תוֹכֶן

• צעדים
• שיטה 1 מתוך 3: כיצד למצוא את הצד הלא ידוע
• שיטה 2 מתוך 3: מציאת זווית לא ידועה
• שיטה 3 מתוך 3: בעיות לדוגמא
• טיפים

משפט הקוסינוס נמצא בשימוש נרחב בטריגונומטריה. הוא משמש בעבודה עם משולשים לא סדירים כדי למצוא כמויות לא ידועות כגון צדדים וזוויות. המשפט דומה למשפט פיתגורס וקל למדי לזכור אותו. משפט הקוסינוס אומר כי בכל משולש ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.

צעדים

שיטה 1 מתוך 3: כיצד למצוא את הצד הלא ידוע

1. 1 רשום את הערכים הידועים. כדי למצוא את הצד הלא ידוע של משולש, עליך להכיר את שני הצדדים האחרים ואת הזווית ביניהם.
   • לדוגמה, נתון משולש XYZ. צד YX הוא 5 ס"מ, צד YZ הוא 9 ס"מ וזווית Y היא 89 °. מהו הצד XZ?
2. 2 רשום את נוסחת משפט הקוסינוס. נוּסחָה: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$, איפה ${ displaystyle c}$ - צד לא ידוע, ${ displaystyle cos {C}}$ - קוסינוס של הזווית ההפוכה לצד הלא ידוע, ${ Displaystyle א}$ ו ${ displaystyle b}$ - שני צדדים ידועים.
3. 3 חבר את הערכים הידועים לנוסחה. משתנים ${ Displaystyle א}$ ו ${ displaystyle b}$ מציינים שני צדדים ידועים. מִשְׁתַנֶה ${ displaystyle C}$ היא הזווית הידועה שנמצאת בין הצדדים ${ Displaystyle א}$ ו ${ displaystyle b}$.
   • בדוגמה שלנו, הצד XZ אינו ידוע, ולכן בנוסחה הוא מסומן כ ${ displaystyle c}$... מכיוון שהצדדים YX ו- YZ ידועים, הם מסומנים על ידי המשתנים ${ Displaystyle א}$ ו ${ displaystyle b}$... מִשְׁתַנֶה ${ displaystyle C}$ היא הזווית Y. לכן, הנוסחה תיכתב כדלקמן: ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) cos {89}}$.
4. 4 מצא את הקוסינוס של זווית ידועה. עשה זאת באמצעות מחשבון. הזן ערך זווית ולאחר מכן לחץ על ${ displaystyle COS}$... אם אין לך מחשבון מדעי, מצא טבלת קוסינוס מקוונת, למשל, כאן. כמו כן ב- Yandex, תוכל להזין "קוסינוס של X מעלות" (החלף את ערך הזווית ב- X), ומנוע החיפוש יציג את קוסינוס הזווית.
   • לדוגמה, הקוסינוס הוא 89 ° ≈ 0.01745. לכן: ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) (0.01745)}$.
5. 5 הכפל את המספרים. לְהַכפִּיל ${ displaystyle 2ab}$ לפי הקוסינוס של זווית ידועה.
   • לדוגמה:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) (0.01745)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -1.5707}$
6. 6 מקפלים את הריבועים של הצדדים הידועים. זכור, כדי לרבוע מספר, יש להכפיל אותו בעצמו. ראשית, ריבוע את המספרים המתאימים ולאחר מכן הוסף את הערכים המתקבלים.
   • לדוגמה:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -1.5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 25 + 81-1.5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 106-1.5707}$
7. 7 מחסירים שני מספרים. תוכל למצוא ${ displaystyle c ^ {2}}$.
   • לדוגמה:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 106-1.5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 104.4293}$
8. 8 קח את השורש הריבועי של ערך זה. לשם כך, השתמש במחשבון. כך אתה מוצא את הצד הלא ידוע.
   • לדוגמה:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 104.4293}$
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {104.4293}}}$
     ${ displaystyle c = 10.2191}$
     אז הצד הלא ידוע הוא 10.2191 ס"מ.

שיטה 2 מתוך 3: מציאת זווית לא ידועה

1. 1 רשום את הערכים הידועים. כדי למצוא את הזווית הלא ידועה של משולש, עליך להכיר את כל שלושת צלעות המשולש.
   • לדוגמה, נתון משולש RST. CP צדדי = 8 ס"מ, ST = 10 ס"מ, PT = 12 ס"מ מצא את ערך הזווית S.
2. 2 רשום את נוסחת משפט הקוסינוס. נוּסחָה: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$, איפה ${ displaystyle cos {C}}$ - קוסינוס בזווית לא ידועה, ${ displaystyle c}$ - צד ידוע מול פינה לא ידועה, ${ Displaystyle א}$ ו ${ displaystyle b}$ - שתי מסיבות מפורסמות אחרות.
3. 3 מצא את הערכים א{ Displaystyle א}, ב{ displaystyle b} ו ג{ displaystyle c}. לאחר מכן חבר אותם לנוסחה.
   • לדוגמה, צד ה- RT מנוגד לזווית S הלא ידועה, ולכן הצד RT הוא ${ displaystyle c}$ בנוסחה. מפלגות אחרות יעשו זאת ${ Displaystyle א}$ ו ${ displaystyle b}$... אז הנוסחה תיכתב כדלקמן: ${ displaystyle 12 ^ {2} = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -2 (8) (10) cos {C}}$.
4. 4 הכפל את המספרים. לְהַכפִּיל ${ displaystyle 2ab}$ לפי הקוסינוס של הזווית הלא ידועה.
   • לדוגמה, ${ displaystyle 12 ^ {2} = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -160 cos {C}}$.
5. 5 זקוף ג{ displaystyle c} בריבוע. כלומר, הכפל את המספר עצמו.
   • לדוגמה, ${ displaystyle 144 = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -160 cos {C}}$
6. 6 מקפלים את הריבועים א{ Displaystyle א} ו ב{ displaystyle b}. אך ראשית, ריבוע את המספרים המתאימים.
   • לדוגמה:
     ${ displaystyle 144 = 64 + 100-160 cos {C}}$
     ${ displaystyle 144 = 164-160 cos {C}}$
7. 7 לבודד את הקוסינוס של הזווית הלא ידועה. לשם כך, הפחת את הסכום ${ displaystyle a ^ {2}}$ ו ${ displaystyle b ^ {2}}$ משני צידי המשוואה. לאחר מכן חלק את כל צד המשוואה לפי הגורם בקוסינוס של הזווית הלא ידועה.
   • לדוגמה, כדי לבודד את הקוסינוס של זווית לא ידועה, הפחת 164 משני צידי המשוואה, ולאחר מכן חלק כל צד ב -160:
     ${ displaystyle 144-164 = 164-164-160 cos {C}}$
     ${ displaystyle -20 = -160 cos {C}}$
     ${ displaystyle { frac {-20} {- 160}} = { frac {-160 cos {C}} {- 160}}}$
     ${ displaystyle 0.125 = cos {C}}$
8. 8 חשב את הקוסינוס ההפוך. זה ימצא את ערך הזווית הלא ידועה. במחשבון, הפונקציה הקוסינוס ההפוכה מסומנת ${ displaystyle COS ^ {- 1}}$.
   • לדוגמה, ארקוסין של 0.0125 הוא 82.8192. אז הזווית S היא 82.8192 °.

שיטה 3 מתוך 3: בעיות לדוגמא

1. 1 מצא את הצד הלא ידוע של המשולש. הצדדים הידועים הם 20 ס"מ ו -17 ס"מ, והזווית ביניהם היא 68 °.
   • מכיוון שניתן לך שני צדדים והזווית ביניהם, אתה יכול להשתמש במשפט הקוסינוס. רשמו את הנוסחה: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • הצד הלא ידוע הוא ${ displaystyle c}$... חבר את הערכים הידועים לנוסחה: ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) cos {68}}$.
   • לחשב ${ displaystyle c ^ {2}}$תוך התבוננות בסדר הפעולות המתמטיות:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) cos {68}}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) (0.3746)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -254.7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 400 + 289-254.7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 689-254,7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 434.2675}$
   • קח את השורש הריבועי של שני צידי המשוואה. כך אתה מוצא את הצד הלא ידוע:
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {434.2675}}}$
     ${ displaystyle c = 20.8391}$
     אז הצד הלא ידוע הוא 20.8391 ס"מ.
2. 2 מצא את הזווית H במשולש GHI. שני הצדדים הסמוכים לפינה H הם 22 ו -16 ס"מ. הצד שממול לפינה H הוא 13 ס"מ.
   • מכיוון ששלושת הצדדים ניתנים, ניתן להשתמש במשפט הקוסינוס. רשמו את הנוסחה: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • הצד שממול לפינה הלא ידועה הוא ${ displaystyle c}$... חבר את הערכים הידועים לנוסחה: ${ displaystyle 13 ^ {2} = 22 ^ {2} + 16 ^ {2} -2 (22) (16) cos {C}}$.
   • פשט את הביטוי שהתקבל:
     ${ displaystyle 13 ^ {2} = 22 ^ {2} + 16 ^ {2} -704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 13 ^ {2} = 484 + 256 - 704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 169 = 484 + 256 - 704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 169 = 740-704 cos {C}}$
   • לבודד את הקוסינוס:
     ${ displaystyle 169-740 = 740-740-704 cos {C}}$
     ${ displaystyle -571 = -704 cos {C}}$
     ${ displaystyle { frac {-571} {- 704}} = { frac {-704 cos {C}} {- 704}}}$
     ${ displaystyle 0.8111 = cos {C}}$
   • מצא את הקוסינוס ההפוך. כך מחשבים את הזווית הלא ידועה:
     ${ displaystyle 0.8111 = cos {C}}$
     ${ displaystyle 35.7985 = COS ^ {- 1}}$.
     לפיכך, הזווית H היא 35.7985 °.
3. 3 מצא את אורך המסלול. שבילי הנהר, ההרים והביצה יוצרים משולש. אורכו של שביל הנהר הוא 3 ק"מ, אורכו של שביל ההרי הוא 5 ק"מ; שבילים אלה מצטלבים זה בזה בזווית של 135 °. שביל הביצה מחבר בין שני הקצוות של השבילים האחרים. מצא את אורך שביל הביצה.
   • השבילים יוצרים משולש. עליך למצוא את אורך הנתיב הלא ידוע, שהוא צלע המשולש. מכיוון שאורכי שני הנתיבים האחרים והזווית ביניהם ניתנים, ניתן להשתמש במשפט הקוסינוס.
   • רשמו את הנוסחה: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • השביל הלא ידוע (ביצה) יצוין כ ${ displaystyle c}$... חבר את הערכים הידועים לנוסחה: ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) cos {135}}$.
   • לחשב ${ displaystyle c ^ {2}}$:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) cos {135}}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) ( - 0.7071)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} - ( - 21.2132)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 9 + 25 + 21.2132}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 55.2132}$
   • קח את השורש הריבועי של שני צידי המשוואה. כך תמצא את אורך הנתיב הלא ידוע:
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {55.2132}}}$
     ${ displaystyle c = 7.4306}$
     אז אורך שביל הביצה הוא 7.4306 ק"מ.

טיפים

• קל יותר להשתמש במשפט הסינוס. לכן, קודם כל בררו אם ניתן ליישם אותה על הבעיה הנתונה.