תוֹכֶן

• לדרוך
• שיטה 1 מתוך 3: משימה פשוטה ראשונה
• שיטה 2 מתוך 3: חישוב הערך הצפוי לתוצאה ספציפית
• שיטה 3 מתוך 3: להבין את הרעיון
• טיפים
• צרכים

ערך הצפי הוא מונח סטטיסטי, ומושג המשמש להחלטה עד כמה פעולה תהיה שימושית או מזיקה. כדי לחשב את הערך הצפוי, יש צורך להבין היטב את כל התוצאות במצב מסוים ואת ההסתברות הנלווית, או את ההסתברות שתוצאה מסוימת תתרחש. השלבים הבאים מספקים כמה תרגילי דוגמה שיעזרו לך להבין את מושג ערך הציפייה.

לדרוך

שיטה 1 מתוך 3: משימה פשוטה ראשונה

1. קרא את ההצהרה. לפני שתתחיל לחשוב על כל התוצאות וההסתברויות האפשריות, חשוב שתבין את הבעיה. למשל משחק קוביות שעולה € 10 למשחק. משטח משושה מתגלגל פעם אחת והזכיות שלך תלויות במספר שאתה מגלגל. אם 6 מגולגלת, תזכה ב -30 €; 5 מרוויח 20 יורו; כל מספר אחר אינו מניב דבר.
2. ציין את כל התוצאות האפשריות. זה עוזר לרשום את כל התוצאות האפשריות במצב נתון. בדוגמה לעיל, יש 6 תוצאות אפשריות. אלה הם: (1) גלגל 1 ואתה מפסיד 10 $, (2) מגלגל 2 ואתה מפסיד 10 $, (3) מגלגל 3 ואתה מפסיד 10 $, (4) מגלגל 4 ואתה מפסיד 10 $ , (5) גלגל 5 וזכה ב -10 דולר, (6) גלגל 6 ותזכה ב -20 דולר.
   • שים לב שכל תוצאה נמוכה מ- € 10 מהמתואר לעיל, מכיוון שתצטרך לשלם תחילה € 10 למשחק, ללא קשר לתוצאה.
3. קבע את ההסתברות לכל תוצאה. במקרה זה, ההסתברות לכל 6 תוצאות זהה. ההסתברות שמספר רנדומלי יתגלגל היא 1 ל 6. כדי להקל על הרישום, נכתוב את השבר (1/6) כעשרוני בעזרת מחשבון: 0.167. כתוב את ההסתברות הזו לצד כל תוצאה, במיוחד אם ברצונך לפתור בעיה עם הסתברויות שונות לכל תוצאה.
   • מחשבון 1/6 עשוי להכין משהו כמו 0.166667. אנו מעגלים זאת ל- 0.167 כדי להקל על החישוב מבלי לוותר על הדיוק.
   • אם אתה רוצה תוצאה מדויקת מאוד, אל תהפוך אותה לעשרונית, פשוט הזן 1/6 לנוסחה וחשב אותה במחשבון שלך.
4. רשום את הערך של כל תוצאה. הכפל את $ התוצאה בהסתברות שהתוצאה תתרחש כדי לחשב כמה כסף התוצאה תתרום לערך הצפוי. לדוגמא, התוצאה של גלגול 1 היא - $ 10 וההסתברות לגלגל 1 היא 0.167. ערך השלכת 1 הוא אפוא (-10) * (0.167).
   • אין צורך לחשב תוצאות אלו כעת אם יש לך מחשבון שיכול לבצע פעולות מרובות בו זמנית. תקבל תוצאה מדויקת יותר אם תיכנס לכל המשוואה.
5. הוסף את הערך של כל תוצאה כדי לקבל את הערך הצפוי של אירוע. כדי להמשיך בדוגמה שלעיל, ערך הצפי למשחק הקוביות הוא: (-10 * 0.167) + (-10 * 0.167) + (-10 * 0.167) + (-10 * 0.167) + (10 * 0.167) + (20 * 0.167), או - 1.67 €. אז אתה יכול לצפות להפסיד 1.67 $ בכל פעם במשחק הזה (למשחק).
6. מה ההשלכות של חישוב הערך הצפוי. בדוגמה לעיל קבענו כי הרווח (הפסד) הצפוי יהיה - 1.67 אירו לזריקה. זו תוצאה בלתי אפשרית למשחק אחד; אתה יכול להפסיד 10 €, לזכות 10 €, או לזכות 20 €. אך בטווח הארוך, הערך הצפוי הוא סבירות שימושית וממוצעת. אם תמשיך לשחק במשחק זה, תאבד בממוצע כ -1.67 $ למשחק. דרך נוספת לחשוב על הערך הצפוי היא על ידי הקצאת עלויות (או תועלות) מסוימות למשחק; אתה צריך לשחק במשחק הזה רק אם אתה מוצא את זה שווה את זה, ליהנות ממנו מספיק כדי להוציא עליו 1.67 $ בכל פעם.
   • ככל שהמצב חוזר לעיתים קרובות יותר, כך הערך הצפוי מדויק יותר הוא ייצוג של התוצאה הממוצעת בפועל. לדוגמא, אולי אתה משחק את המשחק 5 פעמים ברציפות ומפסיד בכל פעם, וכתוצאה מכך הפסד ממוצע של 10 $. עם זאת, אם תשחקו במשחק 1000 פעמים נוספות, התוצאה הממוצעת תתקרב יותר ויותר לערך הצפוי של - 1.67 € למשחק. עיקרון זה נקרא "חוק המספרים הגדולים".

שיטה 2 מתוך 3: חישוב הערך הצפוי לתוצאה ספציפית

1. השתמש בשיטה זו כדי לחשב את מספר המטבעות הממוצע שעליך להעיף לפני שמתרחש דפוס מסוים. לדוגמה, אתה יכול להשתמש בשיטה כדי לברר את מספר המטבעות הצפוי להתהפך עד שיהיה לך ראשים פעמיים ברציפות. בעיה זו קצת יותר מסובכת מבעיה סטנדרטית לגבי ערכי ציפייה, לכן קרא תחילה את החלק שלמעלה במאמר זה אם אינך מכיר את המושג ערך ציפייה.
2. נניח שאנחנו מחפשים ערך x. אתה מנסה לקבוע כמה מטבעות אתה צריך להעיף בממוצע כדי לקבל שני ראשים ברציפות. כעת אנו מבצעים השוואה כדי למצוא את התשובה. אנו קוראים לתשובה אותה אנו מחפשים x. אנו מבצעים את ההשוואה הדרושה שלב אחר שלב. כרגע יש לנו את הדברים הבאים:
   • x = ___
3. חשבו מה קורה אם הכפיפה הראשונה מייצרת מטבע. זה יהיה המקרה במחצית המקרים. אם זה המקרה, "בזבזת" התהפכות, בעוד שהסיכוי לגלגל ראש פעמיים ברציפות לא השתנה. כמו בזריקת המטבע, צפוי שתצטרך לזרוק מספר פעמים ממוצע לפני שתקבל ראש פעמיים ברציפות. במילים אחרות, היית מצפה לגלגל מספר פעמים x בתוספת אלה שכבר שיחקת. בצורה של משוואה:
   • x = (0.5) (x + 1) + ___
   • אנו הולכים למלא את החלל הריק כאשר אנו ממשיכים לחשוב על מצבים אחרים.
   • אתה יכול להשתמש בשברים במקום עשרוניים אם זה קל יותר או הכרחי.
4. תחשוב מה קורה כשאתה זורק את הראש. יש סיכוי של 0.5 (או 1/2) שתזרוק כוס בפעם הראשונה. נראה שזה מתקרב למטרה לזרוק ראש פעמיים ברציפות, אבל כמה? הדרך הקלה ביותר לגלות היא לחשוב על האפשרויות שלך בסבב השני:
   • אם הטלה השנייה היא מטבע, חזרנו להתחלה.
   • אם גם הפעם השנייה היא כוס, אז סיימנו!
5. למד כיצד לחשב את ההסתברות ששני אירועים יתרחשו. כעת אנו יודעים שיש לך סיכוי של 50% שתזרוק כוס, אבל מה הסיכוי שתזרוק כוס פעמיים ברציפות? כדי לחשב את ההסתברות הזו, הכפל את ההסתברות של שניהם. במקרה זה זה 0.5 x 0.5 = 0.25. כמובן, זה גם הסיכוי שתגלגל ראשים ואז זנבות, כי לשניהם יש סיכוי להתרחש 0.5: 0.5 x 0.5 = 0.25.
6. הוסף את התוצאה עבור "ראשים ואז זנבות" למשוואה. כעת, לאחר שחישבנו את ההסתברות שאירוע זה יתרחש, נוכל לעבור להרחבת המשוואה. יש סיכוי של 0.25 (או 1/4) שנבזבז זריקות פעמיים בלי להתקדם. אבל עכשיו אנחנו עדיין צריכים מספר x של זריקות נוספות בממוצע כדי לקבל את התוצאה שאנחנו רוצים להשיג, בתוספת 2 שכבר זרקנו. בצורה משוואת, זה הופך להיות (0.25) (x + 2), שאותו נוכל להוסיף כעת למשוואה:
   • x = (0.5) (x + 1) + (0.25) (x + 2) + ___
7. הוסף את התוצאה עבור "כותרת, כותרת" למשוואה. אם אתה מגלגל ראש, ראש עם שתי הטלת המטבעות הראשונות, סיימת. קיבלת את התוצאה בדיוק ב -2 זריקות. כפי שציינו קודם, קיים סיכוי של 0.25 שזה יקרה, ולכן המשוואה לכך היא (0.25) (2). ההשוואה שלנו הושלמה כעת:
   • x = (0.5) (x + 1) + (0.25) (x + 2) + (0.25) (2)
   • אם אינך בטוח שחשבת על כל סיטואציה אפשרית, יש דרך קלה לבדוק שהמשוואה הושלמה. המספר הראשון בכל חלק מהמשוואה מייצג את ההסתברות שאירוע יתרחש. זה תמיד יסתכם ב -1. הנה, 0.5 + 0.25 + 0.25 = 1, כך שנדע שכללנו כל סיטואציה.
8. לפשט את המשוואה. בואו נהפוך את המשוואה לקלה יותר על ידי הכפלת. זכור, אם אתה רואה משהו בסוגריים כמו זה: (0.5) (x + 1), אז תכפיל 0.5 בכל מונח שנמצא בקבוצת הסוגריים השנייה. זה נותן לך את הדברים הבאים: 0.5x + (0.5) (1), או 0.5x + 0.5. בואו נעשה זאת עבור כל מונח במשוואה, ואז נשלב את המונחים האלה כך שייראה הכל פשוט יותר:
   • x = 0.5x + (0.5) (1) + 0.25x + (0.25) (2) + (0.25) (2)
   • x = 0.5x + 0.5 + 0.25x + 0.5 + 0.5
   • x = 0.75x + 1.5
9. לפתור ל- x. כמו בכל משוואה, יהיה עליך לבודד את ה- x בצד אחד של המשוואה כדי לחשב אותו. זכור, x פירושו "המספר הממוצע של מטבעות שאתה צריך לזרוק כדי לקבל ראשים פעמיים ברציפות." כאשר חישבנו x, מצאנו גם את התשובה שלנו.
   • x = 0.75x + 1.5
   • x - 0.75x = 0.75x + 1.5 - 0.75x
   • 0.25x = 1.5
   • (0.25x) / (0.25) = (1.5) / (0.25)
   • x = 6
   • בממוצע, יהיה עליכם להשליך מטבע 6 פעמים לפני שתזרקו ראשים פעמיים.

שיטה 3 מתוך 3: להבין את הרעיון

1. מהו ערך צפוי בעצם. ערך הציפייה אינו בהכרח התוצאה הברורה ביותר או ההגיונית ביותר. לפעמים ערך ציפייה יכול אפילו להיות ערך בלתי אפשרי במצב נתון. לדוגמא, ערך הצפי יכול להיות +5 אירו למשחק עם פרס של לא יותר מ -10 אירו. מה שמעיד ערך הציפייה הוא כמה ערך יש לאירוע מסוים. אם למשחק יש ערך צפוי של +5 אירו, אתה יכול לשחק בו אם אתה מרגיש שהוא שווה את הזמן והכסף שאתה יכול לקבל למשחק. אם למשחק אחר יש ערך צפוי של - 20 דולר, אז אתה משחק אותו רק אם אתה חושב שכל משחק שווה 20 דולר.
2. להבין את המושג אירועים עצמאיים. בחיי היומיום, רבים מאיתנו חושבים שיש לנו יום מזל בו קורים כמה דברים טובים, ואנו מצפים ששאר היום ימשיך בדרך זו.באותו אופן, אנו יכולים לחשוב שעשינו מספיק תאונה ושמשהו כיף באמת צריך להיעשות עכשיו. מתמטית הדברים לא הולכים ככה. אם אתה זורק מטבע רגיל, יש בדיוק אותו סיכוי שתזרוק ראש או מטבע. לא משנה כמה פעמים כבר זרקתם; בפעם הבאה שאתה זורק זה עדיין עובד באותה צורה. הטלת המטבע היא "עצמאית" מהשליכות האחרות, היא אינה מושפעת ממנה.
   • האמונה שאתה יכול להיות בר מזל או חסר מזל כשזורקים מטבעות (או כל משחק מזל אחר), אוֹ העובדה שכל המזל הרע שלך הסתיים עכשיו והמזל לצידך נקראת גם רמאות מהמר (או הכשל של המהמר). זה קשור לנטייה של אנשים לקבל החלטות מסוכנות או מטופשות כאשר הם חשים שהמזל נמצא בצד שלהם, או אם הם מרגישים "רצף מזל" או אם הם מרגישים שה"מזל שלו עומד להסתובב ".
3. להבין את חוק המספרים הגדולים. אתה עשוי לחשוב שערך הציפייה לא ממש שימושי, כי רק לעתים רחוקות הוא אומר לך מה התוצאה האמיתית של המצב. אם חישבת שהערך הצפוי של משחק רולטה הוא - € 1, ואתה משחק במשחק שלוש פעמים, בדרך כלל תקבל - € 10, או + € 60, או תוצאה אחרת. "חוק המספרים הגדולים" מסייע להסביר מדוע ערך הציפייה שימושי יותר ממה שאתה חושב: ככל שאתה משחק יותר, כך התוצאה הממוצעת תהיה קרובה יותר לערך הציפייה. כאשר בוחנים את המספרים הגדולים של האירועים, יש סיכוי טוב שהתוצאה הסופית תהיה קרוב לערך הצפוי.

טיפים

• באותם מצבים בהם ניתן להגיע לתוצאות מרובות, באפשרותך ליצור גיליון אלקטרוני במחשב כדי לחשב את הערך הצפוי באמצעות התוצאות וההסתברויות שלהן.
• חישובי € לעיל עובדים גם במטבעות אחרים.

צרכים

• עִפָּרוֹן
• עיתון
• מַחשְׁבוֹן