תוֹכֶן

• לדרוך
• ההתחלה
• שיטה 1 מתוך 6: ניסוי וטעייה
• שיטה 2 מתוך 6: פירוק
• שיטה 3 מתוך 6: משחק משולש
• שיטה 4 מתוך 6: ההבדל בין שני ריבועים
• שיטה 5 מתוך 6: נוסחת ABC
• שיטה 6 מתוך 6: שימוש במחשבון
• טיפים
• אזהרות
• צרכים

פולינום מכיל משתנה (x) לעוצמה מסוימת ומספר מונחים ו / או קבועים. כדי ליצור פולינום, יהיה עליכם לפרק את הביטוי לביטויים קטנים יותר המוכפלים יחד. זה אכן דורש רמה מסוימת של מתמטיקה ולכן יכול להיות קשה להבין אם אתה עדיין לא כל כך רחוק.

לדרוך

ההתחלה

1. המשוואה. הפורמט הסטנדרטי למשוואה ריבועית הוא:
   
   ax + bx + c = 0
   התחל על ידי סידור המונחים במשוואה מהכוח הגבוה ביותר לנמוך ביותר. לדוגמה, קח:
   
   6 + 6x + 13x = 0
   אנו הולכים לסדר מחדש את הביטוי הזה כך שיהיה קל יותר לעבוד איתו - פשוט על ידי העברת התנאים:
   
   6x + 13x + 6 = 0
2. מצא את הגורמים באמצעות אחת מהשיטות הבאות. פקטור הפולינום יביא לשני ביטויים קטנים יותר שניתן להכפיל יחד כדי לקבל את הפולינום המקורי:
   
   6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
   בדוגמה זו, (2x +3) ו- (3x + 2) הם גורמים מהביטוי המקורי, 6x + 13x + 6.
3. בדוק את עבודתך! הכפל את הגורמים שמצאת. שלבו את אותם מונחים וסיימתם. להתחיל עם:
   
   (2x + 3) (3x + 2)
   בואו לבדוק את זה, להכפיל את המונחים באמצעות EBBL (ראשון - חיצוני - פנימי - אחרון), מה שנותן לנו:
   
   6x + 4x + 9x + 6
   כעת אנו מוסיפים 4x ו- 9x יחד מכיוון שהם מונחים שווים. אנו יודעים שהגורמים נכונים מכיוון שאנו מקבלים בחזרה את המשוואה שאיתה התחלנו:
   
   6x + 13x + 6

שיטה 1 מתוך 6: ניסוי וטעייה

אם יש לך פולינום פשוט למדי, ייתכן שתוכל לראות מה הם הגורמים מיד. לדוגמא, לאחר תרגול מסוים, מתמטיקאים רבים מסוגלים לראות את הביטוי 4x + 4x + 1 יש את הגורמים (2x + 1) ו- (2x + 1) פשוט בגלל שהם ראו את זה כל כך הרבה פעמים. (ברור שזה לא יהיה כל כך קל עם פולינומים מורכבים יותר.) בואו ניקח ביטוי פחות סטנדרטי לדוגמא זו:

3x + 2x - 8

1. כתוב את הגורמים של א מונח ו ג טווח. השתמש בתבנית ax + bx + c = 0, לזהות את א ו ג תנאים ושימו לב אילו גורמים יש. עבור 3x + 2x - 8, זה אומר:
   
   a = 3 ויש לו זוג גורמים אחד: 1 * 3
   c = -8 ויש לזה 4 זוגות גורמים: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 ו- -1 * 8.
2. רשמו שני זוגות סוגריים עם רווח ריק. כאן אתה מזין את הקבועים של כל ביטוי:
   
   (x) (x)
3. מלא את החלל לפני ה- x עם מספר גורמים אפשריים של ה- א ערך. בשביל ה א מונח בדוגמה שלנו, פי 3, יש אפשרות אחת בלבד:
   
   (3x) (1x)
4. מלא את 2 הרווחים אחרי ה- x עם כמה גורמים לקבועים. נניח ואנחנו בוחרים 8 ו- 1. הזן את זה:
   
   (פי 38)(איקס1)
5. קבע אילו סימנים (פלוס או מינוס) צריכים להיות בין משתני x למספרים. תלוי בדמויות הביטוי המקורי, ניתן לגלות מהן דמויות הקבועים להיות. בוא ניקח את שני הקבועים של שני הגורמים ח ו k להזכיר:
   
   אם ax + bx + c אז (x + h) (x + k)
   אם גרזן - bx - c או ax + bx - c אז (x - h) (x + k)
   אם ax - bx + c אז (x - h) (x - k)
   בדוגמה שלנו, 3x + 2x - 8, הסימן הוא: (x - h) (x + k), מה שנותן לנו את שני הגורמים הבאים:
   
   (3x + 8) ו- (x - 1)
6. בדוק את בחירתך בעזרת הכפל הראשון-חיצוני-פנימי-אחרון. מבחן ראשון מהיר כדי לראות אם המונח האמצעי הוא לפחות הערך הנכון. אם לא, כנראה שיש לך את השגוי ג גורמים שנבחרו. בואו נבדוק את התשובה:
   
   (3x + 8) (x - 1)
   בכפל אנו מקבלים:
   
   3x - 3x + 8x - 8
   פשוט את הביטוי הזה על ידי הוספת מונחים דומים (-3x) ו- (8x), ואנחנו מקבלים:
   
   3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8
   כעת אנו יודעים שלקחנו את הגורמים הלא נכונים:
   
   3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8
7. החלף את בחירותיך, במידת הצורך. בדוגמה שלנו, בואו ננסה 2 ו -4, במקום 1 ו- 8:
   
   (3x + 2) (x - 4)
   עכשיו שלנו ג המונח שווה ל -8, אך התוצר החיצוני / הפנימי של (3x * -4) ו- (2 * x) הוא -12x ו- 2x, וזה לא הנכון ב מונח או + 2x.
   
   -12x + 2x = 10x
   10x ≠ 2x
8. הפוך את ההזמנה במידת הצורך. בואו ננסה להפוך את 2 ו -4:
   
   (3x + 4) (x - 2)
   עכשיו שלנו ג מונח (4 * 2 = 8) ועדיין בסדר, אך המוצרים החיצוניים / הפנימיים הם -6x ו -4x. כאשר אנו משלבים את אלה אנו מקבלים:
   
   -6x + 4x = 2x
   2x ≠ -2x עכשיו אנחנו מתקרבים למדי ל- 2x איפה שאנחנו רוצים להיות, אבל השלט עדיין לא תקין.
9. בדוק שוב את הדמויות שלך במידת הצורך. אנו שומרים על הסדר הזה, אך מחליפים אותו עם סימן המינוס:
   
   (3x - 4) (x + 2)
   עכשיו ה ג המונח עדיין בסדר, והמוצרים החיצוניים / הפנימיים הם כעת (6x) ו- (-4x). כי:
   
   6x - 4x = 2x
   2x = 2x אנו רואים כעת את ה- 2x החיובי מהבעיה המקורית. אלה חייבים להיות הגורמים הנכונים.

שיטה 2 מתוך 6: פירוק

שיטה זו נותנת את כל הגורמים האפשריים לה א ו ג מונחים ומשתמש בהם כדי לגלות אילו גורמים נכונים. אם המספרים גדולים מאוד, או שהניחושים של שיטות אחרות הולכים לקחת זמן רב מדי, השתמש בדרך זו. דוגמה:

6x + 13x + 6

1. הכפל את א מונח עם ג טווח. בדוגמה זו, א הוא 6 ו ג הוא גם 6.
   
   6 * 6 = 36
2. למצוא את ה ב מונח על ידי פקטוריזציה ובדיקה. אנו מחפשים 2 מספרים שהם גורמים של א * ג , ויחד את ב מונח (13).
   
   4 * 9 = 36
   4 + 9 = 13
3. החלף את שני המספרים שאתה מקבל במשוואה שלך כסכום של ב טווח. בואו k ו ח כדי לייצג את 2 המספרים שיש לנו, 4 ו- 9:
   
   ax + kx + hx + c
   6x + 4x + 9x + 6
4. פקטור הפולינום על ידי קיבוץ. ארגן את המשוואה כך שתוכל להפריד בין המחלק המשותף הגדול ביותר של שני המונחים הראשונים ושני המונחים האחרונים. שני הגורמים צריכים להיות זהים. הוסף את ה- GGD יחד והניח אותם בסוגריים לצד הגורמים; כתוצאה מכך אתה מקבל את שני הגורמים:
   
   6x + 4x + 9x + 6
   2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
   (2x + 3) (3x + 2)

שיטה 3 מתוך 6: משחק משולש

בדומה לשיטת הפירוק. שיטת "משחק משולש" בוחנת את הגורמים האפשריים לתוצר של א ו ג והשתמש בו כדי לברר מה ב חייב להיות. קח את המשוואה כדוגמה:

8x + 10x + 2

1. הכפל את א מונח עם ג טווח. כמו בשיטת הפירוק, אנו משתמשים בזה כדי לקבוע את המועמדים ל ב טווח. בדוגמה זו: א הוא 8 ו ג הוא 2.
   
   8 * 2 = 16
2. מצא את 2 המספרים עם מספר זה כמוצר ועם סכום השווה ל- ב טווח. שלב זה זהה לשיטת הפירוק - אנו בודקים מועמדים לקבועים. התוצר של א ו ג התנאים הם 16, וה- ג המונח הוא 10:
   
   2 * 8 = 16
   8 + 2 = 10
3. קח את שני המספרים האלה והחליף אותם בנוסחת "משחק משולש". קח את 2 המספרים מהשלב הקודם - בוא נקבל אותם ח ו k קרא להם - והכניס אותם לביטוי:
   
   ((ax + h) (ax + k)) / a
   
   עם זה אנו מקבלים:
   
   ((8x + 8) (8x + 2)) / 8
4. ראה באיזה משני המונחים במכנה ניתן לחלק באופן מלא א. בדוגמה זו אנו בוחנים האם ניתן לחלק את (8x + 8) או (8x + 2) ל- 8. (8x + 8) ניתן לחלוקה ל- 8, לכן אנו מחלקים מונח זה ב א ואנחנו משאירים את האחר לא מושפע.
   
   (8x + 8) = 8 (x + 1)
   המונח ששמרנו כאן הוא המונח שנשאר לאחר החלוקה על ידי א מונח: (x + 1)
5. קח את המחלק המשותף הגדול ביותר (gcd) משני המונחים או משניהם, אם אפשר. בדוגמה זו אנו רואים כי למונח השני יש gcd של 2, מכיוון ש- 8x + 2 = 2 (4x + 1). שלב תשובה זו עם המונח שגילית בשלב הקודם. אלה גורמי ההשוואה שלך.
   
   2 (x + 1) (4x + 1)

שיטה 4 מתוך 6: ההבדל בין שני ריבועים

ניתן לזהות מקדמים מסוימים בפולינום כ"ריבועים ", או גם כתוצר של שני מספרים זהים. על ידי להבין אילו ריבועים הם, ייתכן שתוכל לפקח על הפולינום הרבה יותר מהר. אנו לוקחים את המשוואה:

27x - 12 = 0

1. הסר את ה- gcd מהמשוואה, אם אפשר. במקרה זה אנו רואים כי 27 ו -12 מתחלקים ב -3, כך שנוכל למקם אותם בנפרד:
   
   27x - 12 = 3 (9x - 4)
2. קבע אם המקדמים של המשוואה שלך הם ריבועים. כדי להשתמש בשיטה זו יש צורך לקבוע את שורש המונחים. (שימו לב שהשמטנו את סימני המינוס - מכיוון שמספרים אלה הם ריבועים, הם עשויים להיות תוצר של שני מספרים שליליים)
   
   9x = 3x * 3x ו- 4 = 2 * 2
3. באמצעות השורש הריבועי שקבעת, כעת תוכל לכתוב את הגורמים. אנחנו לוקחים את א ו ג ערכים מהשלב הקודם: א = 9 ו ג = 4, אז השורשים לכך הם: - √א = 3 ו- √ג = 2. אלה המקדמים של הביטויים המופנטרים:
   
   27x - 12 = 3 (9x - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

שיטה 5 מתוך 6: נוסחת ABC

אם נראה ששום דבר לא עובד ואינך יכול לפתור את המשוואה, השתמש בנוסחת abc. קח את הדוגמה הבאה:

x + 4x + 1 = 0

1. הזן את הערכים המתאימים בנוסחת abc:
   
   x = -b ± √ (b - 4ac)
         ---------------------
   2 א
   כעת אנו מקבלים את הביטוי:
   
   x = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2
2. לפתור ל- x. כעת עליך לקבל 2 ערכים עבור x. אלו הם:
   
   
   x = -2 + √ (3) או x = -2 - √ (3)
3. השתמש בערכים של x כדי לקבוע את הגורמים. הזן את ערכי ה- x המתקבלים בשתי המשוואות כקבועים. אלה הגורמים שלך. אם נענה לשניים ח ו k אנו רושמים את שני הגורמים באופן הבא:
   
   (x - h) (x - k)
   במקרה זה, התשובה הסופית היא:
   
   (x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3))

שיטה 6 מתוך 6: שימוש במחשבון

אם מותר (או חובה) להשתמש במחשבון גרפים, הדבר מקל מאוד על פקטורינג, במיוחד מבחנים ובחינות. ההוראות הבאות מיועדות למחשבון גרפי TI. אנו משתמשים במשוואה מהדוגמה:

y = x - x - 2

1. הזן את המשוואה במחשבון שלך. אתה תשתמש בפותר המשוואה, המכונה גם המסך [Y =].
2. גרף את המשוואה בעזרת המחשבון. לאחר שנכנסת למשוואה, לחץ על [GRAPH] - כעת עליך לראות קו מעוגל, פרבולה כמייצג גרפי של המשוואה שלך (וזו פרבולה מכיוון שיש לנו פולינום).
3. מצא היכן הפרבולה מצטלבת עם ציר ה- x. מכיוון שמשוואה ריבועית נכתבת באופן מסורתי כ- ax + bx + c = 0, אלה שני הערכים x שהופכים את המשוואה לשווה לאפס:
   
   (-1, 0), (2 , 0)
   x = -1, x = 2
   • אם אינך יכול לראות היכן הפרבולה מצטלבת עם ציר ה- x, לחץ על [2] ואז על [TRACE]. לחץ על [2] או בחר "אפס". הזז את הסמן משמאל לצומת ולחץ על [ENTER]. הזז את הסמן מימין לצומת ולחץ על [ENTER]. הזז את הסמן קרוב לנקודת הצומת ככל האפשר ולחץ על [ENTER]. המחשבון יציין את ערך x. עשו זאת גם לצומת השני.
4. הזן את ערכי ה- x שהשגת בשני הביטויים המצורפים. אם ניקח את שני הערכים x ח ו k כמונח, הביטוי שאנו משתמשים בו נראה כך:
   
   (x - h) (x - k) = 0
   אז שני הגורמים שלנו הופכים להיות:
   
   (x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)

טיפים

• אם שקלת את הפולינום עם נוסחת abc, והתשובה שלך מכילה שורשים, אתה יכול להמיר את ערכי x לשברים כדי לבדוק אותם.
• אם למונח אין מקדם לפניו, המקדם שווה ל- 1, למשל x = 1x.
• אם יש לך מחשבון TI-84, קיימת תוכנית הנקראת SOLVER שיכולה לפתור עבורך משוואה ריבועית. זה גם פותר פולינומים בדרגה גבוהה יותר.
• לאחר הרבה תרגול, בסופו של דבר תוכל לפתור פולינומים בעל פה. אבל כדי להיות בצד הבטוח עדיף תמיד לכתוב אותם.
• אם מונח אינו קיים, המקדם הוא אפס. אז זה יכול להיות שימושי לשכתב את המשוואה. לְמָשָׁל. x + 6 = x + 0x + 6.

אזהרות

• אם אתה לומד מושג זה בשיעור מתמטיקה, שים לב למה שהמורה מסביר ואל תשתמש רק בשיטה המועדפת עליך. יתכן שתתבקש להשתמש בשיטה ספציפית לבדיקה, או שלא ניתן יהיה להשתמש במחשבוני גרפים.

צרכים

• עִפָּרוֹן
• עיתון
• משוואה ריבועית (נקראת גם משוואה מדרגה שנייה)
• מחשבון גרפים (אופציונלי)