כיצד לגדל בינום

תוֹכֶן

צעדים
חלק 1 מתוך 3: פקטורינג בינומים
חלק 2 מתוך 3: פקטורינג בינומים לפתרון משוואות
חלק 3 מתוך 3: פתרון בעיות מורכבות
טיפים
אזהרות

בינומי (בינומי) הוא ביטוי מתמטי בעל שני מונחים שביניהם יש סימן פלוס או מינוס, למשל, ${ displaystyle ax + b}$ ... האיבר הראשון כולל את המשתנה, והשני כולל או אינו כולל אותו. פקטורינג בינומי כרוך במציאת מונחים שכאשר הם מוכפלים מייצרים את הבינומי המקורי על מנת לפתור או לפשט אותו.

צעדים

חלק 1 מתוך 3: פקטורינג בינומים

1 להבין את היסודות של תהליך הפקטורינג. בעת פקטור בינומי, הגורם המהווה מחלק של כל מונח של הבינומי המקורי מוציא מהסוגר. לדוגמה, המספר 6 מתחלק לחלוטין ב -1, 2, 3, 6. לפיכך, מחלקי המספר 6 הם המספרים 1, 2, 3, 6.
- מחלקים 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32.
- מחלקים של כל מספר הם 1 והמספר עצמו. לדוגמה, מחלקים של 3 הם 1 ו -3.
- מחלקים שלמים יכולים להיות מספרים שלמים בלבד. את המספר 32 ניתן לחלק ב- 3.564 או 21.4952, אך אינך מקבל מספר שלם, אלא שבר עשרוני.
2 הזמינו את תנאי הבינום כדי להקל על תהליך הפקטורינג. בינומי הוא סכום או הבדל של שני מונחים, שאחד מהם מכיל משתנה. לפעמים משתנים מועלים לעוצמה, למשל, איקס2{ displaystyle x ^ {2}} אוֹ 5y4{ displaystyle 5y ^ {4}}... עדיף לסדר את תנאי הבינום בסדר עולה של מעריכים, כלומר המונח בעל המעריך הקטן ביותר נכתב תחילה, ועם הגדול ביותר - האחרון. לדוגמה:
- ${ displaystyle 3t + 6}$ → ${ displaystyle 6 + 3t}$
- ${ displaystyle 3x ^ {4} + 9x ^ {2}}$ → ${ displaystyle 9x ^ {2} + 3x ^ {4}}$
- איקס2−2{ displaystyle x ^ {2} -2} → −2+איקס2{ displaystyle -2 + x ^ {2}}
  - שימו לב לסימן המינוס מול 2. אם מונח מופחת, כתבו לפניו סימן מינוס.
3 מצא את המחלק המשותף הגדול ביותר (GCD) של שני המונחים. GCD הוא המספר הגדול ביותר לפיו שני חברי הבינום מתחלקים. לשם כך, מצא את המחלקים של כל מונח בינומי, ולאחר מכן בחר את המחלק המשותף הגדול ביותר. לדוגמה:
- משימה:3t+6{ displaystyle 3t + 6}.
  - מחלקים 3: 1, 3
  - מחלקים 6: 1, 2, 3, 6.
  - GCD = 3.
4 חלק כל מונח בינומי על ידי המחלק המשותף הגדול ביותר (GCD). בצע זאת כדי לגרום ל- GCD. שים לב שכל איבר בינומי יורד (כיוון שהוא מתחלק), אך אם ה- GCD אינו נכלל בסוגריים, הביטוי הסופי יהיה שווה לזה המקורי.
- משימה: ${ displaystyle 3t + 6}$ .
- מצא את ה- GCD: 3
- חלק כל מונח בינומי לפי gcd: ${ displaystyle { frac {3t} {3}} + { frac {6} {3}} = t + 2}$
5 העבר את המחלק מהסוגריים. מוקדם יותר, חילקתם את שני מונחי הבינום על ידי מחלק 3 וקיבלתם t+2{ displaystyle t + 2}... אך אינך יכול להיפטר מ -3 - על מנת שערכי הביטויים הראשוניים והאחרונים יהיו שווים, עליך לשים 3 מחוץ לסוגריים ולכתוב את הביטוי המתקבל כתוצאה מחלוקה בסוגריים. לדוגמה:
- משימה: ${ displaystyle 3t + 6}$ .
- מצא את ה- GCD: 3
- חלק כל מונח בינומי לפי gcd: ${ displaystyle { frac {3t} {3}} + { frac {6} {3}} = t + 2}$
- הכפל את המחלק לפי הביטוי שהתקבל: ${ displaystyle 3 (t + 2)}$
- תשובה: ${ displaystyle 3 (t + 2)}$
6 בדוק את התשובה שלך. לשם כך, הכפל את המונח לפני הסוגריים בכל מונח בתוך הסוגריים. אם אתה מקבל את הבינומי המקורי, הפתרון נכון. עכשיו תפתור את הבעיה 12t+18{ displaystyle 12t + 18}:
- הזמינו את החברים: ${ displaystyle 18 + 12t}$
- מצא את ה- GCD: ${ displaystyle 6}$
- חלק כל מונח בינומי לפי gcd: ${ displaystyle { frac {18t} {6}} + { frac {12t} {6}} = 3 + 2t}$
- הכפל את המחלק לפי הביטוי שהתקבל: ${ displaystyle 6 (3 + 2t)}$
- בדוק את התשובה: ${ displaystyle (6 * 3) + (6 * 2t) = 18 + 12t}$

חלק 2 מתוך 3: פקטורינג בינומים לפתרון משוואות

1 פקטור הבינומי כדי לפשט אותו ולפתור את המשוואה. במבט ראשון נראה שאי אפשר לפתור כמה משוואות (במיוחד עם בינומים מורכבים). לדוגמה, פתר את המשוואה 5y−2y2=−3y{ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}... במשוואה זו יש סמכויות, לכן חשוב קודם כל על הביטוי.
- משימה: ${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
- זכור כי בינומיום כולל שני איברים. אם הביטוי כולל מונחים נוספים, למד כיצד לפתור פולינומים.
2 הוסיפו או חיסרו איזה מונומיום לשני צידי המשוואה כך שאפס יישאר בצד אחד של המשוואה. במקרה של פקטורטיזציה, הפתרון למשוואות מבוסס על העובדה שאי אפשר לשנות כי כל ביטוי מוכפל באפס שווה לאפס. לכן, אם נשווה את המשוואה לאפס, כל אחד מהגורמים שלה חייב להיות שווה לאפס. הגדר צד אחד של המשוואה ל- 0.
- משימה: ${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
- הגדר לאפס:5y−2y2+3y=−3y+3y{ displaystyle 5y -2y ^ {2} + 3y = -3y + 3y}
  - ${ displaystyle 8y-2y ^ {2} = 0}$
3 פקטור את הפח שהתקבל. בצע זאת כמתואר בסעיף הקודם. מצאו את הגורם המשותף הגדול ביותר (GCD), חלקו את שני מונחי הבינום על ידיו ולאחר מכן הוציאו את הגורם החוצה מהסוגריים.
- משימה: ${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
- הגדר לאפס: ${ displaystyle 8y-2y ^ {2} = 0}$
- גורם: ${ displaystyle 2y (4-y) = 0}$
4 הגדר כל גורם לאפס. בביטוי המתקבל, 2y מוכפל ב- 4 - y, ומוצר זה שווה לאפס. מכיוון שכל ביטוי (או מונח) מוכפל באפס הוא אפס, אז 2y או 4 - y הוא 0. הגדר את המונומיום והבינומי המתקבל לאפס כדי למצוא "y".
- משימה: ${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
- הגדר לאפס: ${ displaystyle 8y-2y ^ {2} + 3y = 0}$
- גורם: ${ displaystyle 2y (4-y) = 0}$
- הגדר את שני הגורמים ל- 0:
  - ${ displaystyle 2y = 0}$
  - ${ displaystyle 4-y = 0}$
5 פתרו את המשוואות המתקבלות כדי למצוא את התשובה הסופית (או התשובות). מכיוון שכל גורם שווה לאפס, למשוואה יכולות להיות מספר פתרונות. בדוגמה שלנו:
- 2y=0{ displaystyle 2y = 0}
  - ${ displaystyle { frac {2y} {2}} = { frac {0} {2}}}$
  - y = 0
- 4−y=0{ displaystyle 4-y = 0}
  - ${ displaystyle 4-y + y = 0 + y}$
  - y = 4
6 בדוק את התשובה שלך. לשם כך, החלף את הערכים שנמצאו במשוואה המקורית. אם השוויון נכון, אז ההחלטה נכונה. החלף את הערכים שנמצאו במקום "y". בדוגמה שלנו, y = 0 ו- y = 4:
- 5(0)−2(0)2=−3(0){ displaystyle 5 (0) -2 (0) ^ {2} = - 3 (0)}
  - ${ displaystyle 0 + 0 = 0}$
  - ${ displaystyle 0 = 0}$ זוהי ההחלטה הנכונה
- 5(4)−2(4)2=−3(4){ displaystyle 5 (4) -2 (4) ^ {2} = - 3 (4)}
  - ${ displaystyle 20-32 = -12}$
  - ${ displaystyle -12 = -12}$ וזו ההחלטה הנכונה

חלק 3 מתוך 3: פתרון בעיות מורכבות

1 זכור כי ניתן להביא לפקטור גם מונח עם משתנה, גם אם המשתנה עולה לעוצמה. בעת פקטורינג, אתה צריך למצוא מונומיום שמחלק כל חבר בינומי באופן אינטגרלי. למשל, המונומיום איקס4{ displaystyle x ^ {4}} יכול להיות מגורם איקס∗איקס∗איקס∗איקס{ Displaystyle x * x * x * x}... כלומר, אם המונח השני של הבינומי מכיל גם את המשתנה "x", אז ניתן להוציא את "x" מהסוגריים. לפיכך, התייחסו למשתנים כאל מספרים שלמים. לדוגמה:
- שני חברי הבינום ${ displaystyle 2t + t ^ {2}}$ מכילים "t", כך שניתן להוציא את "t" מהסוגריים: ${ displaystyle t (2 + t)}$
- כמו כן, ניתן להוציא משתנה המוגבר לעוצמה מהתושבת. לדוגמה, שני חברי הבינום ${ displaystyle x ^ {2} + x ^ {4}}$ לְהַכִיל ${ displaystyle x ^ {2}}$ , לכן ${ displaystyle x ^ {2}}$ ניתן להוציא מהסוגר: ${ displaystyle x ^ {2} (1 + x ^ {2})}$
2 הוסף או הפחת מונחים דומים כדי לקבל בינומיום. למשל, בהתחשב בביטוי 6+2איקס+14+3איקס{ displaystyle 6 + 2x + 14 + 3x}... במבט ראשון, זהו פולינום, אך למעשה ניתן להמיר ביטוי זה לבינום. הוסף מונחים דומים: 6 ו -14 (אינם מכילים משתנה) ו- 2x ו- 3x (מכילים את אותו משתנה "x"). במקרה זה, תהליך הפקטורינג יופשט:
- ביטוי מקורי: ${ displaystyle 6 + 2x + 14 + 3x}$
- הזמינו את החברים: ${ displaystyle 2x + 3x + 14 + 6}$
- הוסף מונחים דומים: ${ displaystyle 5x + 20}$
- מצא את ה- GCD: ${ displaystyle 5 (x) +5 (4)}$
- גורם: ${ displaystyle 5 (x + 4)}$
3 התחשב בהבדל הריבועים המושלמים. ריבוע מושלם הוא מספר שהשורש הריבועי שלו הוא מספר שלם, למשל 9{ displaystyle 9}(3∗3){ displaystyle (3 * 3)}, איקס2{ displaystyle x ^ {2}}(איקס∗איקס){ displaystyle (x * x)} ואפילו 144t2{ displaystyle 144t ^ {2}}(12t∗12t){ displaystyle (12t * 12t)}... אם הבינומי הוא ההבדל של ריבועים מושלמים, למשל, א2−ב2{ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2}}, ואז הוא מתייחס לגורם הנוסחה:
- הבדל נוסחת הריבועים: ${ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2} = (a + b) (a -b)}$
- משימה: ${ displaystyle 4x ^ {2} -9}$
- חלץ את השורשים המרובעים:
  - ${ displaystyle { sqrt {4x ^ {2}}} = 2x}$
  - ${ displaystyle { sqrt {9}} = 3}$
- החלף את הערכים שנמצאו בנוסחה: ${ displaystyle 4x ^ {2} -9 = (2x + 3) (2x -3)}$
4 גורם את ההבדל בין הקוביות השלמות. אם הבינומי הוא ההבדל של קוביות שלמות, למשל, א3−ב3{ displaystyle a ^ {3} -b ^ {3}}, לאחר מכן הוא מגורם באמצעות נוסחה מיוחדת. במקרה זה, יש צורך לחלץ את שורש הקוביה מכל אחד מהבינומים, ולהחליף את הערכים שנמצאו בנוסחה.
- הנוסחה להבדל בין קוביות: ${ displaystyle a ^ {3} -b ^ {3} = (a -b) (a ^ {2} + ab + b ^ {2})}$
- משימה: ${ displaystyle 8x ^ {3} -27}$
- לחלץ שורשים מעוקבים:
  - ${ displaystyle { sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x}$
  - ${ displaystyle { sqrt [{3}] {27}} = 3}$
- החלף את הערכים שנמצאו בנוסחה: ${ displaystyle 8x ^ {3} -27 = (2x -3) (4x ^ {2} + 6x + 9)}$
5 מחשבים את סכום הקוביות המלאות. שלא כמו סכום הריבועים המושלמים, סכום הקוביות השלמות, למשל, א3+ב3{ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3}}, ניתן לגורם באמצעות נוסחה מיוחדת. היא דומה לנוסחה להבדל בין קוביות, אך הסימנים הפוכים. הנוסחה פשוטה למדי - כדי להשתמש בה, מצא את סכום הקוביות המלאות בבעיה.
- הנוסחה לסכום הקוביות: ${ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3} = (a + b) (a ^ {2} -ab + b ^ {2})}$
- משימה: ${ displaystyle 8x ^ {3} -27}$
- לחלץ שורשים מעוקבים:
  - ${ displaystyle { sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x}$
  - ${ displaystyle { sqrt [{3}] {27}} = 3}$
- החלף את הערכים שנמצאו בנוסחה: ${ displaystyle 8x ^ {3} -27 = (2x + 3) (4x ^ {2} -6x + 9)}$

טיפים

לפעמים לחברים בינומיים אין מחלק משותף. במשימות מסוימות, החברים מוצגים בצורה פשוטה יותר.
אם אינך יכול למצוא GCD מיד, התחל על ידי חלוקה במספרים קטנים. לדוגמה, אם אינך רואה שה- GCD של המספרים 32 ו -16 הוא 16, חלק את שני המספרים ב 2. אתה מקבל 16 ו -8; את המספרים הללו ניתן לחלק ב- 8. עכשיו אתה מקבל 2 ו -1; לא ניתן לצמצם מספרים אלה. לפיכך, ברור שיש מספר גדול יותר (לעומת 8 ו -2), שהוא המחלק המשותף של שני המספרים הנתונים.
שים לב שמונחים מסדר שישי (עם מעריך של 6, למשל x) הם ריבועים מושלמים וגם קוביות מושלמות. כך, בינומים עם מונחים מסדר שישי, למשל, x - 64, אפשר להחיל (בכל סדר) את הנוסחאות להפרש ריבועים והפרש קוביות. אבל עדיף תחילה ליישם את הנוסחה להפרש הריבועים על מנת להתפרק בצורה נכונה יותר עם בינומיום.