תוֹכֶן

• צעדים
• שיטה 1 מתוך 2: שיטה אלגברית
• שיטה 2 מתוך 2: שיטה גרפית
• טיפים
• אזהרה

פונקציות יכולות להיות שוות, מוזרות או כלליות (כלומר, לא אפילו ולא מוזרות). סוג הפונקציה תלוי בנוכחות או בהיעדר סימטריה. הדרך הטובה ביותר לקבוע את סוג הפונקציה היא לבצע סדרה של חישובים אלגבריים. אך ניתן לברר גם את סוג הפונקציה בלוח הזמנים שלה. על ידי למידה כיצד להגדיר את סוג הפונקציות, תוכל לחזות את התנהגותם של צירופי פונקציות מסוימים.

צעדים

שיטה 1 מתוך 2: שיטה אלגברית

1. 1 זכור מהם הערכים ההפוכים של המשתנים. באלגברה הערך ההפוך של משתנה כתוב בסימן "-" (מינוס). יתר על כן, הדבר נכון לכל ייעוד של המשתנה הבלתי תלוי (לפי האות ${ displaystyle x}$ או כל מכתב אחר). אם בפונקציה המקורית יש כבר סימן שלילי מול המשתנה, אז הערך ההפוך שלו יהיה משתנה חיובי. להלן דוגמאות לכמה מהמשתנים ומשמעויותיהם ההפוכות:
   • המשמעות ההפוכה של ${ displaystyle x}$ הוא ${ displaystyle -x}$.
   • המשמעות ההפוכה של ${ displaystyle q}$ הוא ${ displaystyle -q}$.
   • המשמעות ההפוכה של ${ displaystyle -w}$ הוא ${ displaystyle w}$.
2. 2 החלף את משתנה ההסבר בערך הפוך שלו. כלומר, הפוך את הסימן של המשתנה הבלתי תלוי. לדוגמה:
   • ${ displaystyle f (x) = 4x ^ {2} -7}$ הופך ל ${ displaystyle f (-x) = 4 (-x) ^ {2} -7}$
   • ${ displaystyle g (x) = 5x ^ {5} -2x}$ הופך ל ${ displaystyle g (-x) = 5 (-x) ^ {5} -2 (-x)}$
   • ${ displaystyle h (x) = 7x ^ {2} + 5x + 3}$ הופך ל ${ displaystyle h (-x) = 7 (-x) ^ {2} +5 (-x) +3}$.
3. 3 פשט את הפונקציה החדשה. בשלב זה אין צורך להחליף את המשתנה הבלתי תלוי בערכים מספריים ספציפיים. אתה רק צריך לפשט את הפונקציה החדשה f (-x) כדי להשוות אותה עם הפונקציה המקורית f (x). זכור את הכלל הבסיסי של אקספוננטינציה: העלאת משתנה שלילי לכוח אחיד תביא למשתנה חיובי, והעלאת משתנה שלילי לכוח אי זוגי תביא למשתנה שלילי.
   • ${ displaystyle f (-x) = 4 (-x) ^ {2} -7}$
     • ${ displaystyle f (-x) = 4x ^ {2} -7}$
   • ${ displaystyle g (-x) = 5 (-x) ^ {5} -2 (-x)}$
     • ${ displaystyle g (-x) = 5 (-x ^ {5}) + 2x}$
     • ${ displaystyle g (-x) = - 5x ^ {5} + 2x}$
   • ${ displaystyle h (-x) = 7 (-x) ^ {2} +5 (-x) +3}$
     • ${ displaystyle h (-x) = 7x ^ {2} -5x + 3}$
4. 4 השווה את שתי הפונקציות. השווה את הפונקציה החדשה הפשוטה f (-x) עם הפונקציה המקורית f (x). רשום את המונחים המתאימים של שתי הפונקציות אחת מתחת לשניה והשווה את הסימנים שלהם.
   • אם סימני המונחים המתאימים של שתי הפונקציות חופפים, כלומר f (x) = f (-x), הפונקציה המקורית היא שווה. דוגמא:
     • ${ displaystyle f (x) = 4x ^ {2} -7}$ ו ${ displaystyle f (-x) = 4x ^ {2} -7}$.
     • כאן סימני המונחים חופפים, כך שהפונקציה המקורית אחידה.
   • אם הסימנים של המונחים המתאימים של שתי הפונקציות מנוגדים זה לזה, כלומר f (x) = -f (-x), הפונקציה המקורית אחידה. דוגמא:
     • ${ displaystyle g (x) = 5x ^ {5} -2x}$, אבל ${ displaystyle g (-x) = - 5x ^ {5} + 2x}$.
     • שים לב שאם אתה מכפיל כל מונח בפונקציה הראשונה ב- -1, אתה מקבל את הפונקציה השנייה. לפיכך, הפונקציה המקורית g (x) היא מוזרה.
   • אם הפונקציה החדשה אינה תואמת אף אחת מהדוגמאות לעיל, הרי שזוהי פונקציה כללית (כלומר, לא אחידה ולא מוזרה). לדוגמה:
     • ${ displaystyle h (x) = 7x ^ {2} + 5x + 3}$, אבל ${ displaystyle h (-x) = 7x ^ {2} -5x + 3}$... סימני המונחים הראשונים של שתי הפונקציות זהים, וסימני המונחים השניים הפוכים. לכן, פונקציה זו אינה אחידה ואינה מוזרה.

שיטה 2 מתוך 2: שיטה גרפית

1. 1 משרטט גרף פונקציות. לשם כך, השתמש בנייר גרף או במחשבון גרפים. בחר כל ריבוי מערכי המשתנה המסביר המספרי ${ displaystyle x}$ וחבר אותם לפונקציה כדי לחשב את ערכי המשתנה התלוי ${ displaystyle y}$... צייר את הקואורדינטות שנמצאו של הנקודות במישור הקואורדינטות, ולאחר מכן חבר נקודות אלה כדי לבנות תרשים של הפונקציה.
   • החלף ערכים מספריים חיוביים בפונקציה ${ displaystyle x}$ וערכים מספריים שליליים מתאימים. למשל, בהתחשב בפונקציה ${ displaystyle f (x) = 2x ^ {2} +1}$... חבר את הערכים הבאים ${ displaystyle x}$:
     • ${ displaystyle f (1) = 2 (1) ^ {2} + 1 = 2 + 1 = 3}$... יש לי נקודה עם קואורדינטות ${ displaystyle (1,3)}$.
     • ${ displaystyle f (2) = 2 (2) ^ {2} + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9}$... יש לי נקודה עם קואורדינטות ${ displaystyle (2.9)}$.
     • ${ displaystyle f (-1) = 2 (-1) ^ {2} + 1 = 2 + 1 = 3}$... יש לי נקודה עם קואורדינטות ${ displaystyle (-1,3)}$.
     • ${ displaystyle f (-2) = 2 (-2) ^ {2} + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9}$... יש לי נקודה עם קואורדינטות ${ displaystyle (-2.9)}$.
2. 2 בדוק אם הגרף של הפונקציה סימטרי סביב ציר ה- y. סימטריה מתייחסת לשיקוף התרשים סביב הציר הסדיר. אם החלק של הגרף מימין לציר y (משתנה הסבר חיובי) עולה בקנה אחד עם החלק של הגרף משמאל לציר y (ערכים שליליים של משתנה ההסבר), הגרף הוא סימטרי בערך ציר y. אם הפונקציה סימטרית לגבי הפקודה, הפונקציה היא אחידה.
   • אתה יכול לבדוק את הסימטריה של הגרף לפי נקודות בודדות. אם הערך ${ displaystyle y}$שמתאים לערך ${ displaystyle x}$, תואם את הערך ${ displaystyle y}$שמתאים לערך ${ displaystyle -x}$, הפונקציה היא אחידה.בדוגמה שלנו עם הפונקציה ${ displaystyle f (x) = 2x ^ {2} +1}$ קיבלנו את קואורדינטות הנקודות הבאות:
     • (1.3) ו- (-1.3)
     • (2.9) ו- (-2.9)
   • שים לב שכאשר x = 1 ו- x = -1, המשתנה התלוי הוא y = 3, וכאשר x = 2 ו- x = -2 המשתנה התלוי הוא y = 9. אז הפונקציה היא אחידה. למעשה, על מנת לברר את הצורה המדויקת של פונקציה, עליך לשקול יותר משתי נקודות, אך השיטה המתוארת היא קירוב טוב.
3. 3 בדוק אם גרף הפונקציה סימטרי לגבי המוצא. המוצא הוא הנקודה עם הקואורדינטות (0,0). סימטריה לגבי המוצא פירושה ערך חיובי ${ displaystyle y}$ (עם ערך חיובי ${ displaystyle x}$) מתאים לערך שלילי ${ displaystyle y}$ (עם ערך שלילי ${ displaystyle x}$), ולהיפך. פונקציות מוזרות הן סימטריות לגבי המוצא.
   • אם נחליף מספר ערכים חיוביים ושליליים בפונקציה ${ displaystyle x}$, ערכים ${ displaystyle y}$ יהיה שונה בסימן. למשל, בהתחשב בפונקציה ${ displaystyle f (x) = x ^ {3} + x}$... החלף לתוכו ערכים מרובים ${ displaystyle x}$:
     • ${ displaystyle f (1) = 1 ^ {3} + 1 = 1 + 1 = 2}$... קיבלתי נקודה עם קואורדינטות (1,2).
     • ${ displaystyle f (-1) = (- 1) ^ {3} + (- 1) =- 1-1 = -2}$... קיבלנו נקודה עם קואורדינטות (-1, -2).
     • ${ displaystyle f (2) = 2 ^ {3} + 2 = 8 + 2 = 10}$... קיבלתי נקודה עם קואורדינטות (2,10).
     • ${ displaystyle f (-2) = (- 2) ^ {3} + (- 2) =- 8-2 = -10}$... קיבלנו נקודה עם קואורדינטות (-2, -10).
   • לפיכך, f (x) = -f (-x), כלומר הפונקציה מוזרה.
4. 4 בדוק אם לתרשים של הפונקציה יש סימטריה כלשהי. סוג הפונקציה האחרון הוא פונקציה שלגרף שלה אין סימטריה, כלומר, אין שיקוף הן לגבי ציר הסמכה והן לגבי המוצא. למשל, בהתחשב בפונקציה ${ displaystyle f (x) = x ^ {2} + 2x + 1}$.
   • החלף מספר ערכים שליליים חיוביים ותואמים בפונקציה ${ displaystyle x}$:
     • ${ displaystyle f (1) = 1 ^ {2} +2 (1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4}$... קיבלתי נקודה עם קואורדינטות (1,4).
     • ${ displaystyle f (-1) = (-1) ^ {2} +2 (-1) + (-1) = 1-2-1 = -2}$... קיבלנו נקודה עם קואורדינטות (-1, -2).
     • ${ displaystyle f (2) = 2 ^ {2} +2 (2) + 2 = 4 + 4 + 2 = 10}$... קיבלתי נקודה עם קואורדינטות (2,10).
     • ${ displaystyle f (-2) = (-2) ^ {2} +2 (-2) + (-2) = 4-4-2 = -2}$... קיבלנו נקודה עם קואורדינטות (2, -2).
   • על פי התוצאות שהתקבלו, אין סימטריה. הערכים ${ displaystyle y}$ לערכים מנוגדים ${ displaystyle x}$ אינם חופפים ואינם הפוכים. לפיכך, הפונקציה אינה אחידה ולא מוזרה.
   • שימו לב שהפונקציה ${ displaystyle f (x) = x ^ {2} + 2x + 1}$ אפשר לכתוב כך: ${ displaystyle f (x) = (x + 1) ^ {2}}$... כאשר היא כתובה בצורה זו, נראה שהפונקציה היא אפילו מכיוון שישנו מעריך אחיד. אך דוגמה זו מוכיחה שלא ניתן לקבוע במהירות את סוג הפונקציה אם המשתנה הבלתי תלוי הוא בסוגריים. במקרה זה, עליך לפתוח את הסוגריים ולנתח את המעריכים שהתקבלו.

טיפים

• אם מעריך המשתנה הבלתי תלוי הוא אז הפונקציה היא אפילו; אם המעריך מוזר, הפונקציה מוזרה.

אזהרה

• ניתן ליישם מאמר זה רק על פונקציות בעלות שני משתנים, שניתן לערוך את ערכיהם במישור הקואורדינטות.