תוֹכֶן

• מידע ראשוני
• צעדים
• חלק 1 מתוך 3: היסודות
• חלק 2 מתוך 3: תכונות הטרנספורמציה של Laplace
• חלק 3 מתוך 3: מציאת הטרנספורמציה של Laplace לפי הרחבת סדרה

טרנספורמציה של Laplace היא טרנספורמציה אינטגרלית המשמשת לפתרון משוואות דיפרנציאליות עם מקדמים קבועים. טרנספורמציה זו נמצאת בשימוש נרחב בפיזיקה ובהנדסה.

למרות שאתה יכול להשתמש בטבלאות המתאימות, כדאי להבין את הטרנספורמציה של Laplace כך שתוכל לעשות זאת בעצמך במידת הצורך.

מידע ראשוני

• נתון פונקציה ${ displaystyle f (t)}$מוגדר עבור ${ Displaystyle t geq 0.}$ לאחר מכן טרנספורמציה של לפלאס פוּנקצִיָה ${ displaystyle f (t)}$ היא הפונקציה הבאה של כל ערך ${ displaystyle s}$, שבו האינטגרל מתכנס:
  • ${ displaystyle F (s) = { mathcal {L}} {f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
• טרנספורמציה Laplace לוקחת פונקציה מאזור t (סולם הזמן) לאזור s (אזור טרנספורמציה), שבו ${ displaystyle F (ים)}$ היא פונקציה מורכבת של משתנה מורכב. זה מאפשר לך להעביר את הפונקציה לאזור שבו ניתן למצוא פתרון ביתר קלות.
• ברור שהטרנספורמציה של Laplace היא אופרטור לינארי, כך שאם עסקינן בסיכום מונחים, ניתן לחשב כל אינטגרל בנפרד.
  • ${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} [af (t) + bg (t)] e ^ {- st} mathrm {d} t = a int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t + b int _ {0} ^ { infty} g (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
• זכור כי טרנספורמציה Laplace פועלת רק אם האינטגרל מתכנס. אם הפונקציה ${ displaystyle f (t)}$ יש אי -רציפות, יש להקפיד ולהגדיר נכון את גבולות האינטגרציה על מנת להימנע מאי וודאות.

צעדים

חלק 1 מתוך 3: היסודות

1. 1 החלף את הפונקציה בנוסחת ההמרה של Laplace. תיאורטית, טרנספורמציה Laplace של פונקציה קלה מאוד לחישוב. כדוגמה, שקול את הפונקציה ${ displaystyle f (t) = e ^ {at}}$, איפה ${ Displaystyle א}$ הוא קבוע מורכב עם ${ displaystyle operatorname {Re} (s) operatorname {Re} (a).}$
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} } = int _ {0} ^ { infty} e ^ {at} e ^ {- st} mathrm {d} t}$
2. 2 העריכו את האינטגרל בשיטות הקיימות. בדוגמה שלנו, ההערכה פשוטה מאוד ותוכל להסתדר עם חישובים פשוטים. במקרים מורכבים יותר, ייתכן שיהיה צורך בשיטות מורכבות יותר, למשל שילוב על ידי חלקים או בידול תחת הסימן האינטגרלי. מצב אילוצים ${ displaystyle operatorname {Re} (s) operatorname {Re} (a)}$ פירושו שהאינטגרל מתכנס, כלומר ערכו נוטה ל- 0 as ${ Displaystyle t to infty.}$
   • ${ displaystyle { begin {align} { mathcal {L}} {e ^ {at} } & = int _ {0} ^ { infty} e ^ {(as) t} mathrm {d } t & = { frac {e ^ {(as) t}} {as}} Bigg _ {0} ^ { infty} & = { frac {1} {sa}} end {מיושר}}}$
   • שים לב שזה נותן לנו שני סוגים של טרנספורמציה Laplace, עם סינוס וקוסינוס, שכן על פי הנוסחה של אוילר ${ displaystyle e ^ {iat}}$... במקרה זה, במכנה שאנו מקבלים ${ displaystyle s-ia,}$ ונותר רק לקבוע את החלקים האמיתיים והדמיוניים. אתה יכול גם להעריך את התוצאה ישירות, אבל זה ייקח קצת יותר זמן.
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { cos at } = operatorname {Re} left ({ frac {1} {s-ia}} right) = { frac {s} {s ^ {2} + א ^ {2}}}}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { sin at } = operatorname {Im} left ({ frac {1} {s-ia}} right) = { frac {a} {s ^ {2} + א ^ {2}}}}$
3. 3 שקול את טרנספורמציה של Laplace של פונקציית כוח. ראשית, עליך להגדיר את הטרנספורמציה של פונקציית הכוח, מכיוון שמאפיין הליניאריות מאפשר לך למצוא את הטרנספורמציה עבורה מכל פולינומים. פונקציה של הטופס ${ displaystyle t ^ {n},}$ איפה ${ displaystyle n}$ - כל מספר שלם חיובי. ניתן לשלב חלק אחר חלק כדי להגדיר כלל רקורסיבי.
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = int _ {0} ^ { infty} t ^ {n} e ^ {- st} mathrm {d} t = { frac {n} {s}} { mathcal {L}} {t ^ {n-1} }}$
   • תוצאה זו באה לידי ביטוי במשתמע, אך אם תחליף מספר ערכים ${ displaystyle n,}$ אתה יכול לבסס תבנית מסוימת (נסה לעשות זאת בעצמך), המאפשר לך לקבל את התוצאה הבאה:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac {n!} {s ^ {n + 1}}}}}$
   • ניתן גם להגדיר את טרנספורמציה של Laplace של כוחות שברים באמצעות פונקציית הגמא. לדוגמה, בדרך זו תוכל למצוא את השינוי של פונקציה כגון ${ displaystyle f (t) = { sqrt {t}}.}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac { Gamma (n + 1)} {s ^ {n + 1}}}}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {1/2} } = { frac { Gamma (3/2)} {s ^ {3/2}}} = { frac { sqrt { pi}} {2s { sqrt {s}}}}}$
   • למרות שלפונקציות בעלות סמכויות שבריריות חייבים להיות חתכים (זכרו, מספרים מורכבים כלשהם ${ displaystyle z}$ ו ${ Displaystyle alpha}$ ניתן לכתוב כ ${ displaystyle z ^ { alpha}}$, בגלל ה ${ displaystyle e ^ { alpha operatorname {Log} z}}$), תמיד ניתן להגדירם כך שהחתכים יהיו בחצי המישור השמאלי, וכך להימנע מבעיות באנליטיות.

חלק 2 מתוך 3: תכונות הטרנספורמציה של Laplace

1. 1 תן לנו למצוא את טרנספורמציה Laplace של הפונקציה כפול האt{ displaystyle e ^ {at}}. התוצאות שהתקבלו בחלק הקודם אפשרו לנו לגלות כמה מאפיינים מעניינים של טרנספורמציה של Laplace. נראה שהטרנספורמציה של לפלאס של פונקציות כגון קוסינוס, סינוס ופונקציה מעריכית היא פשוטה יותר מהשינוי של פונקציית הכוח. כפל על ידי ${ displaystyle e ^ {at}}$ באזור t מתאים ל- מִשׁמֶרֶת באזור s:
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- (sa) t} mathrm {d} t = F (sa)}$
   • נכס זה מאפשר לך מיד למצוא את השינוי של פונקציות כגון ${ displaystyle f (t) = e ^ {3t} sin 2t}$, מבלי לחשב את האינטגרל:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {3t} sin 2t } = { frac {2} {(s-3) ^ {2} +4}}}$
2. 2 תן לנו למצוא את טרנספורמציה Laplace של הפונקציה כפול tנ{ displaystyle t ^ {n}}. ראשית, שקול את הכפל ב ${ displaystyle t}$... בהגדרה, אפשר להבדיל בין פונקציה לאינטגרל ולקבל תוצאה פשוטה להפתיע:
   • ${ displaystyle { begin {align} { mathcal {L}} {tf (t) } & = int _ {0} ^ { infty} tf (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = - int _ {0} ^ { infty} f (t) { frac { partial} { partial s}} e ^ { - st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} s}} int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ { - st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d} F} { mathrm {d} s}} end {align}}}$
   • אם נחזור על פעולה זו, נקבל את התוצאה הסופית:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} f (t) } = (- 1) ^ {n} { frac { mathrm {d} ^ {n} F} { mathrm {d} s ^ {n}}}}$
   • למרות שסידור מחדש של מפעילי האינטגרציה והבידול דורש הצדקה נוספת, לא נציג אותה כאן, אלא רק נציין כי פעולה זו נכונה אם התוצאה הסופית הגיונית. אתה יכול גם לקחת בחשבון את העובדה כי המשתנים ${ displaystyle s}$ ו ${ displaystyle t}$ לא תלויים זה בזה.
   • באמצעות כלל זה, קל למצוא את השינוי של פונקציות כגון ${ displaystyle t ^ {2} cos 2t}$, ללא שילוב מחדש של חלקים:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {2} cos 2t } = { frac { mathrm {d} ^ {2}} { mathrm {d} s ^ {2}}} { frac {s} {s ^ {2} +4}} = { frac {2s ^ {3} -24s} {(s ^ {2} +4) ^ {3}}}}$
3. 3 מצא את טרנספורמציה Laplace של הפונקציה ו(אt){ displaystyle f (at)}. ניתן לעשות זאת בקלות על ידי החלפת המשתנה ב- u באמצעות ההגדרה של טרנספורמציה:
   • ${ displaystyle { begin {align} { mathcal {L}} {f (at) } & = int _ {0} ^ { infty} f (at) e ^ {- st} mathrm { d} t, u = at & = { frac {1} {a}} int _ {0} ^ { infty} f (u) e ^ {- su / a} mathrm {d } u & = { frac {1} {a}} F left ({ frac {s} {a}} right) end {align}}}$
   • למעלה, מצאנו את טרנספורמציה של פונקציות Laplace ${ displaystyle sin at}$ ו ${ displaystyle cos at}$ ישירות מהפונקציה האקספוננציאלית. באמצעות נכס זה, תוכל לקבל את אותה התוצאה אם ​​תמצא את החלקים האמיתיים והדמיוניים ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {it} } = { frac {1} {s-i}}}$.
4. 4 מצא את הטרנספורמציה של Laplace של הנגזרת ו′(t){ displaystyle f ^ { prime} (t)}. שלא כמו הדוגמאות הקודמות, במקרה זה חייב לשלב חלק אחר חלק:
   • ${ displaystyle { begin {align} { mathcal {L}} {f ^ { prime} (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f ^ { prime} (t ) e ^ {- st} mathrm {d} t, u = e ^ {- st}, mathrm {d} v = f ^ { prime} (t) mathrm {d} t & = f (t) e ^ {- st} Big _ {0} ^ { infty} + s int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d } t & = sF (s) -f (0) end {align}}}$
   • מכיוון שהנגזרת השנייה מתרחשת בבעיות פיזיות רבות, אנו מוצאים גם את הטרנספורמציה של לפלס:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ { prime prime} (t) } = s ^ {2} F (s) -sf (0) -f ^ { prime} (0) }$
   • במקרה הכללי, טרנספורמציה Laplace של הנגזרת בסדר ה- n מוגדרת כדלקמן (הדבר מאפשר לפתור משוואות דיפרנציאליות באמצעות טרנספורמציה Laplace):
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ {(n)} (t) } = s ^ {n} F (s) - sum _ {k = 0} ^ {n -1} s ^ {nk-1} f ^ {(k)} (0)}$

חלק 3 מתוך 3: מציאת הטרנספורמציה של Laplace לפי הרחבת סדרה

1. 1 תן לנו למצוא את טרנספורמציה Laplace עבור פונקציה תקופתית. הפונקציה התקופתית עונה על התנאי ${ displaystyle f (t) = f (t + nT),}$ איפה ${ displaystyle T}$ היא תקופת הפונקציה, ו ${ displaystyle n}$ הוא מספר שלם חיובי. פונקציות תקופתיות נמצאות בשימוש נרחב ביישומים רבים, כולל עיבוד אותות והנדסת חשמל. בעזרת טרנספורמציות פשוטות נקבל את התוצאה הבאה:
   • ${ displaystyle { begin {align} { mathcal {L}} {f (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {nT} ^ {(n + 1) T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {0} ^ {T} f (t + nT) e ^ {- s (t + nT)} mathrm {d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} e ^ {- snT} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = { frac {1} {1-e ^ {- sT}}} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t end { מיושר}}}$
   • כפי שאתה יכול לראות, במקרה של פונקציה תקופתית, מספיק לבצע את טרנספורמציה של Laplace לתקופה אחת.
2. 2 בצע את טרנספורמציה של Laplace ללוגריתם הטבעי. במקרה זה, האינטגרל אינו יכול להתבטא בצורה של פונקציות יסודיות. שימוש בפונקציית הגמא והרחבת הסדרה שלה מאפשר לך לאמוד את הלוגריתם הטבעי ואת מעלותיו. נוכחותו של קבוע אוילר-מסצ'רוני ${ Displaystyle gamma}$ מראה כי כדי להעריך אינטגרל זה, יש צורך בהרחבת סדרה.
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} { ln t } = - { frac { gamma + ln s} {s}}}$
3. 3 שקול את הטרנספורמציה של Laplace של פונקציית הסינק הלא נורמלית. פוּנקצִיָה ${ displaystyle operatorname {sinc} (t) = { frac { sin t} {t}}}$ בשימוש נרחב לעיבוד אותות, במשוואות דיפרנציאליות זה שווה ערך לתפקוד הבסל הכדורי מהסוג הראשון וסדר אפס ${ displaystyle j_ {0} (x).}$ גם טרנספורמציה של Laplace של פונקציה זו אינה ניתנת לחישוב בשיטות סטנדרטיות. במקרה זה מתבצעת טרנספורמציה של חברי הסדרה הבודדים, שהם פונקציות כוח, כך שהתמורות שלהם בהכרח מתכנסות במרווח נתון.
   • ראשית, אנו כותבים את הרחבת הפונקציה בסדרת טיילור:
     • ${ displaystyle { frac { sin t} {t}} = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} t ^ {2n}} {(2n +1)!}}}$
   • כעת אנו משתמשים בתמרת Laplace הידועה כבר של פונקציית כוח. המפעלים מבוטלים, וכתוצאה מכך אנו מקבלים את הרחבת טיילור עבור המבנה, כלומר סדרה מתחלפת הדומה לסדרת טיילור עבור הסינוס, אך ללא פקטוריאלים:
     • ${ displaystyle { begin {align} { mathcal {L}} left {{ frac { sin t} {t}} right } & = sum _ {n = 0} ^ { infty } { frac {(-1) ^ {n} (2n)!} {(2n + 1)!}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = שיזוף ^ {- 1} { frac {1} {s}} end {align}}}$