תוֹכֶן

• לדרוך
• שיטה 1 מתוך 3: שימוש בשיטת ההחלפה
• שיטה 2 מתוך 3: שימוש בשיטת החיסול
• שיטה 3 מתוך 3: גרף את המשוואות
• טיפים
• אזהרות

ב"מערכת משוואות "אתה מתבקש לפתור שתי משוואות או יותר בו זמנית. כאשר שני אלה מכילים משתנים שונים, כגון x ו- y, או a ו- b, זה יכול להיות קשה במבט ראשון לראות כיצד לפתור אותם. למרבה המזל, ברגע שאתה יודע מה לעשות, אתה רק צריך כמה מיומנויות בסיסיות במתמטיקה (ולפעמים קצת שבר) כדי לפתור את הבעיה. אם נדרש, או אם אתה סטודנט לחזות, למד כיצד לשרטט גם את המשוואות. תרשימים (מתווים) גרף יכול להיות שימושי כדי "לראות מה קורה", או לבדוק את העבודה שלך, אבל זה יכול להיות איטי יותר מהשיטות האחרות וזה לא עובד עם כל מערכות המשוואה.

לדרוך

שיטה 1 מתוך 3: שימוש בשיטת ההחלפה

1. העבר את המשתנים לצדדים שונים של המשוואה. שיטת "החלפה" זו מתחילה ב"פתרון ל- x "(או כל משתנה אחר) באחת המשוואות. לדוגמא, יש לנו את המשוואות הבאות: 4x + 2y = 8 ו 5x + 3x = 9. קודם כל, אנו מסתכלים על ההשוואה הראשונה. סדר מחדש על ידי הפחתת 2y מכל צד, ותקבל: 4x = 8-2y.
   • שיטה זו משתמשת לעיתים קרובות בשברים בשלב מאוחר יותר. תוכל גם להשתמש בשיטת החיסול שלמטה אם אתה מעדיף לא לעבוד עם שברים.
2. חלק את שני צידי המשוואה כדי לפתור את "x". ברגע שיש לך את המונח x (או כל משתנה שבו אתה משתמש) בצד אחד של המשוואה, חלק את שני צידי המשוואה כדי לבודד את המשתנה. לדוגמה:
   • 4x = 8-2y
   • (4x) / 4 = (8/4) - (2y / 4)
   • x = 2 - חצי שנה
3. חבר את זה בחזרה למשוואה השנייה. דאג לחזור אל אחרים השוואה, לא זו שכבר השתמשת בה. במשוואה זו, אתה מחליף את המשתנה שפתרת, ומשאיר רק משתנה אחד. לדוגמה:
   • עכשיו אתה יודע את זה: x = 2 - חצי שנה.
   • המשוואה השנייה, שעדיין לא שינית, היא: 5x + 3x = 9.
   • במשוואה השנייה, החלף את x ב- "2 - ½y": 5 (2 - ½y) + 3y = 9.
4. לפתור את המשתנה שנותר. כעת יש לך משוואה עם משתנה אחד בלבד. השתמש בטכניקות אלגברה נפוצות כדי לפתור למשתנה זה. אם המשתנים מבטלים זה את זה, דלג לשלב האחרון. אחרת, בסופו של דבר תשובה לאחד המשתנים שלך:
   • 5 (2 - ½y) + 3y = 9
   • 10 - (5/2) y + 3y = 9
   • 10 - (5/2) y + (6/2) y = 9 (אם אינך מבין שלב זה, למד כיצד להוסיף שברים. זה בדרך כלל, אך לא תמיד, הכרחי בשיטה זו).
   • 10 + ½y = 9
   • ½y = -1
   • y = -2
5. השתמש בתשובה כדי לפתור את המשתנה האחר. אל תטעו לסיים את הבעיה באמצע הדרך. יהיה עליך להזין מחדש את התשובה שקיבלת באחת המשוואות המקוריות כדי שתוכל לפתור את המשתנה האחר:
   • עכשיו אתה יודע את זה: y = -2
   • אחת המשוואות המקוריות היא: 4x + 2y = 8. (ניתן להשתמש בשתי המשוואות לשלב זה).
   • חבר -2 במקום y: 4x + 2 (-2) = 8.
   • 4x - 4 = 8
   • 4x = 12
   • x = 3
6. דע מה לעשות אם שני המשתנים מבטלים זה את זה. כאשר אתה x = 3y + 2 או קבל תשובה דומה במשוואה האחרת, אתה מנסה להשיג משוואה עם משתנה אחד בלבד. לפעמים אתה בסופו של דבר עם משוואה במקום לְלֹא משתנים. בדוק שוב את עבודתך וודא להחליף את המשוואה הראשונה (המסודרת מחדש) במשוואה השנייה, ולא את המשוואה הראשונה. אם אתה בטוח שלא עשית טעויות, תקבל אחת מהתוצאות הבאות:
   • אם בסופו של דבר משוואה ללא משתנים והיא לא נכונה (למשל 3 = 5), יש לך את הבעיה אין פתרון. (אם צירתם את המשוואות, תראו שהן מקבילות ולעולם אינן מצטלבות).
   • אם אתה בסופו של דבר עם משוואה ללא משתנים, אבל אלה נו נכון (למשל, 3 = 3), ואז יש לה את הבעיה מספר אינסופי של פתרונות. שתי המשוואות שוות בדיוק. (אם תרטט את שתי המשוואות, תראה שהן חופפות בדיוק).

שיטה 2 מתוך 3: שימוש בשיטת החיסול

1. קובע את המשתנה שיש לבטל. לפעמים המשוואות "יחסלו" זו את זו במשתנה ברגע שתצרפו אותן יחד. לדוגמא, כשאתה עושה את המשוואות 3x + 2y = 11 ו 5x - 2y = 13 משלב, "+ 2y" ו- "-2y" יבטלו זה את זה, עם כל "ys מסולקים מהמשוואה. בדוק את המשוואות בבעיה שלך כדי לברר אם אחד מהמשתנים יבוטל בדרך זו. אם אף אחד מהמשתנים אינו מסוגל, המשך לקרוא לשלב הבא לקבלת ייעוץ.
2. הכפל משוואה לביטול משתנה. (דלג על שלב זה אם המשתנים כבר ביטלו זה את זה). אם אף אחד מהמשתנים במשוואות לא מבוטל מעצמו, עליך לשנות את אחת המשוואות כך שהיא תעשה זאת. זה הכי קל להבין עם דוגמה:
   • נניח שיש לך מערכת משוואות 3x - y = 3 ו -x + 2y = 4.
   • בואו ונשנה את המשוואה הראשונה כך שהמשתנה יהיה y מסולק. (אתה יכול לעשות זאת גם עבור איקס לעשות ולקבל את אותה התשובה).
   • ה - y " של המשוואה הראשונה יש לבטל עם + 2y במשוואה השנייה. אנחנו יכולים לעשות זאת על ידי - y להכפיל ב -2.
   • אנו מכפילים את שני צידי המשוואה הראשונה ב- 2, באופן הבא: 2 (3x - y) = 2 (3), וכך 6x - 2y = 6. עכשיו יהיה - שנתיים ליפול כנגד + 2y במשוואה השנייה.
3. שלב את שתי המשוואות. כדי להיות מסוגל לשלב שתי משוואות, הוסף את הצד השמאלי והימני יחד. אם כתבת את המשוואה כהלכה, אחד מהמשתנים צריך לבטל כנגד השני. הנה דוגמה המשתמשת באותן משוואות כמו השלב האחרון:
   • המשוואות שלך הן: 6x - 2y = 6 ו -x + 2y = 4.
   • שלב את הצדדים השמאלים: 6x - 2y - x + 2y =?
   • שלב את הצדדים הנכונים: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
4. לפתור את המשתנה האחרון. פשט את המשוואה המשולבת ואז השתמש באלגברה בסיסית כדי לפתור את המשתנה האחרון. אם לא נשארים משתנים לאחר הפשט, המשך לשלב האחרון בסעיף זה. אחרת, עליכם לסיים בתשובה פשוטה לאחד המשתנים שלכם. לדוגמה:
   • יש לך: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
   • קיבץ את המשתנים איקס ו y אחד עם השני: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4.
   • לפשט: 5x = 10
   • לפתור עבור x: (5x) / 5 = 10/5, אז זה x = 2.
5. לפתור את המשתנים האחרים. מצאת משתנה אחד, אך עדיין לא סיימת. החלף את תשובתך באחת מהמשוואות המקוריות כדי שתוכל לפתור את המשתנה האחר. לדוגמה:
   • אתה יודע את זה x = 2, ואחת המשוואות המקוריות שלך 3x - y = 3 הוא.
   • חבר 2, במקום x: 3 (2) - y = 3.
   • פתור את y במשוואה: 6 - y = 3
   • 6 - y + y = 3 + y, כך 6 = 3 + y
   • 3 = y
6. דע מה לעשות כאשר שני המשתנים מבטלים זה את זה. לפעמים שילוב של שתי משוואות מביא למשוואה שאין לה משמעות או לא עוזרת לך לפתור את הבעיה. בדוק שוב את עבודתך מההתחלה, אך אם לא טעית, כתוב אחת מהתשובות הבאות:
   • אם למשוואה המשולבת שלך אין משתנים והיא לא נכונה (כמו 2 = 7) אז יש אין פתרון שמחזיק בשתי המשוואות. (אם תרשום את שתי המשוואות, תראה שהן מקבילות ולעולם אינן מצטלבות).
   • אם למשוואה המשולבת שלך אין משתנים והיא נכונה (כגון 0 = 0), אז יש מספר אינסופי של פתרונות. שתי המשוואות זהות למעשה. (אם תציב את אלה בגרף, תראה שהם חופפים זה את זה לחלוטין).

שיטה 3 מתוך 3: גרף את המשוואות

1. השתמש בשיטה זו רק כאשר צוין. אלא אם כן אתה משתמש במחשב או במחשבון גרפים, ניתן לפתור מערכות משוואות רבות רק בשיטה זו. המורה שלך או ספר הלימוד שלך למתמטיקה עשויים לבקש ממך להשתמש בשיטה זו, כך שאתה כנראה מכיר משוואות גרפיות כגון קווים. תוכל גם להשתמש בשיטה זו כדי לבדוק אם התשובות שלך מכל אחת מהשיטות האחרות נכונות.
   • הרעיון הבסיסי הוא שתשרטט את שתי המשוואות ותקבע את הנקודה בה הן מצטלבות. ערכי x ו- y בנקודה זו נותנים את הערך של x ואת הערך של y במערכת המשוואות.
2. פתור את שתי המשוואות עבור y. שמור על הפרדה בין שתי המשוואות והשתמש באלגברה כדי להמיר כל משוואה לצורה "y = __x + __". לדוגמה:
   • המשוואה הראשונה היא: 2x + y = 5. שנה את זה ל: y = -2x + 5.
   • המשוואה השנייה היא: -3x + 6y = 0. שנה את זה ל 6y = 3x + 0, ופשט ל y = ½x + 0.
   • האם שתי המשוואות זהותואז השורה כולה הופכת ל"נקודת צומת ". לִכתוֹב: פתרונות אינסופיים.
3. צייר מערכת קואורדינטות. צייר "ציר y" אנכי ו"ציר x "אופקי על גיליון נייר גרף. התחל בנקודה בה הקווים מצטלבים, וסמן את המספרים 1, 2, 3, 4 וכו 'במעלה ציר y ושוב ימינה לאורך ציר x. תייג את המספרים -1, -2 וכו 'לאורך ציר y למטה ומשמאל לאורך ציר x.
   • אם אין לך נייר גרף, השתמש בסרגל כדי לוודא שהמספרים מרווחים באופן שווה.
   • אם אתה משתמש במספרים גדולים או במקומות עשרוניים, ייתכן שיהיה עליך לשנות את גודל התרשים. (לדוגמא 10, 20, 30 או 0.1, 0.2, 0.3 במקום 1, 2, 3).
4. צייר את צומת y עבור כל שורה. ברגע שיש לך משוואה בצורה y = __x + __ אתה יכול להתחיל לשרטט אותו על ידי הגדרת נקודה בה הקו מיירט את ציר ה- y. זה תמיד בערך y, השווה למספר האחרון במשוואה זו.
   • בדוגמאות שהוזכרו לעיל, שורה אחת (y = -2x + 5) לציר ה- y 5. הקו השני (y = ½x + 0) עובר דרך נקודת האפס 0. (אלה נקודות (0.5) ו- (0.0) בגרף).
   • ציין כל אחת מהשורות בצבע שונה, אם אפשר.
5. השתמש במדרון כדי להמשיך לשרטט את הקווים. בצורה y = __x + __, הוא המספר עבור x th מִדרוֹן מחוץ לקו. בכל פעם ש x מוגדל באחד, ערך y יגדל עם ערך המדרון. השתמש במידע זה כדי למצוא את הנקודה בתרשים עבור כל שורה כאשר x = 1. (לחלופין, החלף x = 1 לכל משוואה ופתור ל- y).
   • בדוגמה שלנו, לקו יש y = -2x + 5 שיפוע של -2. ב- x = 1 השורה 2 יורדת מטה מנקודה x = 0. צייר את קטע הקו בין (0.5) ל- (1.3).
   • החוק y = ½x + 0יש שיפוע של ½. ב- x = 1, השורה עוברת ½ לְמַעלָה מנקודה x = 0. צייר את קטע הקו בין (0,0) ל (1, ½).
   • כאשר לקווים יש שיפוע זהה הקווים לעולם לא יצטלבו, ולכן אין פיתרון למערכת המשוואות. לִכתוֹב: אין פתרון.
6. המשך לתכנן את הקווים עד שהם מצטלבים. עצור והסתכל בתרשים שלך. אם הקווים כבר חצו זה את זה, עברו לשלב הבא. אחרת, אתה מקבל החלטה על סמך מה שהקווים עושים:
   • כאשר הקווים נעים זה לזה, אתה ממשיך לצייר נקודות בכיוון זה.
   • אם הקווים מתרחקים זה מזה, חזור אחורה וצייר נקודות בכיוון השני, החל מ- x = -1.
   • אם הקווים אינם קרובים זה לזה, קפצו קדימה והתווה נקודות רחוקות יותר, כגון x = 10.
7. מצא את התשובה בצומת השורות. ברגע ששני השורות מצטלבים, ערכי x ו- y בנקודה זו הם הפיתרון לבעיה. אם יתמזל מזלכם, התשובה תהיה מספר שלם. לדוגמא, בדוגמאות שלנו שתי השורות מצטלבות (2,1) כך גם התשובה שלך x = 2 ו- y = 1. במערכות משוואה מסוימות, הקווים יצטלבו בערך בין שני מספרים שלמים, אלא אם כן הגרף שלך מדויק ביותר, יהיה קשה לדעת היכן זה. אם זה המקרה, אתה יכול לתת תשובה כמו: "x הוא בין 1 ל -2". ניתן גם להשתמש בשיטת ההחלפה או בשיטת החיסול כדי למצוא את התשובה המדויקת.

טיפים

• תוכלו לבדוק את עבודתכם על ידי הזנת התשובות למשוואות המקוריות. אם המשוואות נכונות (למשל, 3 = 3), אז התשובה שלך נכונה.
• בשיטת החיסול, לפעמים צריך להכפיל משוואה במספר שלילי כדי לחסל משתנה.

אזהרות

• לא ניתן להשתמש בשיטות אלה אם אתה מתמודד עם מספר כוח, כגון x. כדי ללמוד עוד על משוואות מסוג זה, תזדקק למדריך לריבוע גורמים עם שני משתנים.