תוֹכֶן

• צעדים
• חלק 1 מתוך 4: איך לכתוב משוואה
• חלק 2 מתוך 4: איך לכתוב את האלגוריתם של אוקלידס
• חלק 3 מתוך 4: כיצד למצוא פתרון באמצעות האלגוריתם של אוקלידס
• חלק 4 מתוך 4: מצא פתרונות אינסופיים אחרים

כדי לפתור משוואה דיאופנטית לינארית, עליך למצוא את ערכי המשתנים "x" ו- "y", שהם מספרים שלמים. פתרון שלם מורכב מהרגיל ודורש מערך פעולות ספציפי. ראשית, עליך לחשב את המחלק המשותף הגדול ביותר (GCD) של המקדמים, ולאחר מכן למצוא פתרון. לאחר שמצאת פתרון שלם אחד למשוואה לינארית, תוכל להשתמש בתבנית פשוטה כדי למצוא מספר אינסופי של פתרונות אחרים.

צעדים

חלק 1 מתוך 4: איך לכתוב משוואה

1. 1 כתוב את המשוואה בצורה סטנדרטית. משוואה לינארית היא משוואה שבה מערכי המשתנים אינם עולים על 1. כדי לפתור משוואה לינארית כזו, ראשית כתבו אותה בצורה סטנדרטית. הצורה הסטנדרטית של משוואה לינארית נראית כך: ${ displaystyle Ax + By = C}$, איפה ${ displaystyle A, B}$ ו ${ displaystyle C}$ - מספרים שלמים.
   • אם המשוואה ניתנת בצורה אחרת, הביאו אותה לצורה סטנדרטית באמצעות פעולות אלגבריות בסיסיות. למשל, בהתחשב במשוואה ${ displaystyle 23x + 4y -7x = -3y + 15}$... תן מונחים דומים וכתוב את המשוואה כך: ${ displaystyle 16x + 7y = 15}$.
2. 2 פשט את המשוואה (במידת האפשר). כאשר אתה כותב את המשוואה בצורה סטנדרטית, הסתכל על המקדמים ${ displaystyle A, B}$ ו ${ displaystyle C}$... אם לסיכויים אלה יש GCD, חלקו את כל שלושת הסיכויים. הפתרון למשוואה פשוטה כל כך יהיה גם הפתרון למשוואה המקורית.
   • לדוגמה, אם כל שלושת המקדמים שווים, חלקו אותם ב -2 לפחות. לדוגמה:
     • ${ displaystyle 42x + 36y = 48}$ (כל החברים מתחלקים ב -2)
     • ${ displaystyle 21x + 18y = 24}$ (כעת כל החברים מתחלקים ב -3)
     • ${ displaystyle 7x + 6y = 8}$ (כבר אי אפשר לפשט את המשוואה הזו)
3. 3 בדוק אם ניתן לפתור את המשוואה. במקרים מסוימים, אתה יכול לקבוע מיד כי למשוואה אין פתרונות. אם המקדם "C" אינו מתחלק ב- GCD של המקדמים "A" ו- "B", אין למשוואה פתרונות.
   • לדוגמה, אם שני המקדמים ${ displaystyle A}$ ו ${ displaystyle B}$ הם אפילו, אז המקדם ${ displaystyle C}$ חייב להיות אחיד. אבל אם ${ displaystyle C}$ מוזר, אז אין פתרון.
     • המשוואה ${ displaystyle 2x + 4y = 21}$ ללא פתרונות שלמים.
     • המשוואה ${ displaystyle 5x + 10y = 17}$ אין פתרונות שלמים מכיוון שהצד השמאלי של המשוואה מתחלק ב- 5 והצד הימני אינו.

חלק 2 מתוך 4: איך לכתוב את האלגוריתם של אוקלידס

1. 1 להבין את האלגוריתם של אוקלידס. זוהי סדרה של חלוקות חוזרות בהן השארית הקודמת משמשת כמחלק הבא. המחלק האחרון המחלק את המספרים באופן אינטגרלי הוא המחלק הנפוץ הגדול ביותר (GCD) מבין שני המספרים.
   • לדוגמה, בואו למצוא את ה- GCD של המספרים 272 ו -36 באמצעות האלגוריתם של אוקלידס:
     • ${ displaystyle 272 = 7 * 36 + 20}$ - חלקו את המספר הגדול יותר (272) במספר הקטן (36) ושימו לב לשאר (20);
     • ${ displaystyle 36 = 1 * 20 + 16}$ - חלק את המחלק הקודם (36) בשאר הקודם (20). שימו לב לשאריות החדשות (16);
     • ${ displaystyle 20 = 1 * 16 + 4}$ - חלק את המחלק הקודם (20) בשאר הקודם (16). שימו לב לשאריות החדשות (4);
     • ${ displaystyle 16 = 4 * 4 + 0}$ - חלק את המחלק הקודם (16) בשאר הקודם (4). מכיוון שהשאר הוא 0, אנו יכולים לומר ש -4 הוא ה- GCD של שני המספרים המקוריים 272 ו -36.
2. 2 החלת האלגוריתם של אוקלידס על המקדמים "A" ו- "B". כאשר אתה כותב את המשוואה הלינארית בצורה סטנדרטית, קבע את המקדמים "A" ו- "B" ולאחר מכן החל עליהם את האלגוריתם של אוקלידס כדי למצוא את ה- GCD. לדוגמה, נתון משוואה לינארית ${ displaystyle 87x-64y = 3}$.
   • להלן האלגוריתם של אוקלידס למקדמים A = 87 ו- B = 64:
     • ${ displaystyle 87 = 1 * 64 + 23}$
     • ${ displaystyle 64 = 2 * 23 + 18}$
     • ${ displaystyle 23 = 1 * 18 + 5}$
     • ${ displaystyle 18 = 3 * 5 + 3}$
     • ${ displaystyle 5 = 1 * 3 + 2}$
     • ${ displaystyle 3 = 1 * 2 + 1}$
     • ${ displaystyle 2 = 2 * 1 + 0}$
3. 3 מצא את הגורם המשותף הגדול ביותר (GCD). מכיוון שהמחלק האחרון היה 1, GCD 87 ו- 64 הם 1. לפיכך, 87 ו -64 הם מספרים ראשוניים יחסית זה לזה.
4. 4 נתח את התוצאה. כאשר אתה מוצא את מקדמי ה- gcd ${ displaystyle A}$ ו ${ displaystyle B}$, השווה אותו עם המקדם ${ displaystyle C}$ המשוואה המקורית. אם ${ displaystyle C}$ מתחלק על ידי gcd ${ displaystyle A}$ ו ${ displaystyle B}$, למשוואה יש פתרון שלם; אחרת למשוואה אין פתרונות.
   • למשל, המשוואה ${ displaystyle 87x-64y = 3}$ ניתן לפתור כי 3 מתחלק ב- 1 (gcd = 1).
   • לדוגמה, נניח ש- GCD = 5. 3 אינו מתחלק באופן שווה ב- 5, ולכן למשוואה זו אין פתרונות שלמים.
   • כפי שמוצג להלן, אם למשוואה יש פתרון שלם אחד, יש לה גם אינסוף פתרונות שלמים אחרים.

חלק 3 מתוך 4: כיצד למצוא פתרון באמצעות האלגוריתם של אוקלידס

1. 1 מספר את השלבים לחישוב GCD. כדי למצוא את הפתרון למשוואה לינארית, עליך להשתמש באלגוריתם האוקלידי כבסיס לתהליך ההחלפה והפשטות.
   • התחל במספור השלבים לחישוב ה- GCD. תהליך החישוב נראה כך:
     • ${ displaystyle { text {שלב 1}}: 87 = (1 * 64) +23}$
     • ${ displaystyle { text {שלב 2}}: 64 = (2 * 23) +18}$
     • ${ displaystyle { text {שלב 3}}: 23 = (1 * 18) +5}$
     • ${ displaystyle { text {שלב 4}}: 18 = (3 * 5) +3}$
     • ${ displaystyle { text {שלב 5}}: 5 = (1 * 3) +2}$
     • ${ displaystyle { text {שלב 6}}: 3 = (1 * 2) +1}$
     • ${ displaystyle { text {שלב 7}}: 2 = (2 * 1) +0}$
2. 2 שימו לב לשלב האחרון, שבו יש שארית. כתוב מחדש את המשוואה עבור שלב זה כדי לבודד את השאר.
   • בדוגמה שלנו, השלב האחרון עם שארית הוא שלב 6. השאר הוא 1. שכתב את המשוואה בשלב 6 כדלקמן:
     • ${ displaystyle 1 = 3- (1 * 2)}$
3. 3 לבודד את שאר השלב הקודם. תהליך זה הוא צעד אחר צעד "התקדמות". בכל פעם תבודד את השאר במשוואה בשלב הקודם.
   • לבודד את שאר המשוואה בשלב 5:
     • ${ displaystyle 2 = 5- (1 * 3)}$ אוֹ ${ displaystyle 2 = 5-3}$
4. 4 תחליף ופשט. שימו לב שהמשוואה בשלב 6 מכילה את המספר 2, ובמשוואה בשלב 5 המספר 2 מבודד. אז במקום "2" במשוואה בשלב 6, החלף את הביטוי בשלב 5:
   • ${ displaystyle 1 = 3-2}$ (משוואה של שלב 6)
   • ${ displaystyle 1 = 3- (5-3)}$ (במקום 2 הוחלף ביטוי)
   • ${ displaystyle 1 = 3-5 + 3}$ (סוגריים פתוחים)
   • ${ displaystyle 1 = 2 (3) -5}$ (מְפוּשָׁט)
5. 5 חזור על תהליך ההחלפה והפשט. חזור על התהליך המתואר ועבר באלגוריתם האוקלידי בסדר הפוך. בכל פעם תשכתב את המשוואה מהשלב הקודם ותחבר אותה למשוואה האחרונה שתקבל.
   • השלב האחרון שבדקנו היה שלב 5. אז עבור לשלב 4 ובודד את השאר במשוואה עבור שלב זה:
     • ${ displaystyle 3 = 18- (3 * 5)}$
   • החלף ביטוי זה עבור "3" במשוואה האחרונה:
     • ${ displaystyle 1 = 2 (18-3 * 5) -5}$
     • ${ displaystyle 1 = 2 (18) -6 (5) -5}$
     • ${ displaystyle 1 = 2 (18) -7 (5)}$
6. 6 המשך בתהליך ההחלפה והפשט. תהליך זה יחזור על עצמו עד שתגיע לשלב הראשוני של האלגוריתם האוקלידי. מטרת התהליך היא לכתוב את המשוואה עם המקדמים 87 ו -64 של המשוואה המקורית שיש לפתור. בדוגמה שלנו:
   • ${ displaystyle 1 = 2 (18) -7 (5)}$
   • ${ displaystyle 1 = 2 (18) -7 (23-18)}$ (החליף את הביטוי משלב 3)
     • ${ displaystyle 1 = 2 (18) -7 (23) +7 (18)}$
     • ${ displaystyle 1 = 9 (18) -7 (23)}$
   • ${ displaystyle 1 = 9 (64-2 * 23) -7 (23)}$ (החליף את הביטוי משלב 2)
     • ${ displaystyle 1 = 9 (64) -18 (23) -7 (23)}$
     • ${ displaystyle 1 = 9 (64) -25 (23)}$
   • ${ displaystyle 1 = 9 (64) -25 (87-64)}$ (החליף את הביטוי משלב 1)
     • ${ displaystyle 1 = 9 (64) -25 (87) +25 (64)}$
     • ${ displaystyle 1 = 34 (64) -25 (87)}$
7. 7 כתוב מחדש את המשוואה המתקבלת בהתאם למקדמים המקוריים. כאשר תחזור לשלב הראשון של האלגוריתם האוקלידי, תראה שהמשוואה המתקבלת מכילה שני מקדמים של המשוואה המקורית. כתוב מחדש את המשוואה כך שסדר המונחים שלה יתאים למקדמי המשוואה המקורית.
   • בדוגמה שלנו, המשוואה המקורית ${ displaystyle 87x-64y = 3}$... לכן, שכתב את המשוואה המתקבלת כך שהמקדמים יותאמו.שימו לב במיוחד למקדם "64". במשוואה המקורית, מקדם זה הוא שלילי, ובאלגוריתם האוקלידי הוא חיובי. לכן יש להפוך את הגורם 34 לשלילי. המשוואה הסופית תיכתב כך:
     • ${ displaystyle 87 (-25) -64 (-34) = 1}$
8. 8 השתמש במכפיל המתאים כדי למצוא פתרון. שים לב שבדוגמה שלנו, GCD = 1, ולכן המשוואה הסופית היא 1. אך המשוואה המקורית (87x-64y) היא 3. לכן, יש להכפיל את כל המונחים במשוואה הסופית ב -3 כדי לקבל את הפתרון:
   • ${ displaystyle 87 (-25 * 3) -64 (-34 * 3) = 1 * 3}$
   • ${ displaystyle 87 (-75) -64 (-102) = 3}$
9. 9 רשום את הפתרון שלם למשוואה. המספרים המוכפלים במקדמי המשוואה המקורית הם הפתרונות למשוואה זו.
   • בדוגמה שלנו, כתוב את הפתרון כצמד קואורדינטות: ${ displaystyle (x, y) = ( - 75, -102)}$.

חלק 4 מתוך 4: מצא פתרונות אינסופיים אחרים

1. 1 הבינו שיש אינסוף פתרונות. אם למשוואה לינארית יש פתרון שלם אחד, אז חייבים להיות בו פתרונות שלמים רבים לאין שיעור. להלן הוכחה מהירה (בצורה אלגברית):
   • ${ displaystyle Ax + By = C}$
   • ${ displaystyle A (x + B) + B (y-A) = C}$ (אם מוסיפים "B" ל- "x" ומחסירים "A" מ- "y", ערך המשוואה המקורית לא ישתנה)
2. 2 רשום את ערכי x ו- y המקוריים. התבנית לחישוב הפתרונות הבאים (האינסופיים) מתחילה בפתרון היחיד שכבר מצאת.
   • בדוגמה שלנו, הפתרון הוא זוג קואורדינטות ${ displaystyle (x, y) = ( - 75, -102)}$.
3. 3 הוסף את גורם "B" לערך "x". בצע זאת כדי למצוא את ערך ה- x החדש.
   • בדוגמה שלנו, x = -75 ו- B = -64:
     • ${ displaystyle x = -75 + ( - 64) = - 139}$
   • לפיכך, הערך החדש "x": x = -139.
4. 4 הפחת את גורם "A" מערך "y". כדי שערך המשוואה המקורית לא ישתנה, בעת הוספת מספר אחד ל- "x", עליך להפחית מספר אחר מ- "y".
   • בדוגמה שלנו, y = -102 ו- A = 87:
     • ${ displaystyle y = -102-87 = -189}$
   • לפיכך, הערך החדש עבור "y": y = -189.
   • צמד הקואורדינטות החדש ייכתב כך: ${ displaystyle (x, y) = ( - 139, -189)}$.
5. 5 בדוק את הפתרון. כדי לוודא שזוג הקואורדינטות החדש הוא פתרון למשוואה המקורית, חבר את הערכים למשוואה.
   • ${ displaystyle 87x-64y = 3}$
   • ${ displaystyle 87 (-139) -64 (-189) = 3}$
   • ${ displaystyle 3 = 3}$
   • מכיוון שהשוויון מתקיים, ההחלטה נכונה.
6. 6 כתוב ביטויים כדי למצוא פתרונות רבים. ערכי "x" יהיו שווים לפתרון המקורי בתוספת כל מספר של גורם "B". ניתן לכתוב זאת כביטוי הבא:
   • x (k) = x + k (B), כאשר "x (k)" הוא קבוצת ערכי "x" ו- "x" הוא הערך המקורי (הראשון) של "x" שמצאת.
     • בדוגמה שלנו:
     • ${ displaystyle x (k) = - 75-64k}$
   • y (k) = y-k (A), כאשר y (k) הוא קבוצת ערכי y ו- y הוא ערך y המקורי (הראשון) שמצאת.
     • בדוגמה שלנו:
     • ${ displaystyle y (k) = - 102-87k}$