תוֹכֶן

• לדרוך
• חלק 1 מתוך 3: יסודות הניתוח
• חלק 2 מתוך 3: להבין נגזרות
• חלק 3 מתוך 3: להבין אינטגרלים
• טיפים

ניתוח (נקרא גם חשבון) הוא ענף במתמטיקה המתמקד בגבולות, פונקציות, נגזרות, אינטגרלים וסדרות אינסופיות. נושא זה מכסה הרבה מאוד מתמטיקה, ועומד בבסיס רבות מהנוסחאות והמשוואות המשמשות בפיזיקה ומכניקה. סביר להניח שתצטרך להיות מספר שנים של מתמטיקה בתיכון כדי להבין את הניתוח כראוי, אך מאמר זה יביא אותך להתחיל ללמוד להכיר את מושגי המפתח וכן להבין טוב יותר את התיאוריה.

לדרוך

חלק 1 מתוך 3: יסודות הניתוח

1. ניתוח הוא המחקר כיצד הדברים משתנים. ניתוח הוא ענף במתמטיקה הבוחן מספרים וגרפים, הנלקחים בדרך כלל מנתונים מהעולם האמיתי, ומסביר כיצד הם משתנים. אמנם זה אולי לא נראה שימושי בהתחלה, אבל ניתוח הוא אחד הענפים הנפוצים ביותר במתמטיקה. תאר לעצמך שיש לך את הכלים לספר לך כמה מהר העסק שלך צומח בכל זמן נתון, או איך להתוות את מסלול החללית וכמה מהר הדלק שלה מנוצל. ניתוח הוא כלי חשוב בהנדסה, כלכלה, סטטיסטיקה, כימיה ופיזיקה, ותרם להמצאות וגילויים רבים.
2. פונקציות הן קשרים בין שני מספרים ומשמשות למיפוי קשרים. הם כללים ליחס בין מספרים, ומתמטיקאים משתמשים בהם כדי ליצור גרפים. בפונקציה, לכל קלט יש תוצאה אחת בדיוק. לדוגמא: ב ${ displaystyle y = 2x + 4,}$חשוב על מושג האינסוף. אינסוף הוא החזרה המתמדת על תהליך. זה לא מקום ספציפי (אתה לא יכול ללכת לאינסוף), אלא התנהגות של מספר או משוואה, אם נעשה לנצח. זה חשוב ללימוד שינוי: יתכן שתרצה לדעת כמה מהר המכונית שלך נעה בכל זמן נתון, אבל האם זה כמה מהר המכונית שלך נעה בשנייה הנוכחית? מילי-שנייה? ננו שנייה? אתה יכול למצוא שבבי זמן קטנים לאינסוף להיות מדויקים עוד יותר, ואז נכנס הניתוח.
3. להבין את מושג הגבולות. גבול אומר לך מה קורה כשמשהו מתקרב לאינסוף. קח את המספר 1 וחלק אותו ל- 2. המשך לחלק ב -2 שוב ושוב. 1 הופך לחצי ואז 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 וכו '. בכל פעם שהמספר הולך וקטן, "קרוב יותר" לאפס. אבל איפה זה עוצר? כמה פעמים אתה צריך לחלק 1 ל -2 כדי לקבל אפס? במקום לענות על שאלה זו, בניתוח אתה קובע שאלה לְהַגבִּיל במקרה זה, הגבול הוא.
   • המגבלות הן הקלות ביותר להמחשה בגרף - למשל, האם יש נקודות שגרף כמעט נוגע בהן, אך אף פעם לא ממש?
   • גבולות יכולים להיות מספרים, אינסופיים או אפילו לא קיימים. לדוגמא, עם רצף התוספות 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + ... וזה ממשיך ללא הגבלת זמן, המספר הסופי נהיה גדול לאין שיעור. הגבול הופך אינסופי.
4. סקור את המושגים החיוניים של אלגברה, טריגונומטריה ואת יסודות המתמטיקה. ניתוח מסתמך על חלק ניכר מהמתמטיקה שלמדת קודם. היכרות טובה עם כל הנושאים מקלה מאוד על לימוד והבנה של ניתוחים. כמה נושאים להתברר עליהם הם:
   • אַלגֶבּרָה. עליכם להבין את התהליכים השונים ולהיות מסוגלים לפתור משוואות ומערכות משוואות עם מספר משתנים. הבן את יסודות האוספים. תרגלו הכנת גרפים.
   • גֵאוֹמֶטרִיָה. גיאומטריה היא חקר הצורות. כדאי שיהיה לך ידע בסיסי בנוגע למשולשים, מלבנים ומעגלים וכיצד לחשב דברים כמו היקף ושטח. להבין זוויות, קווים וקואורדינטות
   • טְרִיגוֹנוֹמֶטרִיָה. טריגונומטריה היא הענף של המתמטיקה העוסק בתכונות של מעגלים ומשולשים ימניים. דע כיצד להשתמש בזהויות טריגונומטריות, גרפים, פונקציות ופונקציות טריגונומטריות הפוכות.
5. רכשו מחשבון גרפים. לא קל להבין ניתוח מבלי לראות מה אתה עושה. מחשבוני גרפים הופכים את הפונקציות לוויזואליות כך שתוכלו להבין טוב יותר עם המשוואות איתם אתם מתמודדים. לעתים קרובות הגבולות מוצגים גם על המסך, והנגזרות והפונקציות מחושבות אוטומטית.
   • סמארטפונים וטאבלטים רבים כיום מציעים אפליקציות גרפים זולות אך יעילות אם אינכם רוצים או לא יכולים לקנות מחשבון גרפים.

חלק 2 מתוך 3: להבין נגזרות

1. ניתוח משמש לחקר "שינוי ברגע מסוים". הידיעה מדוע משהו משתנה ברגע המדויק היא ליבת הניתוח. לדוגמא, ניתוח נותן לך לא רק את המהירות של מכונית, אלא גם כמה מהירות זו משתנה בכל זמן נתון. זהו אחד השימושים הפשוטים ביותר בניתוח, אך חשוב מאוד. תאר לעצמך כמה חשוב מידע כזה בקביעת המהירות שלוקח חללית לירח!
   • לקביעת השינוי בנקודת זמן מסוימת יש לְהַבחִין. בידול הוא הראשון מבין שני ענפי הניתוח העיקריים.
2. השתמש בנגזרות כדי להבין כיצד הדברים משתנים בזמן נתון. "נגזרת" היא מילה נחמדה למשהו שלעיתים קרובות גורם לתלמידים להיות עצבניים. עם זאת, המושג עצמו לא כל כך קשה להבנה - זה רק אומר "כמה מהר משהו משתנה." הנגזרות שתפגשו הכי הרבה בחיי היומיום קשורות למהירות. עם זאת, בדרך כלל לא קוראים לזה "נגזרת המהירות", אלא פשוט "תאוצה".
   • האצה היא נגזרת - היא אומרת לך כמה מהר משהו מואץ או מאט, או איך המהירות שלו משתנה.
3. דע שקצב השינוי שווה לשיפוע בין שתי נקודות. זו אחת התגליות החשובות ביותר של ניתוח. קצב השינוי בין שתי נקודות שווה לשיפוע הקו בין שתי הנקודות. רק חשוב על קו פשוט, כמו זה של המשוואה ${ displaystyle y = פי 3.}$דעו כי תוכלו לקבוע את שיפוע הקווים המעוקלים. קביעת שיפוע של קו ישר קלה יחסית: כמה משתנה ${ displaystyle y}$אם ברצונך לחשב את השינוי בצורה מדויקת יותר, וודא שהנקודות קרובות יותר זו לזו. ככל שתבחר בשתי הנקודות קרוב יותר, התשובה שלך תהיה מדויקת יותר. נניח שאתה רוצה לדעת עד כמה המכונית שלך מאיצה כשאתה לוחץ על המאיץ. אתה לא רוצה למדוד את שינוי המהירות בין הבית שלך לסופרמרקט, אלא את השינוי במהירות מהרגע שפגעת במאיץ. ככל שהקריאה שלך מתקרבת לשבריר שנייה זה, כך חישוב השינוי שלך מדויק יותר.
   • לדוגמה, מדענים חוקרים באיזו מהירות מינים מסוימים נכחדים על מנת להציל אותם. עם זאת, יותר בעלי חיים מתים בחורף מאשר בקיץ, ולכן אין זה שימושי לחקור את קצב השינוי לאורך השנה - עדיף לקבוע את קצב השינוי בתוך תקופה קטנה יותר, כמו בין התאריכים 1 ביולי ל -1 באוגוסט.
4. השתמש בשורות קצרות לאין ערוך כדי לקבוע את "קצב השינוי המיידי", או מצא את הנגזרת. זה המקום שבו ניתוח לעתים קרובות קצת מבלבל, אבל זו למעשה תוצאה של שתי עובדות פשוטות. ראשית כל, אתה יודע כי שיפוע הקו שווה כמה מהר קו זה משתנה. שנית, אתה יודע שככל שנקודות השורה קרובות יותר זו לזו, כך הקריאה תהיה מדויקת יותר. אך כיצד ניתן למצוא את קצב השינוי בנקודה נתונה אם השיפוע הוא היחס בין שתי נקודות? התשובה: אתה בוחר שתי נקודות הקרובות זו לזו אינסוף.
   • שקול את הדוגמה שבה אתה ממשיך לחלק 1 ל -2, וכך לקבל 1/2, 1/4, 1/8 וכו '. אז בסופו של דבר אתה מתקרב לאפס, והתשובה היא "כמעט אפס". הנקודות כל כך קרובות זו לזו עד כי הן "כמעט שוות זו לזו". זהו אופי הנגזרות.
5. למד כיצד לקבוע נגזרות שונות. יש המון טכניקות שונות למציאת נגזרת בהתאם למשוואה, אך רובן הגיוניות אם שיננתם את יסודות הנגזרות לעיל. כל הנגזרות הן דרך למצוא את המדרון של קו "אינסופי". עכשיו שאתה יודע יותר על תיאוריית הנגזרת, חלק ניכר מהעבודה היא למצוא את התשובות.
6. מצא את המשוואות הנגזרות כדי לחזות את קצב השינוי בכל עת. כדאי להשתמש בנגזרות כדי לקבוע את קצב השינוי בכל זמן נתון, אך היופי בניתוח הוא שתוכל ליצור מודל חדש לכל פונקציה. הנגזרת של ${ displaystyle y = x ^ {2},}$אם קשה לכם להבין זאת, נסו לזכור דוגמאות נגזרות אמיתיות. הדוגמה הפשוטה ביותר מבוססת על מהירות, שמקיפה הרבה נגזרות שונות שאנו פוגשים מדי יום. אל תשכח: נגזרת היא מדד כמה מהר משהו משתנה. חשבו על ניסוי פשוט. אתה מגלגל שיש על שולחן ומודד כמה רחוק הוא נע וכמה מהר בכל פעם. עכשיו דמיין שהשיש המתגלגל עוקב אחר קו בתרשים - אתה משתמש בנגזרות כדי למדוד את השינויים המיידיים בכל עת בקו זה.
   • כמה מהר השיש נע? באיזו מהירות המיקום (או הנגזרת) של השיש הנע משתנה? אנו מכנים נגזרת זו "מהירות".
   • מגלגלים את השיש לאורך שיפוע ומתבוננים כיצד המהירות משתנה. מה קצב השינוי, או הנגזרת, של מהירות השיש? נגזרת זו היא מה שאנו מכנים "תאוצה".
   • גלגל את השיש לאורך מסלול גלי, כגון רכבת הרים. עד כמה השיש צובר מהירות כשהוא מתגלגל מטה, ובאיזו מידה השיש מאט במעלה ההר? כמה מהר השיש עובר בדיוק כשהוא באמצע הגבעה הראשונה? זהו קצב השינוי המיידי, או הנגזרת, של אותו שיש בנקודה ספציפית אחת.

חלק 3 מתוך 3: להבין אינטגרלים

1. דע שאתה יכול להשתמש בניתוח כדי למצוא אזורים ונפחים מורכבים. בעזרת ניתוח ניתן למדוד צורות מורכבות שאחרת קשה למדוד. שקול, למשל, את הבעיה שאתה רוצה לדעת כמה מים מכיל אגם ארוך וצורה לא סדיר - אי אפשר למדוד כל ליטר מים בנפרד או להשתמש בסרגל למדידת צורת האגם. באמצעות ניתוח תוכלו ללמוד כיצד משתנים שולי האגם ואז להשתמש במידע זה בכדי לגלות כמה מים הוא מכיל.
   • הכנת מודלים גיאומטריים וחקר נפחים לשלב. חשבון משולב הוא הענף החשוב השני של הניתוח.
2. דע שאינטגרציה היא האזור שמתחת לגרף. שילוב משמש למדידת החלל שמתחת לקו, המאפשר לקבוע את שטח הצורות המוזרות או הלא סדירות. קח את המשוואה ${ displaystyle y = 4-x ^ {2},}$דע כי עליך לבחור אזור לשילוב. אתה לא יכול פשוט לשלב פונקציה שלמה. לדוגמה, ${ displaystyle y = x}$חשוב כיצד לחשב את שטח המלבן. נניח שיש לך קו שטוח מעל גרף, כגון ${ displaystyle y = 4.}$דעו שבחשבון האינטגרלי הרבה מלבנים קטנים מתווספים יחד כדי למצוא את השטח של האזור. כשאתה מגדיל עקומה בצורה אדירה, נראה שזה קו ישר. אתה רואה זאת כל יום - אינך יכול לתפוס את עיקול האדמה מכיוון שאתה קרוב כל כך לפני האדמה. שילוב יוצר אינסוף מלבנים קטנים מתחת לעקומה שהם כה קטנים שהם בעצם שטוחים, ומאפשרים לך לספור אותם. כל המלבנים הללו המתווספים יחד יוצרים את שטח השטח תחת עקומה.
   • נניח שאתה מוסיף הרבה קטעים קטנים מתחת לגרף, וזה הרוחב של כל קטע כִּמעַט הוא אפס.
3. דע לקרוא ולרשום נכון את האינטגרלים. אינטגרלים מורכבים מארבעה חלקים. אינטגרל טיפוסי נראה כך:
   
   ${ displaystyle int f (x) mathrm {d} x}$ למידע נוסף על מציאת אינטגרלים. שילוב מגיע בצורות רבות, ועליך ללמוד הרבה נוסחאות שונות כדי לשלב כל פונקציה. עם זאת, כולם פועלים לפי העקרונות שתוארו לעיל: שילוב הוא סכום אינסוף דברים.
   • להשתלב באמצעות החלפה.
   • חישוב אינטגרלים בלתי מוגדרים.
   • להשתלב על ידי שיתוף.
4. דעו כי אינטגרציה היא הפוכה של בידול ולהיפך. זהו כלל אצבע של ניתוח שכל כך חשוב שהוא קיבל שם משלו: משפט העקרונות של חישוב אינטגרלי.מכיוון שהשילוב וההבחנה קשורים זה לזה באופן הדוק, ניתן להשתמש בשילוב בין השניים כדי לקבוע את קצב השינוי, האצה, מהירות, מיקום, תנועה וכו ', ללא קשר למידע שיש לך.
   • לדוגמא, זכרו שהנגזרת של המהירות היא התאוצה, כך שתוכלו להשתמש במהירות כדי למצוא את התאוצה. אבל אם אתה יודע רק את התאוצה של משהו (כמו אובייקטים שנופלים בגלל כוח המשיכה), אז אתה יכול להשתלב כדי להחזיר את המהירות!
5. דעו כי בעזרת שילוב תוכלו גם לשלוט על עוצמת הקול של אובייקטים תלת-ממדיים. סיבוב צורה שטוחה היא אחת הדרכים ליצור מוצקים תלת ממדיים. דמיינו מטבע שמסתובב על השולחן - שימו לב איך נראה שהמטבע מקבל צורה של כדור כשהוא מסתובב. מושג זה מאפשר לך לקבוע את עוצמת הקול על פי תהליך המכונה "נפח על ידי סיבוב".
   • זה מאפשר לך לקבוע את הנפח של כל חומר מוצק, כל עוד יש לך פונקציה שמייצגת אותו. לדוגמה, אתה יכול ליצור פונקציה העוקבת אחר קרקעית אגם ואז להשתמש בה כדי לקבוע את נפח האגם, או כמה מים הוא מכיל.

טיפים

• התרגול מושלם, אז בצע את תרגילי התרגול בספר הלימוד שלך - אפילו אלה שהמורה שלך לא נתן - ובדוק את התשובות שלך כדי לעזור לך להבין טוב יותר את המושגים.
• אם אינך מוצא פיתרון, שאל את המורה שלך.