תוֹכֶן

• צעדים
• עֵצָה

משוואה ריבועית היא פולינום חד משתנה שבו 2 הוא המעריך הגבוה ביותר של אותו משתנה. ישנן שלוש דרכים עיקריות לפתרון משוואות ריבועיות: 1) להכניס את המשוואה לגורמים במידת האפשר, 2) להשתמש בנוסחה הריבועית, או 3) להשלים את הריבוע. בצע את השלבים הבאים כדי ללמוד כיצד להיות בקיא בשלוש השיטות הללו.

צעדים

שיטה 1 מתוך 3: ניתוח משוואות לגורמים

1. 

   הוסף את כל אותם מונחים והעבר אותם לצד אחד של המשוואה. הצעד הראשון בניתוח הגורמים הוא לשים את כל מונחיו בצד כך שיהיו חיוביים. כדי לשלב מונחים, להוסיף או לחסר את כל המונחים, כל מונחים המכילים וקבועים (המונחים הם מספרים שלמים), להמיר אותם לצד אחד ולא להשאיר דבר בצד השני. לאחר מכן תוכל לכתוב "0" בצד השני של סימן השוויון. כך תעשה זאת:

2. 

   
   
   לנתח את הביטוי לגורם. כדי ליצור גורם ביטוי, עליך להשתמש בגורמי המונח המכיל (3) ובגורמי הקבוע (-4), כדי להכפיל אותם ואז להוסיף אותו למונח האמצעי (-11). . כך תעשה זאת:
   • מכיוון שיש רק קבוצה אחת אפשרית, וניתן לשכתב אותה בסוגריים כך:.
   • לאחר מכן, השתמש בהפחתה כדי לשלב את הגורמים 4 כדי למצוא את השילוב שעושה -11x כשהוא מוכפל. אתה יכול להשתמש ב- 4 ו- 1 או 2 ו- 2 כי לשניהם יש מוצר של 4. רק זכור כי גורם חייב להיות שלילי מכיוון שהמונח שלנו הוא -4.
   • בשיטת הבדיקה נבדוק את שילוב הגורמים. כאשר אנו מיישמים כפל, אנו משיגים. הוסף את התנאים, ויש לנו, זה המונח האמצעי המדויק אליו אנו מכוונים. אז פשוט פירקנו את הפונקציה הריבועית.
   • כדוגמה למבחן זה, נבחן שילוב לקוי (שגוי) של: =. בשילוב תנאים אלה, נקבל. למרות שזה נכון של -2 ו- 2 יש מוצרים שווים ל- -4, המונח באמצע לא נכון, כי אנחנו צריכים את זה, לא.

3. 

   
   
   תן לכל ביטוי בסוגריים להיות אפס כמשוואות אישיות. משם, מצא שני ערכים שהופכים את המשוואה הכוללת לשווה לאפס = 0. כעת, ברגע שאתה גורם למשוואה, אתה רק צריך לצרף את הביטוי בסוגריים עם אפס. למה? הסיבה לכך היא שלמוצר אפס יש לנו "עיקרון, חוק או רכוש" שגורם חייב להיות אפס. לכן, לפחות ערך אחד בסוגריים, חייב להיות אפס; כלומר (3x + 1) או (x - 4) חייבים להיות אפסים. אז גם לנו.

4. 

   
   
   פתור כל אחת ממשוואות ה"אפס "הללו באופן עצמאי. למשוואה הריבועית שני פתרונות אפשריים. מצא כל פתרון אפשרי עבור המשתנה x על ידי הפרדת המשתנה וכתוב את שני הפתרונות שלו כתוצאה הסופית. כך:
   • לפתור 3x + 1 = 0
     • גרע שני צדדים: 3x = -1 .....
     • פצל את הצדדים: 3x / 3 = -1/3 .....
     • התמוטטות: x = -1/3 .....
   • לפתור x - 4 = 0
     • גרע שני צדדים: x = 4 .....
   • כתוב פתרונות אפשריים משלך: x = (-1/3, 4) ....., כלומר x = -1/3, או x = 4 שניהם נכונים.

5. 

   בדוק x = -1/3 אינץ ' (3x + 1) (x - 4) = 0:
   
   במקום ביטוי, יש לנו (3 + 1)( – 4) ?=? 0..... התמוטטות: (-1 + 1) (- 4 1/3)? =? 0 ..... בצע כפל, נקבל (0) (- 4 1/3) = 0 ..... 0 = 0 ..... נכון, x = -1/3 הוא פתרון של משוואה.

6. 

   בדוק x = 4 אינץ ' (3x + 1) (x - 4) = 0:
   
   במקום ביטוי, יש לנו (3 + 1)( – 4) ?=? 0 ..... התמוטטות, אנו מקבלים: (13) (4 - 4)? =? 0 ..... בצע כפל: (13) (0) = 0 ..... 0 = 0 ..... נכון, x = 4 הוא פתרון של המשוואה.
   • כך ששני הפתרונות האפשריים הללו "נבדקו" באופן אינדיבידואלי, וניתן לאשר כי שניהם פותרים את הבעיה והם שני פתרונות אמיתיים נפרדים.
   פרסומת

שיטה 2 מתוך 3: השתמש בנוסחה הריבועית

1. 

   הוסף את כל אותם מונחים והעבר אותם לצד אחד של המשוואה. מעביר את כל המונחים לצד אחד של סימן השווה כך שהמונח מכיל את הסימן החיובי. כתוב מחדש את המונחים בסדר יורד, כלומר המונח בא קודם, ואחריו ולבסוף הקבוע. כך:
   • 4x - 5x - 13 = x -5
   • 4x - x - 5x - 13 +5 = 0
   • 3x - 5x - 8 = 0

2. 

   רשמו את הנוסחה הריבועית שלכם. זה:

3. 

   קבע את הערכים של a, b ו- c במשוואה הריבועית. הַחוּצָה א הוא המקדם של x, ב הוא המקדם של x ו- ג הוא קבוע. עם המשוואה 3x -5x - 8 = 0, a = 3, b = -5 ו- c = -8. אנא רשום על הנייר.

4. 

   חבר את הערכים של a, b ו- c למשוואה. עכשיו שאתה יודע את הערכים של שלושת המשתנים לעיל, אתה יכול להכניס אותם למשוואה ככה:
   • {-b +/- √ (b - 4ac)} / 2
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - 4(3)(-8))}/2(3) =
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - (-96))}/2(3)

5. 

   בצע חישובים. לאחר שהחלפת את המספרים, בצע את שאר החישוב כדי להפחית את הסימנים החיוביים או השליליים, הכפל או ריבוע את המונחים הנותרים. כך:
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - (-96))}/2(3) =
   • {5 +/-√(25 + 96)}/6
   • {5 +/-√(121)}/6

6. 

   כווץ את השורש הריבועי. אם מתחת לשלט הרדיקלי נמצא ריבוע מושלם, תקבל מספר שלם. אם זה לא ריבוע מושלם, אז צמצמו אותו לצורתו הרדיקלית הפשוטה ביותר. אם זה שלילי, ואתה בטוח שזה צריך להיות שלילי, הפיתרון יהיה די מורכב. בדוגמה זו, √ (121) = 11. נוכל לכתוב: x = (5 +/- 11) / 6.

7. 

   לפתור את הפתרונות החיוביים והשליליים. אם הסרת את השורש הריבועי, תוכל להמשיך עד שתמצא את הפתרונות החיוביים והשליליים של x. עכשיו שיש לך (5 +/- 11) / 6, אתה יכול לכתוב שתי אפשרויות:
   • (5 + 11)/6
   • (5 - 11)/6

8. 

   מצא את הפתרונות החיוביים והשליליים. אנחנו רק צריכים לעשות את החישוב:
   • (5 + 11)/6 = 16/6
   • (5-11)/6 = -6/6

9. 

   הִתמוֹטְטוּת. כדי לקצר את התשובות שלך, אתה רק צריך לחלק את המונה וגם את המודל לפי המחלק המשותף הגדול ביותר שלהם. חלקו את המונה ואת המכנה של השבר הראשון ב -2 ואת המכנה ואת המכנה של השבר השני ב- 6, ומצאתם x.
   • 16/6 = 8/3
   • -6/6 = -1
   • x = (-1, 8/3)
   פרסומת

שיטה 3 מתוך 3: השלם את הריבוע

1. 

   העבר את כל המונחים לצד אחד של המשוואה. תוודא ש א או ל- x יש סימן חיובי. כך:
   • 2x - 9 = 12x =
   • 2x - 12x - 9 = 0
     • במשוואה זו, א שווה 2, ב שווה ל- -12 ו- ג שווה ל -9.

2. 

   המשיך הלאה ג או קבוע לצד השני. קבועים הם מונחים מספריים שאינם מכילים משתנים. בואו נעביר אותו לצד ימין של המשוואה:
   • 2x - 12x - 9 = 0
   • 2x - 12x = 9

3. 

   חלק את שני הצדדים לפי המקדמים א או המקדם של x. אם ל- x אין מונח מלפנים, המקדם שלו הוא 1 ותוכל לדלג על שלב זה. במקרה שלנו, יהיה עליכם לחלק את כל המונחים במשוואה ב -2, כך:
   • 2x / 2 - 12x / 2 = 9/2 =
   • x - 6x = 9/2

4. 

   לַחֲלוֹק ב על ידי שניים, מרובעים אותו ומוסיפים את התוצאה לשני הצדדים. בדוגמה זו, ב שווה ל -6. אנו מבצעים את הפעולות הבאות:
   • -6/2 = -3 =
   • (-3) = 9 =
   • x - 6x + 9 = 9/2 + 9

5. 

   כווץ שני צדדים. כדי לפקוד את הצד השמאלי, יש לנו (x-3) (x-3), או (x-3). הוסף את הצד הימני כדי לקבל 9/2 + 9, או 9/2 + 18/2, וקבל 2/27.

6. 

   מצא את השורש הריבועי של שני הצדדים. השורש הריבועי של (x-3) הוא (x-3). אתה יכול לבטא את השורש הריבועי של 27/2 כ ± √ (27/2). אז, x - 3 = ± √ (27/2).

7. 

   כווץ את השלט הרדיקלי ומצא את x. כדי להפחית ± √ (27/2), אנו מוצאים ריבוע בתוך 27, 2 או גורם ממנו. המספר 9 הוא בריבוע 27 כי 9x3 = 27. כדי להסיר 9 מהסימן הרדיקלי, אנו שולפים אותו וכותבים 3, את השורש הריבועי שלו, בנוסף לסימן הרדיקלי. לא ניתן להוציא את הגורם הנותר של 3 במונה, ולכן הוא נשאר מתחת לסימן הרדיקלי. יחד עם זאת, אנו משאירים גם 2 במדגם השבר. לאחר מכן, הזז את הקבוע 3 בצד שמאל של המשוואה ימינה, ורשום את שני הפתרונות:
   • x = 3 + (√6) / 2
   • x = 3 - (√6) / 2)
   פרסומת

עֵצָה

• כפי שניתן לראות, הסימן הרדיקלי אינו נעלם לחלוטין. לכן, מונחים במונה לא יכולים להיות מצטברים (מכיוון שהם אינם מונחים של אותו נכס). לכן, חלוקת הפלוס-מינוס היא חסרת משמעות. במקום זאת, אנו יכולים לחלק את כל הגורמים המשותפים אך רַק כאשר קבוע AND מקדמים של כל רדיקל מכילים גם גורם זה.
• אם השלט הרדיקלי אינו ריבוע מושלם, ניתן לבצע את הצעדים האחרונים בצורה שונה במקצת. כמו:
• אם "b" הוא מספר זוגי, הנוסחה תהיה: {- (b / 2) +/- √ (b / 2) -ac} / a.