תוֹכֶן

• צעדים
• שיטה 1 מתוך 2: נקודת חיתוך של שתי קווים
• שיטה 2 מתוך 2: בעיות בפונקציות ריבועיות
• טיפים

במרחב הדו-ממדי, שני קווים ישרים מצטלבים רק בנקודה אחת, שצוין על ידי קואורדינטות (x, y). מכיוון ששני הקווים עוברים את נקודת החיתוך שלהם, הקואורדינטות (x, y) חייבות לספק את שתי המשוואות המתארות את הקווים הללו.בעזרת מיומנות נוספת, תוכלו למצוא את נקודות החיתוך של פרבולות ועקומות ריבועיות אחרות.

צעדים

שיטה 1 מתוך 2: נקודת חיתוך של שתי קווים

1. 1 רשום את המשוואה עבור כל שורה על ידי בידוד משתנה y בצד השמאלי של המשוואה. שאר המונחים במשוואה צריכים להיות ממוקמים בצד ימין של המשוואה. אולי המשוואה שניתנה לך במקום "y" תכיל את המשתנה f (x) או g (x); במקרה זה, לבודד משתנה כזה. כדי לבודד משתנה, בצע את המתמטיקה המתאימה משני צידי המשוואה.
   • אם משוואות הקווים הישרים לא ניתנות לך, מצא אותן על סמך המידע שאתה מכיר.
   • דוגמא... להלן קווים ישרים המתוארים על ידי המשוואות ${ displaystyle y = x + 3}$ ו ${ displaystyle y -12 = -2x}$... כדי לבודד את y במשוואה השנייה, הוסף 12 לשני צידי המשוואה: ${ displaystyle y = 12-2x}$
2. 2 השווה את הביטויים בצד ימין של כל משוואה. המשימה שלנו היא למצוא את נקודת החיתוך של שני הקווים הישרים, כלומר הנקודה שקואורדינטותיה (x, y) מספקות את שתי המשוואות. מכיוון שהמשתנה "y" ממוקם בצד שמאל של כל משוואה, ניתן להשוות את הביטויים הממוקמים בצד ימין של כל משוואה. רשום את המשוואה החדשה.
   • דוגמא... כפי ש ${ displaystyle y = x + 3}$ ו ${ displaystyle y = 12-2x}$, אז אתה יכול לכתוב את השוויון הבא: ${ displaystyle x + 3 = 12-2x}$.
3. 3 מצא את ערך המשתנה "x". המשוואה החדשה מכילה רק משתנה אחד "x". כדי למצוא את ה" x ", בודד את המשתנה הזה בצד השמאלי של המשוואה על ידי ביצוע המתמטיקה המתאימה משני צידי המשוואה. אתה אמור לקבל משוואה של הטופס x = __ (אם זה לא אפשרי, דלג לסוף פרק זה).
   • דוגמא. ${ displaystyle x + 3 = 12-2x}$
   • לְהוֹסִיף ${ displaystyle 2x}$ לכל צד של המשוואה:
   • ${ displaystyle 3x + 3 = 12}$
   • הפחת 3 מכל צד של המשוואה:
   • ${ displaystyle 3x = 9}$
   • חלקו כל צד של המשוואה ב -3:
   • ${ displaystyle x = 3}$.
4. 4 השתמש בערך המצוי של המשתנה "x" לחישוב ערך המשתנה "y". לשם כך, החלף את הערך שנמצא "x" במשוואה הישרה (כל).
   • דוגמא. ${ displaystyle x = 3}$ ו ${ displaystyle y = x + 3}$
   • ${ displaystyle y = 3 + 3}$
   • ${ displaystyle y = 6}$
5. 5 בדוק את התשובה שלך. לשם כך, החלף את הערך "x" במשוואה אחרת של השורה ומצא את הערך "y". אם אתה מקבל ערכי y שונים, בדוק שהחישובים שלך נכונים.
   • דוגמא:${ displaystyle x = 3}$ ו ${ displaystyle y = 12-2x}$
   • ${ displaystyle y = 12-2 (3)}$
   • ${ displaystyle y = 12-6}$
   • ${ displaystyle y = 6}$
   • קיבלנו את אותו ערך עבור "y", כך שאין טעויות בחישובים שלנו.
6. 6 רשום את הקואורדינטות (x, y). על ידי חישוב הערכים של "x" ו- "y", מצאת את קואורדינטות הצומת של שתי הקווים. רשום את הקואורדינטות של נקודת החיתוך בצורה (x, y).
   • דוגמא. ${ displaystyle x = 3}$ ו ${ displaystyle y = 6}$
   • לפיכך, שני קווים מצטלבים בנקודה עם קואורדינטות (3,6).
7. 7 חישובים במקרים מיוחדים. במקרים מסוימים, לא ניתן למצוא את ערך המשתנה "x". אבל זה לא אומר שעשית טעות. מקרה מיוחד מתרחש כאשר אחד מהתנאים הבאים מתקיים:
   • אם שני קווים מקבילים, הם אינם מצטלבים. במקרה זה, המשתנה "x" פשוט יבוטל, והמשוואה תהפוך לשוויון חסר משמעות (למשל, ${ displaystyle 0 = 1}$). במקרה זה, כתוב בתשובתך זאת קווים ישרים אינם מצטלבים אוֹ אין פתרון.
   • אם שתי המשוואות מתארות קו ישר אחד, אז יהיה אינסוף נקודות חיתוך. במקרה זה, המשתנה "x" פשוט יבוטל, והמשוואה תהפוך לשוויון קפדני (לדוגמה, ${ displaystyle 3 = 3}$). במקרה זה, כתוב בתשובתך כי שני קווים ישרים חופפים.

שיטה 2 מתוך 2: בעיות בפונקציות ריבועיות

1. 1 הגדרה של פונקציה ריבועית. בפונקציה ריבועית, למשתנה אחד או יותר יש את התואר השני (אך לא גבוה יותר), למשל, ${ displaystyle x ^ {2}}$ אוֹ ${ displaystyle y ^ {2}}$... עלילות פונקציות ריבועיות הן עקומות שאינן יכולות או מצטלבות בנקודה אחת או שתיים. בחלק זה, נראה לך כיצד למצוא את הנקודה או נקודות החיתוך של עקומות ריבועיות.
   • אם המשוואה כוללת ביטוי בסוגריים, הרחב את הסוגריים כדי לוודא שהפונקציה היא ריבועית. למשל, הפונקציה ${ displaystyle y = (x + 3) (x)}$ היא ריבועית, שכן הרחבת הסוגריים נותנת ${ displaystyle y = x ^ {2} + 3x.}$
   • הפונקציה המתארת ​​את המעגל כוללת את שניהם ${ displaystyle x ^ {2}}$ו ${ displaystyle y ^ {2}}$... אם יש לך בעיות בפתרון בעיות עם פונקציה זו, עבור לסעיף "עצות".
2. 2 כתוב מחדש כל משוואה על ידי בידוד משתנה y בצד השמאלי של המשוואה. שאר המונחים במשוואה צריכים להיות ממוקמים בצד ימין של המשוואה.
   • דוגמא... מצא את נקודות החיתוך בין הגרפים ${ displaystyle x ^ {2} + 2x -y = -1}$ ו ${ displaystyle y = x + 7}$
   • לבודד את משתנה y בצד השמאלי של המשוואה:
   • ${ displaystyle y = x ^ {2} + 2x + 1}$ ו ${ displaystyle y = x + 7}$.
   • בדוגמה זו ניתנת לך פונקציה ריבועית אחת ופונקציה לינארית אחת. זכור שאם ניתנות לך שתי פונקציות ריבועיות, החישובים דומים לשלבים הבאים.
3. 3 השווה את הביטויים בצד ימין של כל משוואה. מכיוון שהמשתנה "y" ממוקם בצד שמאל של כל משוואה, ניתן להשוות את הביטויים הממוקמים בצד ימין של כל משוואה.
   • דוגמא. ${ displaystyle y = x ^ {2} + 2x + 1}$ ו ${ displaystyle y = x + 7}$
   • ${ displaystyle x ^ {2} + 2x + 1 = x + 7}$
4. 4 העבר את כל מונחי המשוואה המתקבלת לצד השמאלי שלה, וכתוב 0 בצד ימין. לשם כך, בצע פעולות בסיסיות במתמטיקה. זה יאפשר לך לפתור את המשוואה המתקבלת.
   • דוגמא. ${ displaystyle x ^ {2} + 2x + 1 = x + 7}$
   • הפחת את "x" משני צידי המשוואה:
   • ${ displaystyle x ^ {2} + x + 1 = 7}$
   • הפחת 7 משני צידי המשוואה:
   • ${ displaystyle x ^ {2} + x-6 = 0}$
5. 5 פתור את המשוואה הריבועית. העברת כל מונחי המשוואה לצד השמאלי שלה, תקבל משוואה ריבועית. ניתן לפתור אותה בשלוש דרכים: שימוש בנוסחה מיוחדת, משלימה לריבוע מלא ופקטור המשוואה.
   • דוגמא. ${ displaystyle x ^ {2} + x-6 = 0}$
   • בעת פקטור משוואה, אתה מקבל שני בינומים שאתה מכפיל כדי לקבל את המשוואה המקורית. בדוגמה שלנו, המונח הראשון ${ displaystyle x ^ {2}}$ ניתן להרחיב ל- x * x. רשמו את הערך הבא: (x) (x) = 0
   • בדוגמה שלנו, ניתן להרחיב את המונח החופשי -6 לגורמים הבאים: ${ displaystyle -6 * 1}$, ${ displaystyle -3 * 2}$, ${ displaystyle -2 * 3}$, ${ displaystyle -1 * 6}$.
   • בדוגמה שלנו, המונח השני הוא x (או 1x). הוסף כל זוג גורמי יירוט (בדוגמה שלנו -6) עד שתקבל 1. בדוגמה שלנו, זוג גורמי היירוט המתאים הוא -2 ו -3 (${ displaystyle -2 * 3 = -6}$), כפי ש ${ displaystyle -2 + 3 = 1}$.
   • מלא את החסר עם צמד המספרים שנמצא: ${ displaystyle (x-2) (x + 3) = 0}$.
6. 6 אל תשכח את נקודת החיתוך השנייה של שני הגרפים. בחיפזון תוכלו לשכוח את נקודת החיתוך השנייה. כך תוכל למצוא את קואורדינטות ה- x של שתי נקודות חיתוך:
   • דוגמה (פקטור)... אם במשוואה ${ displaystyle (x-2) (x + 3) = 0}$ אחד הביטויים בסוגריים יהיה שווה ל -0, ואז המשוואה כולה תהיה שווה ל- 0. לכן, אתה יכול לכתוב את זה כך: ${ displaystyle x-2 = 0}$ → ${ displaystyle x = 2}$ ו ${ displaystyle x + 3 = 0}$ → ${ displaystyle x = -3}$ (כלומר, מצאתם שני שורשים של המשוואה).
   • דוגמה (באמצעות נוסחה או השלמה לריבוע מלא)... בעת שימוש באחת מהשיטות הללו, השורש הריבועי יופיע בתהליך הפתרון. לדוגמה, המשוואה מהדוגמה שלנו תצא בצורה ${ displaystyle x = (- 1 + { sqrt {25}}) / 2}$... זכור, אתה מקבל שני פתרונות כאשר אתה לוקח את השורש הריבועי. במקרה שלנו: ${ displaystyle { sqrt {25}} = 5 * 5}$, ו${ displaystyle { sqrt {25}} = (- 5) * (- 5)}$... אז רשום שתי משוואות ומצא שני ערכי x.
7. 7 הגרפים מצטלבים בנקודה אחת או לא מצטלבים כלל. מצבים כאלה מתרחשים כאשר מתקיימים התנאים הבאים:
   • אם הגרפים מצטלבים בנקודה אחת, המשוואה הריבועית מתפרקת לאותם גורמים, למשל, (x-1) (x-1) = 0, והשורש הריבועי של 0 מופיע בנוסחה (${ displaystyle { sqrt {0}}}$). במקרה זה, למשוואה יש רק פתרון אחד.
   • אם הגרפים כלל אינם מצטלבים, המשוואה אינה מתפרקת לגורמים, והשורש הריבועי של מספר שלילי מופיע בנוסחה (לדוגמה, ${ displaystyle { sqrt {-2}}}$). במקרה זה, כתוב בתשובה כי אין פתרון.
8. 8 החלף את הערך שנמצא של המשתנה "x" במשוואה (כל אחת) של העקומה. זה ימצא את ערך המשתנה y. אם יש לך שני ערכים עבור המשתנה "x", בצע את התהליך המתואר עם שני הערכים של "x".
   • דוגמא... מצאת שני ערכים עבור המשתנה "x": ${ displaystyle x = 2}$ ו ${ displaystyle x = -3}$... חבר כל אחד מהערכים הללו למשוואה לינארית ${ displaystyle y = x + 7}$... תקבל : ${ displaystyle y = 2 + 7 = 9}$ ו ${ displaystyle y = -3 + 7 = 4}$.
9. 9 רשום את הקואורדינטות של נקודת החיתוך בצורה (x, y). על ידי חישוב ערכי x ו- y, מצאת את קואורדינטות הצומת של שני הגרפים. אם זיהית שני ערכים "x" ו- "y", רשום את שני זוגות הקואורדינטות מבלי לבלבל את הערכים המתאימים "x" ו- "y".
   • דוגמא... כאשר הוא מוחלף למשוואה ${ displaystyle x = 2}$ תקבל ${ displaystyle y = 9}$כלומר זוג קואורדינטות אחד (2, 9)... על ידי ביצוע אותו חישוב עם ערך ה- x השני, תקבל את צמד הקואורדינטות השני (-3, 4).

טיפים

• הפונקציה המתארת ​​את המעגל כוללת את שניהם ${ displaystyle x ^ {2}}$ו ${ displaystyle y ^ {2}}$... כדי למצוא את נקודות החיתוך של מעגל וקו ישר, חשב "x" באמצעות משוואה לינארית. לאחר מכן חבר את ערך x שנמצא לפונקציה המתארת ​​את המעגל, ותקבל משוואה ריבועית פשוטה שאולי אין לה פתרון או שיש לה פתרון אחד או שניים.
• עיגול ועקומה (ריבועיים או אחרים) אינם יכולים להצטלב או להצטלב בנקודה אחת, שתיים, שלוש, ארבע. במקרה זה, עליך למצוא את הערך של x (לא "x") ולאחר מכן להחליף אותו בפונקציה השנייה. על ידי חישוב y, אתה מקבל פתרון אחד או שניים, או בכלל לא פתרונות. כעת חבר את הערך שנמצא "y" לאחת משתי הפונקציות ומצא את הערך "x". במקרה זה, תקבל פתרון אחד או שניים, או כלל לא פתרונות.