עד 180 °.
5. 5 סדר את השלבים האישיים של ההוכחה כך שיהיה עקבי והגיוני. התחל מההתחלה ועלה עד לתזה הניתנת להוכחה. אף שלפעמים מועיל להתחיל בסוף החיפוש אחר הוכחות, עליך לבצע את הסדר הנכון בעת ​​כתיבתן. תזות נפרדות צריכות לעקוב אחת אחרי השנייה, כך שההוכחה תהיה הגיונית ולא תעלה ספקות.
   • ראשית, שקול את ההנחות שנעשו.
   • אשר את ההצהרות שנאמרו בצעדים פשוטים ופשוטים כך שלקורא אין ספק לגבי נכונותן.
   • לפעמים צריך לשכתב את ההוכחה יותר מפעם אחת. המשך לקבץ אמירות והעדויות שלהן עד שתגיע למבנה ההגיוני ביותר.
   • לדוגמא: נתחיל מההתחלה.
     • זוויות A ו- B צמודות.
     • צדי פינת ABC יוצרים קו ישר.
     • זווית ABC היא 180 °.
     • זווית A + זווית B = זווית ABC.
     • זווית A + זווית B = זווית 180 °.
     • זווית A משלימה לזווית B.
6. 6 אין להשתמש בחצים ובקיצורים בהוכחה. ניתן להשתמש בקיצורים וסמלים שונים בטיוטה, אך אין לכלול אותם בטיוטה הסופית מכיוון שהדבר עלול לבלבל את הקוראים. השתמש במקום זאת במילים כמו "לכן" ו"אז ".
   • כחריגים, מותר קיצורים מובנים, למשל, "כלומר. ה. " (כלומר), אולם השתמש בהם כראוי.
7. 7 תמכו בכל תזה במשפט, בחוק או בהגדרה. ההוכחה חייבת להיות מושלמת. אינך יכול להצהיר הצהרות בלתי מבוססות. ראה כיצד בנויות הוכחות לבעיות דומות לשלך.
   • נסה ליישם את הראיות שאתה מוצא על מקרים בהם זה לא אמור להיות נכון ובדוק אם כן. אם ההוכחה תקפה במקרים כאלה, בדוק היכן טעית.
   • הוכחות לבעיות גיאומטריות נכתבות לרוב בשתי עמודות. קביעות כתובות מימין, וההוכחות שלהן ניתנות משמאל. במקביל, בפרסומים, הוכחות מתמטיות ערוכות בצורה של פסקאות עם הדקדוק המתאים.
8. 8 סיימו את ההוכחות במשפט "כנדרש להוכיח". בסוף ההוכחה, חייבת להיות תזה הוכחה. אחרי זה, עליך לכתוב "מה נדרש להוכיח" (בקיצור "ח. וכו '" או סמל בצורת ריבוע מלא) - המשמעות היא שההוכחה הושלמה.
   • בלטינית הביטוי "מה שנדרש להוכיח" תואם את הקיצור Q.E.D. (quod erat demonstrandum, כלומר, "מה שנדרש להציג").
   • אם אתה בספק לגבי נכונות ההוכחה, רק כתוב כמה משפטים על איזו מסקנה הגעת ומדוע היא חשובה.

טיפים

• כל המידע הניתן בראיות חייב לשרת את השגת המטרה המוצהרת. אל תכלול את מה שאתה יכול בלעדיו בהוכחה שלך.