תוֹכֶן

• לדרוך
• שיטה 1 מתוך 2: משיכת שורשים עם גורמים ראשוניים
• שיטה 2 מתוך 2: מציאת שורשים מרובעים ללא מחשבון
• עם חלוקה ארוכה
• הבן את הנוהל
• טיפים
• אזהרות

לפני הופעת המחשבונים היה על התלמידים והפרופסורים לחשב שורשים מרובעים בעט ובנייר. באותה עת פותחו טכניקות שונות להתמודדות עם עבודה קשה לפעמים זו, חלקן נותנות הערכה גסה ואחרות מחשבות את הערך המדויק. המשך לקרוא כדי ללמוד כיצד למצוא את השורש הריבועי של מספר בכמה שלבים פשוטים.

לדרוך

שיטה 1 מתוך 2: משיכת שורשים עם גורמים ראשוניים

1. חלק את מספרך לגורמי כוח. שיטה זו משתמשת בגורמי המספר כדי למצוא את השורש הריבועי של מספר (בהתאם למספר זו יכולה להיות תשובה מדויקת או אומדן). ה גורמים של מספר נתון הם כל רצף של מספרים שמכופלים יחד ליצירת המספר המסוים הזה. לדוגמא, ניתן לומר כי הגורמים 8 שווים ל -2 ו -4 מכיוון ש -2 × 4 = 8. ריבועים מושלמים, לעומת זאת, הם מספרים שלמים שהם תוצר של מספרים שלמים אחרים. לדוגמא, 25, 36 ו -49 הם ריבועים מושלמים מכיוון שהם שווים ל- 5, 6 ו- 7. בהתאמה. גורמי כוח שניים, כפי שהבנתם, הם גורמים שהם גם ריבועים מושלמים. כדי למצוא שורש ריבועי באמצעות גורמים ראשוניים, נסה תחילה לחלק את המספר לגורמי הכוח השניים שלו.
   • קח את הדוגמה הבאה. אנו נמצא את השורש הריבועי של 400. ראשית, אנו מחלקים את המספר לגורמי כוח. מכיוון ש -400 הוא מכפיל של 100, אנו יודעים שהוא מתחלק באופן שווה ל -25 - ריבוע מושלם. טווח מהיר אומר לנו ש 400/25 = 16.16 במקרה הוא גם ריבוע מושלם. אז גורמי הקוביות של 400 הם 25 ו -16 כי 25 × 16 = 400.
   • אנו כותבים זאת כ: Sqrt (400) = Sqrt (25 × 16)
2. קח את השורשים הריבועיים של גורמי הכוח השניים שלך. כלל המוצר של שורשים מרובעים קובע כי עבור כל מספר נתון א ו ב, Sqrt (a × b) = Sqrt (a) × Sqrt (b). בגלל תכונה זו, אנו יכולים כעת לקחת את השורשים הריבועיים של גורמי הריבועים ולהכפיל אותם יחד כדי לקבל את התשובה.
   • בדוגמה שלנו אנו לוקחים את השורשים הריבועיים של 25 ו- 16. ראה להלן:
     • Sqrt (25 × 16)
     • Sqrt (25) × Sqrt (16)
     • 5 × 4 = 20
3. אם לא ניתן לחשב את המספר שלך בצורה מושלמת, פשט אותו. במציאות, המספרים שאתה רוצה לקבוע את השורשים הריבועיים שלהם לא יהיו מספרים מעוגלים נחמדים עם ריבועים יפים כמו 400. במקרים אלה, יתכן שלא ניתן לקבל מספר שלם כתשובה. במקום זאת, באמצעות כל גורמי הכוח שתוכלו למצוא, תוכלו לקבוע את התשובה כשורש ריבועי קל יותר לשימוש. אתה עושה זאת על ידי הקטנת המספר לשילוב של גורמי כוח וגורמים אחרים ואז פשט אותו.
   • אנו לוקחים את השורש הריבועי של 147 כדוגמה. 147 אינו תוצר של שני ריבועים מושלמים, ולכן איננו יכולים לקבל ערך שלם יפה. אך זהו תוצר של ריבוע מושלם ומספר אחר - 49 ו- 3. אנו יכולים להשתמש במידע זה כדי לכתוב את תשובתנו במונחים הפשוטים ביותר:
     • Sqrt (147)
     • = Sqrt (49 × 3)
     • = Sqrt (49) × Sqrt (3)
     • = 7 × Sqrt (3)
4. לפשט, במידת הצורך. באמצעות השורש הריבועי במונחים הפשוטים ביותר, בדרך כלל קל למדי לקבל אומדן גס של התשובה על ידי אומדן שורשי הריבוע הנותרים והכפלתם. אחת הדרכים לשפר את הניחושים שלך היא למצוא את הריבועים המושלמים משני צידי המספר בשורש הריבועי שלך. אתה יודע שהערך העשרוני של המספר בשורש הריבועי שלך נמצא איפשהו בין שני המספרים האלה, כך שהניחוש שלך יצטרך להיות גם בין המספרים האלה.
   • נחזור לדוגמא שלנו. מכיוון ש -2 = 4 ו- 1 = 1, אנו יודעים כי Sqrt (3) הוא בין 1 ל -2 - כנראה קרוב יותר ל -2 מאשר 1. אנו מעריכים כי 1.7. 7 × 1.7 = 11,9. אם נבדוק זאת באמצעות המחשבון, נראה כי אנו קרובים למדי לתשובה: 12,13.
     • זה עובד גם עבור המספרים הגדולים יותר. לדוגמה, sqrt (35) הוא בערך בין 5 ל -6 (כנראה קרוב יותר ל -6). 5 = 25 ו -6 = 36.35 הוא בין 25 ל -36, ולכן השורש הריבועי יהיה בין 5 ל -6. מכיוון ש- 35 הוא מעט מתחת ל -36, אנו יכולים לומר בביטחון מסוים שהשורש הריבועי שלו רַק הוא פחות מ 6. בדיקה עם מחשבון נותנת לנו תשובה של בערך 5.92 - צדקנו.
5. לחלופין, כצעד ראשון, תוכל לפשט את המספר ל- כפולה משותפת מינימאלית. חיפוש גורמי כוח אינו הכרחי אם אתה יכול למצוא בקלות גורמים ראשוניים של מספר (גורמים שהם גם מספרים ראשוניים בו זמנית). כתוב את המספר במונחים של מכפילים פחות נפוצים. ואז חפש בין הגורמים שלך זוגות תואמים של מספרים ראשוניים. כשאתה מוצא שני גורמים עיקריים שתואמים, הסר אותם מהשורש הריבועי והמקום א של מספרים אלה מחוץ לשלט השורש הריבועי.
   • לדוגמה, אנו קובעים את השורש הריבועי של 45 בשיטה זו. אנו יודעים ש 45 = 9 × 5 וכי 9 = 3 × 3. אז נוכל לכתוב את השורש הריבועי כך: Sqrt (3 × 3 × 5). כל שעליך לעשות הוא למחוק את השלושיות ולהניח 3 מחוץ לשורש הריבועי כדי לקבל שורש ריבועי פשוט: (3) Sqrt (5). עכשיו אתה יכול לעשות הערכה בקלות.
   • דוגמא אחרונה; אנו קובעים את השורש הריבועי של 88:
     • Sqrt (88)
     • = Sqrt (2 × 44)
     • = Sqrt (2 × 4 × 11)
     • = Sqrt (2 × 2 × 2 × 11). יש לנו מספר 2 בשורש הריבועי שלנו. מכיוון ש -2 הוא ראשוני, אנו יכולים להסיר זוג ולהניח 2 מחוץ לשורש.
     • = השורש הריבועי שלנו במונחים הפשוטים ביותר הוא (2) Sqrt (2 × 11) או (2) Sqrt (2) Sqrt (11). כעת אנו יכולים לגשת ל- Sqrt (2) ו- Sqrt (11) ולמצוא תשובה משוערת, אם היינו רוצים.

שיטה 2 מתוך 2: מציאת שורשים מרובעים ללא מחשבון

עם חלוקה ארוכה

1. חלק את הספרות של המספר שלך לזוגות. שיטה זו דומה לחלוקה ארוכה, המאפשרת לחלק את ה- מְדוּיָק שורש ריבועי של מספר ספרה אחר ספרה. אמנם לא חיוני, שבירת מספר לחתיכות מעשי יכול להקל על הפיתרון, במיוחד אם הוא ארוך. תחילה צייר קו אנכי המחלק את שטח העבודה לשני אזורים, ואז קו קצר יותר בחלקו העליון של האזור הימני, וחלק אותו לחלק עליון קטן יותר ולחלק גדול יותר למטה. ואז חלק את המספר לזוגות מספרים, החל מהנקודה העשרונית. לפי כלל זה, 79520789182.47897 הופך להיות "7 95 20 78 91 82.47 89 70". כתוב מספר זה באזור השמאלי העליון.
   • כדוגמה, בואו נחשב את השורש הריבועי של 780.14. חלק את שטח העבודה שלך כמו לעיל וכתוב "7 80, 14" בפינה השמאלית העליונה. זה בסדר אם יש רק מספר אחד בצד שמאל, במקום שניים. לאחר מכן אתה כותב את התשובה (השורש הריבועי של 780.14) בחלק העליון של האזור הימני.
2. מצא את המספר השלם הגדול ביותר נ שהריבוע שלהם קטן או שווה לספרה או למספר השמאלי ביותר. מצא את הריבוע הגדול ביותר שקטן או שווה למספר זה ואז מצא את השורש הריבועי של הריבוע הזה. המספר הזה הוא נ. כתוב את זה באזור הימני העליון וכתוב את הריבוע של n ברבע התחתון של אותו אזור.
   • בדוגמה שלנו, הספרה השמאלית ביותר היא המספר 7. מכיוון שאנו יודעים ש -2 = 4 ≤ 7 3 = 9, אנו יכולים לומר כי n = 2 מכיוון שזה המספר השלם הגדול ביותר שרבועו קטן או שווה ל- 7. כתוב 2 ברבע הימני העליון. זו הספרה הראשונה בתשובה. כתוב 4 (הריבוע של 2) ברבע הימני התחתון. מספר זה חשוב לשלב הבא.
3. מחסרים את המספר שחישבתם של הספרה או המספר השמאלי ביותר. כמו בחלוקה ארוכה, השלב הבא הוא להפחית את הריבוע מהמספר בו השתמשנו בדיוק לחישוב. כתוב את המספר הזה מתחת למספר השמאלי ביותר והחסר אותם. כתוב את התשובה למטה.
   • בדוגמה שלנו, אנו כותבים 4 מתחת 7 ומחסירים אותו. זה נותן 3 בתגובה.
4. הזז את המספר הבא למטה. מקם זאת לצד הערך שמצאת בעריכה הקודמת. הכפל את המספר בפינה השמאלית העליונה בשניים ורשום אותו בצד ימין למטה. השאר מקום ליד המספר שרשמת זה עתה לסכום שתעשה בשלב הבא. כתוב כאן "_ × _ =" ".
   • בדוגמה שלנו, המספר הבא הוא "80". כתוב "80" ליד השלושה ברבע השמאלי. ואז הכפל את המספר בפינה השמאלית העליונה ב- 2. המספר הזה הוא 2, אז 2 × 2 = 4. רשום בפינה הימנית התחתונה את "" 4 "ואחריו _×_=.
5. הזן את המספרים בצד ימין. בשטח הריק של הסכום (מימין), הזן את המספר השלם הגדול ביותר שיהפוך את התוצאה של סכום הכפל מימין לקטן או שווה למספר הנוכחי משמאל.
   • בדוגמה שלנו, אנו מזינים 8, וזה נותן 4 (8) × 8 = 48 × 8 = 384. זה גדול מ -380. אז 8 גדול מדי, אבל 7 כנראה לא. מלא 7 ופתור: 4 (7) × 7 = 329. 7 טוב כי 329 הוא פחות מ -380. כתוב 7 בצד ימין למעלה. זו הספרה השנייה בשורש הריבועי 780.14.
6. הפחת את המספר שחישבת זה עתה מהמספר הנוכחי משמאל. אז אתה מפחית את תוצאת הכפל מימין מהתשובה הנוכחית משמאל. כתוב את תשובתך ישירות מתחתיו.
   • בדוגמה שלנו, אנו מחסירים 329 מ -380, וזה נותן 51 כתוצאה.
7. חזור על שלב 4. הזז את זוג המספרים הבא מטה מ- 780.14. כשאתה מגיע לפסיק, כתוב את הפסיק בתשובה מימין. לאחר מכן הכפל את המספר הימני העליון ב -2 וכתוב את התשובה לצד ("_ × _") כנ"ל.
   • בתשובתנו אנו כותבים כעת פסיק מכיוון שאנו נתקלים בכך גם ב- 780.14. הזז את הזוג הבא (14) לאורך הרבע השמאלי. 27 x 2 = 54, אז אנו כותבים "54 _ × _ =" ברבע הימני התחתון.
8. חזור על שלבים 5 ו -6. מצא את המספר הגדול ביותר שנותן תשובה שקטן או שווה למספר הנוכחי משמאל. לִפְתוֹר.
   • בדוגמה שלנו, 549 × 9 = 4941, שהוא קטן או שווה למספר משמאל (5114). 549 × 10 = 5490, שהוא גבוה מדי, אז 9 היא התשובה שלנו. כתוב 9 כמספר הימני העליון הבא והחסיר את תוצאת הכפל מהמספר השמאלי: 5114 -4941 = 173.
9. כדי לדייק את התוצאה, חזור על ההליך הקודם עד שתמצא את התשובה עם מספר המקומות העשרוניים (מאיות, אלפיות) שאתה צריך.

הבן את הנוהל

1. שקול את המספר שאת שורש הריבוע שלו ברצונך לחשב כשטח S של ריבוע. מכיוון ששטח הריבוע הוא L, כאשר L הוא אורך אחד מצלעותיו, ולכן על ידי מציאת השורש הריבועי של המספר שלך, אתה מנסה לחשב את אורך L של הצד של אותו ריבוע.
2. תן לכל ספרה בתשובתך מכתב. הזן את המשתנה A כספרה הראשונה של L (שורש הריבוע שאנו מנסים לחשב). B היא הספרה השנייה, C השלישית וכן הלאה.
3. תן אות לכל "זוג מספרים" של המספר איתו אתה מתחיל. תן למשתנה S_א לצמד הספרות הראשון ב- S (הערך ההתחלתי), S._ב לצמד הספרות השני וכו '.
4. הבן את הקשר בין שיטה זו לחלוקה ארוכה. שיטה זו למציאת שורש ריבועי היא בעצם חלוקה ארוכה, כאשר אתה מחלק את הערך ההתחלתי לפי השורש הריבועי שלו ו"נותן "את השורש הריבועי כתשובה. כמו בחלוקה ארוכה, שבה אתה מתעניין רק בכל פעם בספרה הבאה, אתה מתעניין רק בשתי הספרות הבאות בכל פעם (שתואמות את הספרה הבאה של שורש הריבוע).
5. מצא את המספר הגדול ביותר שהריבוע שלו קטן או שווה ל- S._א הוא. הספרה הראשונה A בתשובתנו היא אז המספר השלם הגדול ביותר שהריבוע שלו אינו גדול מ- S._א (A כזה ש A² ≤ Sa (A + 1) ²). בדוגמה שלנו, S_א = 7 ו- 2² ≤ 7 3², כך ש- A = 2.
   • שים לב שאם אתה מחלק את 88962 ב- 7 באמצעות חלוקה ארוכה, הצעד הראשון שווה: ראשית אתה מתמודד עם הספרה הראשונה של 88962 (8) ואתה רוצה שהספרה הגדולה מוכפלת ב- 7 שהיא פחות או שווה ל- 8. בעיקרון אתה לקבוע ד כך ש- 7 × d ≤ 8 7 × (d + 1). במקרה זה, d שווה ל -1.
6. דמיין את הריבוע שאתה רוצה למצוא את השטח. התשובה שלך, השורש הריבועי של הערך ההתחלתי, היא L, שמתארת ​​את אורכו של ריבוע עם שטח S (הערך ההתחלתי). הערכים עבור A, B ו- C מייצגים את הספרות בערך L. דרך אחרת לומר זאת היא שעבור תשובה דו ספרתית, 10A + B = L, ועבור תשובה בת 3 ספרות, 100A + 10B + C = L, וכן הלאה.
   • בדוגמה שלנו (10A + B) ² = L = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². זכור כי 10A + B מייצג את תשובתנו L יחד עם B במיקום היחידות, ו- A במיקום העשרות. לדוגמא, אם A = 1 ו- B = 2, אז 10A + B הוא המספר 12. (10A + B) ² הוא השטח של כל הכיכר, ואילו 100A² הוא שטח הכיכר הפנימית הגדולה ביותר, B² הוא שטח הכיכר הקטנה ביותר 10A × B הוא השטח של כל אחד מהמלבנים הנותרים. באמצעות הליך ארוך ומסובך זה, אנו יכולים למצוא את שטח הריבוע כולו על ידי הוספת שטחי הריבועים והמלבנים שהם חלק ממנו.
7. גרע A² מ- S._א. הביאו זוג מספרים (ש._ב) למטה מהמספר S. S._א ש._ב הוא כמעט השטח הכולל של הכיכר, שממנו הורדת את שטח הריבוע הפנימי הגדול ביותר. השאר הוא, נניח, המספר N1, אותו השגנו בשלב 4 (N1 = 380 בדוגמה שלנו). N1 שווה ל- 2 × 10A × B + B² (שטח שני המלבנים בתוספת שטח הריבוע הקטן).
8. תסתכל על N1 = 2 × 10A × B + B², כתוב גם כ N1 = (2 × 10A + B) × B. בדוגמה שלנו אתה כבר מכיר את N1 (380) ו- A (2), אז עכשיו אתה צריך למצוא את B. B כנראה אינו מספר שלם, אז אתה חייב בעצם מצא את המספר השלם הגדול ביותר B, כך ש (2 × 10A + B) × B ≤ N1. אז עכשיו יש לך: N1 (2 × 10A + (B + 1)) × (B + 1).)
9. פתור את המשוואה. כדי לפתור משוואה זו, הכפל את A ב -2, העבר אותה לעשר (הכפל ב -10), הכנס B ליחידות, ומכפל את התוצאה ב- B. במילים אחרות, (2 × 10 A + B) × B. זהו בדיוק מה שאתה עושה כשכותבים "N_ × _ =" (עם N = 2 × A) ברבע הימני התחתון בשלב 4. בשלב 5 אתה קובע את המספר השלם הגדול ביותר B שמתאים מתחת לקו, כך (2 × 10A + B) × B ≤ N1.
10. הפחת את השטח (2 × 10A + B) × B מהשטח הכולל. זה נותן את השטח S- (10A + B) ² שטרם התחשבת (ושאתה משתמש בחישוב המספרים הבאים באותו אופן).
11. לחישוב הספרה הבאה C, חזור על הנוהל. הזז את צמד המספרים הבא מ- S למטה (S_ג) כדי לקבל את N2 שמאלה, וחפש את C הגדול ביותר כך שיהיה לך כעת: (2 × 10 × (10A + B) + C) × C ≤ N2 (שווה לפעמיים המספר הדו ספרתי "AB" אחריו על ידי "_ × _ =" כעת קבע את המספר הגדול ביותר שתוכל להזין כאן, שייתן לך תשובה קטנה או שווה ל- N2.

טיפים

• הזזת הפסיק בשני מקומות (פקטור 100) מעבירה את הפסיק בשורש הריבועי המקביל במקום אחד (פקטור 10).
• בדוגמה, 1.73 יכול להיחשב כ"שארית ": 780.14 = 27.9² + 1.73.
• שיטה זו פועלת בכל מערכת מספרים, לא רק במערכת העשרונית (העשרונית).
• אתם מוזמנים למקם את החישובים היכן שתרצו. יש אנשים שכותבים את זה מעל המספר שהם רוצים לחשב את השורש הריבועי ממנו.
• שיטה חלופית היא הבאה: √z = √ (x ^ 2 + y) = x + y / (2x + y / (2x + y / (2x + ...))). לדוגמה, כדי לחשב את השורש הריבועי של 780.14, קח את המספר השלם שהריבוע הוא הכי קרוב ל 780.14 (28), אז = 780.14, x = 28 ו- y = -3.86. מילוי והערכה נותנים לנו x + y / (2x) וזה נותן (מונחים פשוטים) 78207/2800 או בערך 27.931 (1); המונח הבא, 4374188/156607 או בערך 27.930986 (5). כל מונח מוסיף כ -3 מקומות עשרוניים של דיוק לקודם.

אזהרות

• הקפד לחלק את המספר לזוגות מהנקודה העשרונית. מחלק 79520789182.47897 כ" 79 52 07 89 18 2,4 78 97 "נותן תוצאה שגויה.