תוֹכֶן

• צעדים
• שיטה 1 מתוך 3: כיצד לפתור משוואה מעוקבת ללא מונח קבוע
• שיטה 2 מתוך 3: כיצד למצוא שורשים שלמים באמצעות מכפילים
• שיטה 3 מתוך 3: כיצד לפתור משוואה באמצעות האפליה

במשוואה מעוקבת, המעריך הגבוה ביותר הוא 3, למשוואה כזו יש 3 שורשים (פתרונות) ויש לה את הצורה ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$... כמה משוואות מעוקבות לא כל כך פשוטות לפתרון, אבל אם מיישמים את השיטה הנכונה (עם רקע תיאורטי טוב), אפשר למצוא את שורשי המשוואה הקובית המורכבת ביותר - לשם כך השתמשו בנוסחה לפתרון המשוואה הריבועית, מצאו את שורשים שלמים, או חישוב המפלה.

צעדים

שיטה 1 מתוך 3: כיצד לפתור משוואה מעוקבת ללא מונח קבוע

1. 1 גלה אם יש מונח חופשי במשוואה הקובית ד{ displaystyle d}. למשוואה המעוקבת יש צורה ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$... כדי שמשוואה תיחשב מעוקבת, מספיק שרק המונח ${ displaystyle x ^ {3}}$ (כלומר, אולי לא יהיו חברים אחרים בכלל).
   • אם למשוואה יש מונח חופשי ${ displaystyle d}$, השתמש בשיטה אחרת.
   • אם במשוואה ${ displaystyle a = 0}$, זה לא מעוקב.
2. 2 הוציאו מהסוגריים איקס{ displaystyle x}. מכיוון שאין משוואה חופשית במשוואה, כל מונח במשוואה כולל את המשתנה ${ displaystyle x}$... זה אומר אחד ${ displaystyle x}$ ניתן להוציא מסוגריים כדי לפשט את המשוואה. לפיכך, המשוואה תיכתב כך: ${ displaystyle x (ax ^ {2} + bx + c)}$.
   • לדוגמה, נתון משוואה מעוקבת ${ displaystyle 3x ^ {3} -2x ^ {2} + 14x = 0}$
   • להוציא ${ displaystyle x}$ סוגריים וקבל ${ displaystyle x (3x ^ {2} -2x + 14) = 0}$
3. 3 פקטור (תוצר של שני בינומים) המשוואה הריבועית (במידת האפשר). משוואות ריבועיות רבות של הצורה ${ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0}$ יכול להיות מגורם. משוואה כזו תתגלה אם נוציא ${ displaystyle x}$ מחוץ לסוגריים. בדוגמה שלנו:
   • הוציאו מהסוגריים ${ displaystyle x}$: ${ displaystyle x (x ^ {2} + 5x-14) = 0}$
   • גורם את המשוואה הריבועית: ${ displaystyle x (x + 7) (x-2) = 0}$
   • משווים כל פח ל ${ displaystyle 0}$... שורשי המשוואה הזו הם ${ displaystyle x = 0, x = -7, x = 2}$.
4. 4 לפתור משוואה ריבועית באמצעות נוסחה מיוחדת. בצע זאת אם לא ניתן לגדל את המשוואה הריבועית. כדי למצוא שני שורשים של משוואה, ערכי המקדמים ${ Displaystyle א}$, ${ displaystyle b}$, ${ displaystyle c}$ תחליף בנוסחה ${ displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$.
   • בדוגמה שלנו, החלף את ערכי המקדמים ${ Displaystyle א}$, ${ displaystyle b}$, ${ displaystyle c}$ (${ displaystyle 3}$, ${ displaystyle -2}$, ${ displaystyle 14}$) לתוך הנוסחה:

     ${ displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$

     ${ displaystyle { frac {- (- 2) pm { sqrt {((-2) ^ {2} -4 (3) (14)}}} {2 (3)}}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {4- (12) (14)}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {(4-168}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {-164}}} {6}}}$

   • השורש הראשון:

     ${ displaystyle { frac {2 + { sqrt {-164}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 + 12,8i} {6}}}$

   • שורש שני:

     ${ displaystyle { frac {2-12,8i} {6}}}$

5. 5 השתמש בשורשים אפסיים וריבועיים כפתרונות למשוואה הקובית. למשוואות ריבועיות יש שני שורשים, בעוד שלקוביות יש שלושה. כבר מצאת שני פתרונות - אלה הם שורשי המשוואה הריבועית. אם תשים "x" מחוץ לסוגריים, הפתרון השלישי יהיה ${ displaystyle 0}$.
   • אם תוציא "x" מהסוגריים, תקבל ${ displaystyle x (ax ^ {2} + bx + c) = 0}$כלומר שני גורמים: ${ displaystyle x}$ ומשוואה ריבועית בסוגריים. אם אחד הגורמים הללו הוא ${ displaystyle 0}$, המשוואה כולה שווה גם ל ${ displaystyle 0}$.
   • לפיכך, שני שורשים של משוואה ריבועית הם פתרונות של משוואה מעוקבת. הפתרון השלישי הוא ${ displaystyle x = 0}$.

שיטה 2 מתוך 3: כיצד למצוא שורשים שלמים באמצעות מכפילים

1. 1 וודא שיש מונח חופשי במשוואה הקובית ד{ displaystyle d}. אם במשוואה של הטופס ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$ יש חבר חינם ${ displaystyle d}$ (שאינו שווה לאפס), זה לא יעבוד לשים "x" מחוץ לסוגריים. במקרה זה, השתמש בשיטה המתוארת בסעיף זה.
   • לדוגמה, נתון משוואה מעוקבת ${ displaystyle 2x ^ {3} + 9x ^ {2} + 13x = -6}$... כדי לקבל אפס בצד ימין של המשוואה, הוסף ${ displaystyle 6}$ לשני צידי המשוואה.
   • המשוואה תתברר ${ displaystyle 2x ^ {3} + 9x ^ {2} + 13x + 6 = 0}$... כפי ש ${ displaystyle d = 6}$, לא ניתן להשתמש בשיטה המתוארת בסעיף הראשון.
2. 2 רשום את גורמי המקדם א{ Displaystyle א} וחבר חינם ד{ displaystyle d}. כלומר, מצא את גורמי המספר ב ${ displaystyle x ^ {3}}$ ומספרים לפני הסימן השווה. נזכיר כי גורמי המספר הם המספרים שכאשר מכפילים אותם מייצרים מספר זה.
   • לדוגמה, כדי לקבל את המספר 6, אתה צריך להכפיל ${ Displaystyle 6 פעמים 1}$ ו ${ Displaystyle 2 פעמים 3}$... אז המספרים 1, 2, 3, 6 הם גורמים למספר 6.
   • במשוואה שלנו ${ displaystyle a = 2}$ ו ${ displaystyle d = 6}$... מכפילים 2 הם 1 ו 2... מכפילים 6 הם המספרים 1, 2, 3 ו 6.
3. 3 חלקו כל גורם א{ Displaystyle א} לכל גורם ד{ displaystyle d}. כתוצאה מכך, אתה מקבל הרבה שברים ומספר מספרים שלמים; שורשי המשוואה הקובית יהיו אחד מהמספרים השלמים או הערך השלילי של אחד המספרים השלמים.
   • בדוגמה שלנו, חלק את הגורמים ${ Displaystyle א}$ (1 ו 2) לפי גורמים ${ displaystyle d}$ (1, 2, 3 ו 6). תקבל: ${ displaystyle 1}$, ${ displaystyle { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {6}}}$, ${ displaystyle 2}$ ו ${ displaystyle { frac {2} {3}}}$... כעת הוסף לרשימה זו ערכים שליליים של השברים והמספרים המתקבלים: ${ displaystyle 1}$, ${ displaystyle -1}$, ${ displaystyle { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle - { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle - { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {6}}}$, ${ displaystyle - { frac {1} {6}}}$, ${ displaystyle 2}$, ${ displaystyle -2}$, ${ displaystyle { frac {2} {3}}}$ ו ${ displaystyle - { frac {2} {3}}}$... כל השורשים של המשוואה הקובית הם מספרים מרשימה זו.
4. 4 חבר מספרים שלמים למשוואה הקובית. אם השוויון נכון, המספר המוחלף הוא שורש המשוואה. לדוגמה, החלף במשוואה ${ displaystyle 1}$:
   • ${ displaystyle 2 (1) ^ {3} +9 (1) ^ {2} +13 (1) +6}$ = ${ displaystyle 2 + 9 + 13 + 6}$ ≠ 0, כלומר, שוויון אינו נצפה. במקרה זה, חבר את המספר הבא.
   • תחליף ${ displaystyle -1}$: ${ displaystyle (-2) +9 +(- 13) +6}$ = 0. לפיכך, ${ displaystyle -1}$ הוא כל השורש של המשוואה.
5. 5 השתמש בשיטת חלוקת הפולינומים ב התוכנית של הורנרלמצוא את שורשי המשוואה מהר יותר. בצע זאת אם אינך רוצה להחליף מספרים באופן ידני למשוואה. בתוכנית של הורנר מספרים שלמים מחולקים לערכי מקדמי המשוואה ${ Displaystyle א}$, ${ displaystyle b}$, ${ displaystyle c}$ ו ${ displaystyle d}$... אם המספרים מתחלקים באופן שווה (כלומר, השאר ${ displaystyle 0}$), מספר שלם הוא שורש המשוואה.
   • התוכנית של הורנר ראויה למאמר נפרד, אך להלן דוגמה לחישוב אחד משורשי המשוואה הקובית שלנו באמצעות סכמה זו:

     -1 | 2 9 13 6

     __| -2-7-6

     __| 2 7 6 0

   • כך שהשאר ${ displaystyle 0}$, אבל ${ displaystyle -1}$ הוא אחד משורשי המשוואה.

שיטה 3 מתוך 3: כיצד לפתור משוואה באמצעות האפליה

1. 1 רשום את ערכי מקדמי המשוואה א{ Displaystyle א}, ב{ displaystyle b}, ג{ displaystyle c} ו ד{ displaystyle d}. אנו ממליצים לרשום מראש את ערכי המקדמים שצוינו על מנת שלא להתבלבל בעתיד.
   • למשל, בהתחשב במשוואה ${ displaystyle x ^ {3} -3x ^ {2} + 3x -1}$... לִרְשׁוֹם ${ displaystyle a = 1}$, ${ displaystyle b = -3}$, ${ displaystyle c = 3}$ ו ${ displaystyle d = -1}$... נזכיר שאם לפני כן ${ displaystyle x}$ אין מספר, המקדם המקביל עדיין קיים והוא שווה ל- ${ displaystyle 1}$.
2. 2 חשב את אפל האפליה באמצעות נוסחה מיוחדת. כדי לפתור משוואה מעוקבת באמצעות האפליה, עליך לבצע מספר חישובים קשים, אך אם תבצע את כל השלבים בצורה נכונה, שיטה זו תהפוך להיות הכרחית לפתרון המשוואות הקוביות המורכבות ביותר. חישוב ראשון ${ displaystyle Delta _ {0}}$ (אפס אפליה) הוא הערך הראשון שאנחנו צריכים; לשם כך, החלף את הערכים המתאימים בנוסחה ${ displaystyle Delta _ {0} = b ^ {2} -3ac}$.
   • המבדיל הוא מספר המאפיין את שורשיו של פולינום (לדוגמה, ההבחנה של משוואה ריבועית מחושבת על ידי הנוסחה ${ displaystyle b ^ {2} -4ac}$).
   • במשוואה שלנו:

     ${ displaystyle b ^ {2} -3ac}$

     ${ displaystyle (-3) ^ {2} -3 (1) (3)}$

     ${ displaystyle 9-3 (1) (3)}$

     ${ displaystyle 9-9 = 0 = Delta _ {0}}$

3. 3 חשב את האפליה הראשונה באמצעות הנוסחה Δ1=2ב3−9אבג+27א2ד{ displaystyle Delta _ {1} = 2b ^ {3} -9abc + 27a ^ {2} d}. מפלה ראשון ${ displaystyle Delta _ {1}}$ - זהו הערך החשוב השני; כדי לחשב אותו, חבר את הערכים המתאימים לנוסחה שצוינה.
   • במשוואה שלנו:

     ${ displaystyle 2 (-3) ^ {3} -9 (1) (- 3) (3) +27 (1) ^ {2} (- 1)}$

     ${ displaystyle 2 (-27) -9 (-9) +27 (-1)}$

     ${ displaystyle -54 + 81-27}$

     ${ displaystyle 81-81 = 0 = דלתא _ {1}}$

4. 4 לחשב:${ displaystyle Delta = ( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) div -27a ^ {2}}$... כלומר, מצא את האפליה של המשוואה הקובית באמצעות הערכים המתקבלים ${ displaystyle Delta _ {0}}$ ו ${ displaystyle Delta _ {1}}$... אם ההבחנה של משוואה מעוקבת היא חיובית, למשוואה יש שלושה שורשים; אם האפליה היא אפס, למשוואה יש שורש אחד או שניים; אם המבחן שלילי, למשוואה יש שורש אחד.
   • למשוואה מעוקבת תמיד יש לפחות שורש אחד, שכן הגרף של משוואה זו חותך את ציר ה- X לפחות בנקודה אחת.
   • במשוואה שלנו ${ displaystyle Delta _ {0}}$ ו ${ displaystyle Delta _ {1}}$ שווים ${ displaystyle 0}$, כך שתוכל לחשב בקלות ${ Displaystyle Delta}$:

     ${ displaystyle ( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) div (-27a ^ {2})}$

     ${ displaystyle ((0) ^ {2} -4 (0) ^ {3}) div (-27 (1) ^ {2})}$

     ${ displaystyle 0-0 div 27}$

     ${ displaystyle 0 = Delta}$... לפיכך, למשוואה שלנו יש שורש אחד או שניים.

5. 5 לחשב:${ displaystyle C = ^ {3} { sqrt { left ({ sqrt { Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}}} + Delta _ {1 } מימין) div 2}}}$. ${ displaystyle C}$ - זו הכמות החשובה האחרונה שנמצאת; זה יעזור לך לחשב את שורשי המשוואה. החלף את הערכים בנוסחה שצוינה ${ displaystyle Delta _ {1}}$ ו ${ displaystyle Delta _ {0}}$.
   • במשוואה שלנו:

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) + Delta _ {1}}} div 2}}}$

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {(0 ^ {2} -4 (0) ^ {3}) + (0)}} div 2}}}$

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {(0-0) +0}} div 2}}}$

     ${ displaystyle 0 = C}$

6. 6 מצא שלושה שורשים של המשוואה. עשה זאת בעזרת הנוסחה ${ displaystyle - (b + u ^ {n} C + Delta _ {0} div (u ^ {n} C)) div 3a}$, איפה ${ displaystyle u = (- 1 + { sqrt {-3}}) div 2}$, אבל נ שווה ל 1, 2 אוֹ 3... החלף את הערכים המתאימים לנוסחה זו - כתוצאה מכך תקבל שלושה שורשים של המשוואה.
   • חשב את הערך באמצעות הנוסחה ב- נ = 1, 2 אוֹ 3ולאחר מכן בדוק את התשובה. אם אתה מקבל 0 כאשר אתה בודק את התשובה שלך, ערך זה הוא שורש המשוואה.
   • בדוגמה שלנו, תחליף 1 ב ${ displaystyle x ^ {3} -3x ^ {2} + 3x -1}$ וקבל 0, כלומר 1 הוא אחד משורשי המשוואה.