תוֹכֶן

• לדרוך
• שיטה 1 מתוך 3: הבנת הבעיה
• שיטה 2 מתוך 3: בניית הוכחה
• שיטה 3 מתוך 3: ניסוח הראיות
• טיפים

הוכחות מתמטיות יכולות להיות קשות, אך עם הידע הרקע הנכון הן במתמטיקה והן במבנה ההוכחה, בהחלט ניתן לנסח אותן בהצלחה. למרבה הצער, אין דרך מהירה וקלה ללמוד כיצד לבנות ראיות. אתה זקוק לתשתית איתנה בידע המקצועי שלך בכדי להגיע לתזות ולהגדרות הנכונות לפיתוח הגיוני שלך. על ידי קריאת דוגמאות ותרגול עצמך, תוכל לשלוט בכישורי הגהה מתמטית.

לדרוך

שיטה 1 מתוך 3: הבנת הבעיה

1. להבין את השאלה. תחילה עליך לקבוע מה בדיוק אתה מנסה להוכיח. שאלה זו תשמש גם כתזה הסופית של הראיות. בשלב זה תגדיר גם את ההנחות שתעבוד איתן. זיהוי השאלה וקבלת ההנחות הדרושות נותן לך נקודת מוצא להבנת הבעיה ולפיתוח הראיות.
2. צייר דיאגרמות. כשמנסים להבין את הפעולות הפנימיות של בעיה במתמטיקה, לפעמים הכי קל לצייר דיאגרמה של מה שקורה. תרשימים חשובים במיוחד בהוכחות גיאומטריות מכיוון שהם מאפשרים לך לדמיין את מה שאתה באמת רוצה להוכיח.
   • השתמש במידע המופיע בבעיה כדי לצייר תמונה של הראיות. תן שם למכרים ולזרים.
   • כאשר אתה עובד על הראיות, השתמש במידע הדרוש כדי לתמוך בראיות.
3. חקר ראיות למשפטים קשורים. עדות קשה ללמוד לבנות, אך דרך מצוינת ללמוד זאת היא לימוד הצהרות קשורות וכיצד הוכחו.
   • תבין שהוכחה היא רק טיעון טוב שבו כל שלב מתבסס. אתה יכול למצוא הרבה עדויות ללמוד, הן באינטרנט והן בספר לימוד.
4. לשאול שאלות. זה נורמלי מאוד להיתקע בהוכחה. שאל את המורה או את חברי כיתתך אם אינך מצליח להבין זאת. לאחרונים אלה עשויים להיות שאלות דומות ותוכלו לעבוד יחד על הנושאים. עדיף לשאול שאלות ואז להבין מאשר לטייל בעיוורון דרך הראיות.
   • התייעץ עם המורה שלך לאחר השיעור לקבלת הסבר נוסף.

שיטה 2 מתוך 3: בניית הוכחה

1. הגדר הוכחות מתמטיות. הוכחה מתמטית היא מכלול משפטים לוגיים הנתמכים במשפטים והגדרות המוכיחים את נכונותה של משפט מתמטי אחר. הוכחות הן הדרך היחידה לדעת אם קביעה תקפה מתמטית.
   • היכולת לנסח הוכחה מתמטית מעידה על הבנה מהותית של הבעיה עצמה, וכל המושגים הכרוכים בבעיה.
   • הראיות מאלצות אתכם גם להתבונן במתמטיקה בצורה חדשה ומרגשת. עצם הניסיון להוכיח משהו ייתן לך יותר ידע ותובנה לגביו, גם אם בסופו של דבר הראיות שלך לא נראות נכונות.
2. הכירו את הקהל שלכם. לפני שאתה כותב הוכחה, עליך לחשוב על הקהל שאתה כותב אליו ועל מה שהוא כבר יודע. אם אתה כותב הוכחה לפרסום, תעשה זאת אחרת מאשר בכיתת תיכון.
   • הכרת הקהל מאפשרת לך לנסח את הראיות באופן שיבין בהתחשב בכמות הידע ברקע שיש לקהל.
3. הבן את סוג הראיות שאתה מגיש. ישנם כמה סוגים שונים של הוכחות, וזה שתבחר תלוי בקהל היעד שלך ובמטלה. אם אינך בטוח באיזו גרסה להשתמש, בקש ממורה לעצה. בתיכון, ניתן לצפות שתגבש את הראיות במתכונת ספציפית, כגון הוכחה רשמית של שני עמודים.
   • הוכחה לשני עמודים היא מבנה בו נתונים וטענות ממוקמים בעמודה אחת והראיות התומכות לצידה בטור שני. הם משמשים לעתים קרובות בגיאומטריה.
   • הוכחה לפסקה בלתי פורמלית משתמשת באמירות נכונות מבחינה דקדוקית ופחות סמלים. ברמה גבוהה יותר כדאי תמיד להשתמש בהוכחה בלתי פורמלית.
4. כתוב את ההוכחה בשתי עמודות כסקירה כללית. בניית הוכחה בשתי טורים היא דרך קלה לארגן את מחשבותיכם ולשקול את הבעיה. שרטט קו במרכז העמוד וכתוב את כל הנתונים וההצהרות משמאל. כתוב את ההגדרות / הצהרות המתאימות מימין לצד הנתונים בהן הם תומכים.
   • לדוגמה:
   • זווית A וזווית B יוצרות זוג לינארי. נָתוּן.
   • ABC פינתי ישר. הגדרת זווית ישרה.
   • זווית ABC היא 180 °. הגדרת קו.
   • זווית A + זווית B = זווית ABC. Postulate להוספת זוויות.
   • זווית A + זווית B = 180 °. החלפה.
   • זווית A כתוספת לזווית B. הגדרת זוויות נוספות.
   • Q.E.D.
5. המירו את ההוכחה בשתי עמודות להוכחה בלתי פורמלית. על סמך ההוכחה בשתי עמודות, כתוב הוכחה לא פורמלית כפסקה ללא יותר מדי סמלים וקיצורים.
   • לדוגמא, נניח שזווית A ו- B הם זוגות לינאריים. ההשערה היא שזווית A וזווית B משלימות זו את זו (הן משלימות). זווית A וזווית B יוצרים קו ישר מכיוון שהם זוגות לינאריים. קו ישר מוגדר כזווית של 180 °. בהינתן הפוסטולאט לתוספת זוויות, זוויות A ו- B יחד יוצרות את הקו ABC. בדרך של החלפה, A ו- B יחד הם 180 °, ולכן הם זוויות משלימות. Q.E.D.

שיטה 3 מתוך 3: ניסוח הראיות

1. למד את אוצר המילים של הוכחה מתמטית. יש אמירות ומשפטים מסוימים שאתה כל הזמן רואה כהוכחה מתמטית. אלה המשפטים שאתה צריך להכיר ולהיות מסוגל להשתמש בהם היטב בעת ניסוח הראיות שלך.
   • "אם A, אז B" פירושו שעליך להראות שאם A נכון, B חייב להיות אמיתי.
   • "A אם ורק אם B" פירושו שעליך להוכיח ש- A ו- B אמיתיים ושקריים בו זמנית. הוכח גם "אם A, אז B" וגם "אם לא A, אז לא B".
   • "A רק אם B" פירושו זהה ל- "אם A, אז B", ולכן הוא לא משמש לעתים קרובות. טוב להיות מודע לכך כשאתה נתקל בזה.
   • בעת עריכת הראיות, כדאי להימנע משימוש ב"אני "לטובת" אנחנו ".
2. רשמו את כל הנתונים. בעת הרכבת הוכחה, השלב הראשון הוא זיהוי והקלטת כל הנתונים. זה המקום הטוב ביותר להתחיל מכיוון שהוא יעזור לך לחשוב על מה ידוע ואיזה מידע אתה צריך כדי להשלים את הראיות. קרא את הבעיה ורשום כל פיסת מידע.
   • לדוגמא: הוכיח ששתי זוויות היוצרות זוג לינארי (זווית A וזווית B) הן משלימות.
   • נתון: זווית A וזווית B יוצרות זוג לינארי
   • הוכחה: זווית A משלימה לזווית B.
3. הגדר את כל המשתנים. בנוסף לכתיבת הנתונים, כדאי להגדיר את כל המשתנים. כתוב את ההגדרות בתחילת הראיות כדי למנוע בלבול אצל הקורא. אם לא מוגדרים משתנים, הקורא יכול ללכת לאיבוד בקלות ולנסות להבין את הראיות שלך.
   • אל תשתמש במשתנים בהוכחה שלך שטרם הוגדרו.
   • לדוגמא: משתנים הם מדדי הזווית A והזווית B.
4. עבוד לאחור דרך הראיות. לרוב הכי קל לחשוב אחורה על בעיה. התחל עם המסקנה, מה שאתה מנסה להוכיח, וחשוב על הצעדים שיכולים להוביל אותך חזרה להתחלה.
   • ערוך את השלבים בהתחלה ובסוף כדי לראות אם הם דומים. השתמש בנתונים, ההגדרות שלמדת וראיות דומות.
   • שאלו את עצמכם שאלות בדרך. "מדוע זה כך?" ו"האם יש דרך שהיא שקרית? "האם יש שאלות טובות לכל הצהרה או טענה.
   • אל תשכח לכתוב את השלבים ברצף להוכחה הסופית.
   • לדוגמא: אם הזוויות A ו- B משלימות, אז הן חייבות להיות 180 °. שתי הפינות יוצרות יחד את הקו ABC. אתה יודע שהם יוצרים קו בגלל ההגדרה של זוגות לינאריים. מכיוון שקו ישר הוא 180 °, ניתן להשתמש בתחליף כדי להוכיח שזווית A וזווית B מסתכמות ב -180 °.
5. הצב את צעדיך בסדר הגיוני. התחל את הראיות בהתחלה ועבר את דרכך עד למסקנה. אמנם מועיל לחשוב על הראיות, אך על ידי התחלת המסקנה ועבודה לאחור, בעת הצגת הראיות בפועל, תשים את המסקנה בסוף. ההצהרות בראיות צריכות לזרום זו מזו, עם ביסוס לכל הצהרה, כך שאין סיבה לפקפק בתוקף הראיות שלך.
   • התחל ברשימת ההנחות איתן אתה עובד.
   • חלק אותם לשלבים פשוטים וברורים, כך שהקורא לא יצטרך לתהות כיצד צעד אחד זורם באופן הגיוני מאחר.
   • אין זה נדיר לנסח הוכחות רבות למושג. המשך לסדר מחדש עד שכל השלבים יהיו בסדר ההגיוני ביותר.
   • לדוגמא: התחל מההתחלה.
     • זווית A וזווית B יוצרות זוג לינארי.
     • ABC פינתי ישר.
     • זווית ABC היא 180 °.
     • זווית A + זווית B = זווית ABC.
     • זווית A + זווית B = 180 °.
     • זווית A משלימה לזווית B.
6. הימנע משימוש בחצים ובקיצורים בראיות הכתובות. בעת מתווה התוכנית להוכחה שלך, אתה יכול להשתמש בקיצור ובסמלים, אך בעת כתיבת ההוכחה הסופית, סמלים, כגון חצים, עלולים לבלבל את הקורא. במקום זאת השתמש במילים כמו "ואז" או "כך".
   • יוצאים מן הכלל לשימוש בקיצורים הם: למשל (למשל) כלומר (כלומר), אך וודא שאתה משתמש בהם נכון.
7. תומך בכל ההצהרות במשפט (משפט), חוק או הגדרה. הראיות טובות רק כמו הראיות שהשתמשו בהן. אינך יכול להצהיר מבלי לבסס אותה בהגדרה. התייחס לדוגמא לראיות דומות אחרות.
   • נסה להחיל את הראיות שלך למקרה בו שֶׁקֶר חייב להיות, ולוודא שזה אכן המקרה. אם התוצאה אינה שקרית, התאם את ההוכחה כך שתהיה.
   • הוכחות גיאומטריות רבות נכתבות כהוכחה בת שני עמודים, עם ההצהרה וההוכחה. הוכחה מתמטית רשמית המיועדת לפרסום נכתבת כפסקה עם דקדוק נכון.
8. סיים את זה עם מסקנה או Q.E.D. הצהרת הראיות הסופית חייבת להיות ההשערה שניסית להוכיח. לאחר שתצהיר הצהרה זו, סגור את ההוכחה עם סמל סופי, כגון Q.E.D. או ריבוע מלא, כדי לציין שההוכחה הושלמה.
   • Q.E.D. מייצג "quod erat demonstrandum" (בלטינית "מה שהיה צריך להוכיח").
   • אם אינך בטוח אם הראיות שלך נכונות, פשוט כתוב בכמה משפטים מה המסקנה שלך ולמה היא משמעותית.

טיפים

• כל הנתונים שלך חייבים להיות קשורים להוכחה הסופית שלך. אם ערך כלל לא תורם דבר, אתה יכול לכלול אותו.