תוֹכֶן

• צעדים
• חלק 1 מתוך 3: מציאת התחום של פונקציה
• חלק 2 מתוך 3: מציאת טווח הפונקציה הריבועית
• חלק 3 מתוך 3: מציאת טווח הפונקציות באמצעות הגרף שלה

לכל פונקציה שני משתנים - המשתנה הבלתי תלוי והמשתנה התלוי, שערכיהם תלויים בערכי המשתנה הבלתי תלוי. למשל בפונקציה y = ו(איקס) = 2איקס + y המשתנה הבלתי תלוי הוא x והמשתנה התלוי הוא y (במילים אחרות, y הוא פונקציה של x). הערכים התקפים של המשתנה הבלתי תלוי "x" נקראים תחום הפונקציה, והערכים התקפים של המשתנה התלוי "y" נקראים תחום הפונקציה.

צעדים

חלק 1 מתוך 3: מציאת התחום של פונקציה

1. 1 קבע את סוג הפונקציה שניתן לך. טווח הערכים של הפונקציה הם כולם ערכים קבילים של "x" (מתווים לאורך הציר האופקי), התואמים את הערכים המתקבלים של "y". הפונקציה יכולה להיות ריבועית או להכיל שברים או שורשים. כדי למצוא את התחום של פונקציה, תחילה עליך לקבוע את סוג הפונקציה.
   • הפונקציה הריבועית היא: ax + bx + c: f (x) = 2x + 3x + 4
   • פונקציה המכילה שבר: f (x) = (/_איקס), f (x) = /_{(x - 1)} (וכו).
   • פונקציה המכילה שורש: f (x) = √x, f (x) = √ (x + 1), f (x) = √-x (וכן הלאה).
2. 2 בחר את הערך המתאים להיקף הפונקציה. ההיקף כתוב בסוגריים ו / או בסוגריים. סוגר מרובע משמש כאשר ערך נמצא בהיקף של פונקציה; אם הערך אינו בהיקף, נעשה שימוש בסוגריים. אם לפונקציה יש מספר תחומי הגדרה לא רציפים, סמל "U" ממוקם ביניהם.
   • לדוגמה, התחום [-2,10) U (10,2] כולל את הערכים -2 ו -2, אך אינו כולל את הערך 10.
   • סוגריים משמשים תמיד עם סמל האינסוף ∞.
3. 3 משרטט פונקציה ריבועית. הגרף של פונקציה כזו הוא פרבולה שענפיה מכוונים כלפי מעלה או כלפי מטה. מכיוון שהפרבולה עולה או יורדת על כל ציר ה- X, התחום של הפונקציה הריבועית הוא כולם מספרים ממשיים. במילים אחרות, התחום של פונקציה כזו הוא הערך R (R מציין את כל המספרים האמיתיים).
   • להבנה טובה יותר של מושג הפונקציה, בחר כל ערך של "x", החלף אותו בפונקציה ומצא את הערך "y". צמד הערכים "x" ו- "y" מייצגים נקודה עם קואורדינטות (x, y), הנמצאת על גרף הפונקציה.
   • צייר נקודה זו במישור הקואורדינטות ועקוב אחר התהליך המתואר עם ערך "x" שונה.
   • על ידי רישום מספר נקודות במישור הקואורדינטות, תקבל מושג כללי על צורת גרף הפונקציות.
4. 4 אם הפונקציה מכילה שבר, הגדר את המכנה שלה לאפס. זכור כי אינך יכול לחלק באפס. לכן, על ידי השוואת המכנה לאפס, תמצא ערכים עבור "x" שאינם בהיקף הפונקציה.
   • לדוגמה, מצא את התחום של הפונקציה f (x) = /_{(x - 1)}.
   • כאן המכנה הוא (x - 1).
   • יש להשוות את המכנה לאפס ולמצוא "x": x - 1 = 0; x = 1.
   • רשום את היקף הפונקציה. התחום אינו כולל 1, כלומר הוא כולל את כל המספרים האמיתיים למעט 1. לפיכך, תחום הפונקציה הוא: (-∞, 1) U (1, ∞).
   • הסימון (-∞, 1) U (1, ∞) קורא כך: מכלול כל המספרים האמיתיים למעט 1. סמל האינסוף ∞ פירושו כל המספרים האמיתיים. בדוגמה שלנו, כל המספרים האמיתיים הגדולים מ -1 ופחות מ -1 כלולים בהיקף.
5. 5 אם הפונקציה מכילה שורש מרובע, הביטוי הרדיקלי חייב להיות גדול או שווה לאפס. זכור כי השורש הריבועי של מספרים שליליים אינו מופק. לכן, כל הערך של "x" שבו הביטוי הרדיקלי הופך לשלילי חייב להיות מחוץ להיקף הפונקציה.
   • לדוגמה, מצא את התחום של הפונקציה f (x) = √ (x + 3).
   • הביטוי הרדיקלי: (x + 3).
   • הביטוי הרדיקלי חייב להיות גדול או שווה לאפס: (x + 3) ≥ 0.
   • מצא "x": x ≥ -3.
   • היקפה של פונקציה זו כולל את מכלול כל המספרים הריאליים שגדולים או שווים ל- -3. לפיכך, התחום הוא [-3, ∞).

חלק 2 מתוך 3: מציאת טווח הפונקציה הריבועית

1. 1 ודא שאתה מקבל פונקציה ריבועית. לפונקציה הריבועית יש צורה: ax + bx + c: f (x) = 2x + 3x + 4. הגרף של פונקציה כזו הוא פרבולה שענפיה מכוונים למעלה או למטה. ישנן שיטות שונות לאיתור טווח הערכים של פונקציה ריבועית.
   • הדרך הקלה ביותר למצוא את הטווח של פונקציית שורש או שבר היא גרף פונקציה זו באמצעות מחשבון גרפים.
2. 2 מצא את קואורדינטות ה- x של קודקוד גרף הפונקציות. במקרה של פונקציה ריבועית, מצאו את קואורדינטות ה- x של קודקוד הפרבולה. זכור כי הפונקציה הריבועית היא: ax + bx + c. לחישוב קואורדינטות ה- x השתמשו במשוואה הבאה: x = -b / 2a. משוואה זו היא נגזרת של הפונקציה הריבועית הבסיסית ומתארת ​​משיק, שהשיפוע שלו הוא אפס (המשיק לקודקוד הפרבולה מקביל לציר ה- X).
   • לדוגמה, מצא את טווח הפונקציה 3x + 6x -2.
   • חשב את קואורדינטות ה- x של קודקוד הפרבולה: x = -b / 2a = -6 / (2 * 3) = -1
3. 3 מצא את הקואורדינטות y של קודקוד גרף הפונקציות. לשם כך, החלף את הקואורדינטות "x" שנמצאו בפונקציה. הקואורדינטות המבוקשות "y" היא הערך המגביל של טווח הערכים של הפונקציה.
   • חשב את קואורדינטת y: y = 3x + 6x -2 = 3 (-1) + 6 (-1) -2 = -5
   • קואורדינטות קודקוד הפרבולה של פונקציה זו הן (-1, -5).
4. 4 קבע את כיוון הפרבולה על ידי החלפת ערך x אחד לפחות לפונקציה. בחר כל ערך x אחר וחבר אותו לפונקציה כדי לחשב את ערך y המתאים. אם הערך המצוי "y" גדול מהקואורדינטות "y" של קודקוד הפרבולה, הרי שהפרבולה מכוונת כלפי מעלה. אם הערך שנמצא "y" קטן מהקואורדינטות "y" של קודקוד הפרבולה, הרי שהפרבולה מופנית כלפי מטה.
   • תחליף x = -2 בפונקציה: y = 3x + 6x -2 = y = 3 (-2) + 6 (-2) -2 = 12 -12 -2 = -2.
   • קואורדינטות הנקודה על הפרבולה הן (-2, -2).
   • הקואורדינטות שנמצאו מצביעות על כך שענפי הפרבולה מכוונים כלפי מעלה. לפיכך, טווח הפונקציות כולל את כל ערכי y שגדולים או שווים ל- -5.
   • טווח ערכים של פונקציה זו: [-5, ∞)
5. 5 טווח הערכים של פונקציה כתוב באותו אופן כמו טווח ההגדרה של פונקציה. סוגר המרובע משמש כאשר הערך נמצא בטווח הפונקציה; אם הערך אינו בטווח, נעשה שימוש בסוגריים. אם לפונקציה יש מספר טווחי ערכים לא רציפים, סמל "U" ממוקם ביניהם.
   • לדוגמה, הטווח [-2,10) U (10,2] כולל את הערכים -2 ו -2, אך אינו כולל את הערך 10.
   • סוגריים משמשים תמיד עם סמל האינסוף ∞.

חלק 3 מתוך 3: מציאת טווח הפונקציות באמצעות הגרף שלה

1. 1 משרטט את הפונקציה. במקרים רבים, קל יותר למצוא את טווח הערכים של פונקציה על ידי רישום הגרף שלה. טווח הערכים של פונקציות רבות עם שורשים הוא (-∞, 0] או [0, + ∞), שכן קודקוד הפרבולה המופנית ימינה או שמאלה נמצא על ציר ה- X. במקרה זה , הטווח כולל את כל הערכים החיוביים של "y" אם הפרבולה עולה, או כל ערכי y השליליים אם הפרבולה יורדת. לפונקציות שבריריות יש אסימפטוטות המגדירות את הטווח שלהן.
   • קודקודי הגרפים של כמה פונקציות עם שורשים שוכנים מעל או מתחת לציר ה- X. במקרה זה, טווח הערכים נקבע על ידי קואורדינטת ה" y "של קודקוד הפרבולה. אם, למשל, הקואורדינטות "y" של קודקוד הפרבולה היא -4 (y = -4), והפרבולה עולה, אזי טווח הערכים הוא [-4, + ∞).
   • הדרך הקלה ביותר לשרטט פונקציה היא באמצעות מחשבון גרפים או תוכנות מיוחדות.
   • אם אין לך מחשבון גרפים, צור גרף גס על ידי חיבור מספר ערכי x לפונקציה וחישוב ערכי y המתאימים. ציירו את הנקודות שנמצאו במישור הקואורדינטות כדי לקבל מושג כללי על צורת הגרף.
2. 2 מצא את המינימום של הפונקציה. כאשר אתה מתווה פונקציה, תראה את הנקודה שבה יש לפונקציה ערך מינימלי.אם אין מינימום ברור, אז זה לא קיים, והגרף של הפונקציה עובר ל -∞.
   • טווח הערכים של הפונקציה כולל את כל הערכים של "y" למעט ערכי האסימפטוטים. לעתים קרובות, טווחי הערכים של פונקציות כאלה נכתבים באופן הבא: (-∞, 6) U (6, ∞).
3. 3 קבע את מקסימום הפונקציה. לאחר שתרשמת פונקציה, תראה את הנקודה שבה לפונקציה יש את הערך המרבי שלה. אם אין מקסימום ברור, אז זה לא קיים, והגרף של הפונקציה עובר ל + ∞.
4. 4 טווח הערכים של פונקציה כתוב באותו אופן כמו טווח ההגדרה של פונקציה. סוגר המרובע משמש כאשר הערך נמצא בטווח הפונקציה; אם הערך אינו בטווח, נעשה שימוש בסוגריים. אם לפונקציה יש מספר טווחי ערכים לא רציפים, סמל "U" ממוקם ביניהם.
   • לדוגמה, הטווח [-2,10) U (10,2] כולל את הערכים -2 ו -2, אך אינו כולל את הערך 10.
   • סוגריים משמשים תמיד עם סמל האינסוף ∞.