תוֹכֶן

• צעדים
• שיטה 1 מתוך 3: פקטורינג משוואה
• שיטה 2 מתוך 3: שימוש בנוסחה הריבועית
• שיטה 3 מתוך 3: השלמת הכיכר
• טיפים

משוואה ריבועית היא משוואה שבה הכוח הגדול ביותר של משתנה הוא 2. ישנן שלוש דרכים עיקריות לפתור משוואות ריבועיות: במידת האפשר, פרבו את המשוואה הריבועית, השתמשו בנוסחה הריבועית או השלימו את הריבוע. האם אתה רוצה לדעת כיצד כל זה נעשה? תמשיך לקרוא.

צעדים

שיטה 1 מתוך 3: פקטורינג משוואה

1. 1 הוסף את כל האלמנטים הדומים והעבר אותם לצד אחד של המשוואה. זה יהיה השלב הראשון, כלומר ${ displaystyle x ^ {2}}$ במקרה זה, זה צריך להישאר חיובי. הוסף או הפחת את כל הערכים ${ displaystyle x ^ {2}}$, ${ displaystyle x}$ וקבוע, מעביר הכל לחלק אחד ומשאיר 0 בחלק השני. כך תעשה זאת:
   • ${ displaystyle 2x ^ {2} -8x-4 = 3x-x ^ {2}}$
   • ${ displaystyle 2x ^ {2} + x ^ {2} -8x-3x-4 = 0}$
   • ${ displaystyle 3x ^ {2} -11x -4 = 0}$
2. 2 פקטור הביטוי. לשם כך, עליך להשתמש בערכים ${ displaystyle x ^ {2}}$ (3), ערכים קבועים (-4), יש להכפיל אותם וליצור -11. כך תעשה זאת:
   • ${ displaystyle 3x ^ {2}}$ יש רק שני גורמים אפשריים: ${ displaystyle 3x}$ ו ${ displaystyle x}$כדי שניתן יהיה לכתוב אותם בסוגריים: ${ displaystyle (3x pm?) (x pm?) = 0}$.
   • לאחר מכן, בהחלפת הגורמים ל -4, אנו מוצאים את השילוב שכאשר הוא מוכפל נותן -11x. אתה יכול להשתמש בשילוב של 4 ו -1, או 2 ו -2, מכיוון ששניהם נותנים 4. זכור שהערכים חייבים להיות שליליים, כי יש לנו -4.
   • באמצעות ניסוי וטעייה, אתה מקבל את השילוב ${ displaystyle (3x + 1) (x-4)}$... כאשר מכפילים, אנו מקבלים ${ displaystyle 3x ^ {2} -12x + x -4}$... על ידי חיבור ${ displaystyle -12x}$ ו ${ displaystyle x}$, אנו מקבלים את הטווח הבינוני ${ displaystyle -11x}$שאותו חיפשנו. המשוואה הריבועית היא מגורמת.
   • לדוגמה, ננסה שילוב לא מתאים: (${ displaystyle (3x-2) (x + 2)}$ = ${ displaystyle 3x ^ {2} + 6x-2x-4}$... שילוב, אנחנו מקבלים ${ displaystyle 3x ^ {2} -4x -4}$... למרות שהגורמים -2 ו -2 מתרבים ל -4, המונח הבינוני לא עובד, כי רצינו לקבל ${ displaystyle -11x}$, אבל לא ${ displaystyle -4x}$.
3. 3 יש להשוות כל ביטוי בסוגריים לאפס (כמשוואות נפרדות). כך אנו מוצאים שתי משמעויות ${ displaystyle x}$שכל המשוואה שווה לאפס, ${ displaystyle (3x + 1) (x-4)}$ = 0. כעת נותר להשוות לאפס כל אחד מהביטויים בסוגריים. למה? הנקודה היא שהמוצר שווה לאפס כאשר לפחות אחד הגורמים שווה לאפס. כפי ש ${ displaystyle (3x + 1) (x-4)}$ הוא אפס, ואז (3x + 1) או (x - 4) הוא אפס. לִרְשׁוֹם ${ displaystyle 3x + 1 = 0}$ ו ${ displaystyle x-4 = 0}$.
4. 4 פתרו כל משוואה בנפרד. במשוואה ריבועית ל- x יש שתי משמעויות. פתרו את המשוואות ורשמו את ערכי x:
   • פתור את המשוואה 3x + 1 = 0
     • 3x = -1 ..... על ידי חיסור
     • 3x / 3 = -1/3 ..... על ידי חלוקה
     • x = -1/3 ..... לאחר פישוט
   • פתור את המשוואה x - 4 = 0
     • x = 4 ..... על ידי חיסור
   • x = (-1/3, 4) ..... ערכים אפשריים, כלומר x = -1/3 או x = 4.
5. 5 בדוק את x = -1/3 על ידי חיבור ערך זה ל- (3x + 1) (x - 4) = 0:
   • (3 [-1/3] + 1) ([- 1/3]- 4)? =? 0 ..... על ידי החלפה
   • (-1 + 1) (- 4 1/3)? =? 0 ..... לאחר פישוט
   • (0) (- 4 1/3) = 0 ..... לאחר הכפל
   • 0 = 0, אז x = -1/3 היא התשובה הנכונה.
6. 6 בדוק את x = 4 על ידי חיבור ערך זה ל- (3x + 1) (x - 4) = 0:
   • (3 [4] + 1) ([4] - 4)? =? 0 ..... על ידי החלפה
   • (13) (4 - 4)? =? 0 ..... לאחר פישוט
   • (13) (0) = 0 ..... לאחר הכפל
   • 0 = 0, לכן x = 4 היא התשובה הנכונה.
   • לפיכך, שני הפתרונות נכונים.

שיטה 2 מתוך 3: שימוש בנוסחה הריבועית

1. 1 שלב את כל המונחים ורשום בצד אחד של המשוואה. שמור את הערך ${ displaystyle x ^ {2}}$ חִיוּבִי. כתוב את המונחים לפי דרגות יורדות, ובכך המונח ${ displaystyle x ^ {2}}$ כתיב תחילה, לאחר מכן ${ displaystyle x}$ ולאחר מכן קבוע:
   • 4x - 5x - 13 = x -5
   • 4x - x - 5x - 13 +5 = 0
   • 3x - 5x - 8 = 0
2. 2 רשום את הנוסחה לשורשי משוואה ריבועית. הנוסחה נראית כך: ${ displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$
3. 3 קבע את הערכים של a, b ו- c במשוואה ריבועית. מִשְׁתַנֶה א הוא מקדם המונח x, ב - חבר x, ג - קבוע. למשוואה 3x -5x -8 = 0, a = 3, b = -5 ו- c = -8. תרשום את זה.
4. 4 חבר את הערכים עבור a, b ו- c למשוואה. הכרת הערכים של שלושת המשתנים, תוכל לחבר אותם למשוואה כדלקמן:
   • {-b +/- √ (b- 4ac)} / 2
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - 4(3)(-8))}/2(3) =
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - (-96))}/2(3)
5. 5 ספר את זה. החלף את הערכים, פשט את היתרונות והחסרונות, וכפל או ריבוע את שאר המונחים:
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - (-96))}/2(3) =
   • {5 +/-√(25 + 96)}/6
   • {5 +/-√(121)}/6
6. 6 פשט את השורש הריבועי. אם השורש הריבועי הוא ריבוע, אתה מקבל מספר שלם. אם לא, פשט אותו לערך השורש הפשוט ביותר. אם המספר שלילי, ואתה בטוח שזה חייב להיות שלילי, אז השורשים יהיו מורכבים. בדוגמה זו √ (121) = 11. אתה יכול לכתוב ש x = (5 +/- 11) / 6.
7. 7 מצאו פתרונות חיוביים ושליליים. אם הסרת את סימן השורש הריבועי, תוכל להמשיך עד שתמצא ערכי x חיוביים ושליליים. לאחר (5 +/- 11) / 6, אתה יכול לכתוב:
   • (5 + 11)/6
   • (5 - 11)/6
8. 8 מצא ערכים חיוביים ושליליים. רק ספור:
   • (5 + 11)/6 = 16/6
   • (5-11)/6 = -6/6
9. 9 לפשט. לשם כך, פשוט חלק את שניהם בגורם המשותף הגדול ביותר. חלקו את השבר הראשון ב- 2, השני ב- 6, x נמצא.
   • 16/6 = 8/3
   • -6/6 = -1
   • x = (-1, 8/3)

שיטה 3 מתוך 3: השלמת הכיכר

1. 1 העבר את כל המונחים לצד אחד של המשוואה.א או x חייב להיות חיובי. הדבר נעשה כך:
   • 2x - 9 = 12x =
   • 2x - 12x - 9 = 0
     • במשוואה הזו א: 2, ב: -12,ג: -9.
2. 2 חבר העברה ג (קבוע) לצד השני. קבוע הוא מונח במשוואה המכיל ערך מספרי בלבד, ללא משתנים.העבר אותו לצד ימין:
   • 2x - 12x - 9 = 0
   • 2x - 12x = 9
3. 3 חלק את שני החלקים לפי גורם א או x. אם ל- x אין מקדם, אז הוא שווה לאחד וניתן לדלג על שלב זה. בדוגמה שלנו, אנו מחלקים את כל החברים ב -2:
   • 2x / 2 - 12x / 2 = 9/2 =
   • x - 6x = 9/2
4. 4 לחלק ב על 2, מרובע ומוסיפים לשני הצדדים. בדוגמה שלנו ב שווה -6:
   • -6/2 = -3 =
   • (-3) = 9 =
   • x - 6x + 9 = 9/2 + 9
5. 5 פשט את שני הצדדים. מרובעים את המונחים משמאל כדי לקבל (x-3) (x-3), או (x-3). הוסיפו את המונחים מימין לביצוע 9/2 + 9, או 9/2 + 18/2, שהוא 27/2.
6. 6 חלץ את השורש הריבועי משני הצדדים. השורש הריבועי של (x-3) הוא פשוט (x-3). ניתן לכתוב את השורש הריבועי של 27/2 כ ± √ (27/2). לפיכך, x - 3 = ± √ (27/2).
7. 7 פשט את הביטוי הקיצוני ומצא את x. כדי לפשט ± √ (27/2), מצא את הריבוע המושלם במספרים 27 ו -2, או הגורמים שלהם. ב 27 יש ריבוע שלם של 9, כי 9 x 3 = 27. כדי להסיק 9 מסימן השורש, קח ממנו את השורש וחסר 3 מסימן השורש. השאר 3 במספרים של השבר מתחת לסימן השורש, מכיוון שלא ניתן לחלץ גורם זה, והשאיר גם 2 בתחתית. לאחר מכן, העבר את הקבוע 3 מהצד השמאלי של המשוואה לצד הימני ורשום את שני הפתרונות עבור x:
   • x = 3 + (√6) / 2
   • x = 3 - (√6) / 2)

טיפים

• אם המספר מתחת לסימן השורש אינו ריבוע שלם, אז השלבים האחרונים מבוצעים מעט אחרת. להלן דוגמא:
• כפי שאתה יכול לראות, סימן השורש לא נעלם. באופן זה לא ניתן לשלב את המונחים במניינים. אז אין טעם לפצל את הפלוס או המינוס. במקום זאת, אנו מחלקים את כל הגורמים הנפוצים - אבל רק אם הגורם המשותף לקבוע ו מקדם שורש.