תוֹכֶן

• צעדים
• חלק 1 מתוך 2: היסודות
• חלק 2 מתוך 2: שינוי מטריקס מורחב לפתרון SLAE
• טיפים

מערכת משוואות היא מערכת של שתי משוואות או יותר שיש להן מערך משותף של אלמונים ולכן, פתרון משותף. הגרף של מערכת המשוואות הלינאריות הוא שני קווים ישרים, והפתרון למערכת הוא נקודת החיתוך של קווים ישרים אלה. כדי לפתור מערכות כאלה של משוואות לינאריות, כדאי ונוח להשתמש במטריצות.

צעדים

חלק 1 מתוך 2: היסודות

1. 1 טרמינולוגיה. מערכות משוואות לינאריות מורכבות מרכיבים שונים. משתנה מסומן על ידי תו אלפביתי (בדרך כלל x או y) ומשמעותו מספר שעדיין אינך יודע וצריך למצוא אותו. קבוע הוא מספר מסוים שאינו משנה את ערכו.המקדם הוא המספר שלפני המשתנה, כלומר המספר בו מכפילים את המשתנה.
   • לדוגמה, עבור משוואה לינארית, 2x + 4y = 8, x ו- y הם משתנים, 8 הוא קבוע, והמספרים 2 ו -4 הם מקדמים.
2. 2 טופס למערכת משוואות לינאריות. ניתן לכתוב מערכת משוואות אלגבריות לינאריות (SLAE) עם שני משתנים כדלקמן: ax + by = p, cx + dy = q. כל קבוע (p, q) יכול להיות אפס, אך כל אחת מהמשוואות חייבת להכיל לפחות משתנה אחד (x, y).
3. 3 ביטויי מטריקס. ניתן לכתוב כל SLAE בצורת מטריצה, ולאחר מכן, בעזרת המאפיינים האלגבריים של מטריצות, לפתור אותה. בעת כתיבת מערכת משוואות בצורת מטריצה, A מייצג את מקדמי המטריצה, C מייצג מטריצות קבועות ו- X מציין מטריצה ​​לא ידועה.
   • לדוגמה, ניתן לכתוב את ה- SLAE לעיל בצורה המטריצה ​​הבאה: A x X = C.
4. 4 מטריצה ​​מורחבת. המטריצה ​​המורחבת מתקבלת על ידי העברת מטריצת המונחים החופשיים (קבועים) לצד השמאלי. אם יש לך שתי מטריצות, A ו- C, המטריצה ​​המורחבת תיראה כך:
   • לדוגמה, עבור המערכת הבאה של משוואות לינאריות:
     2x + 4y = 8
     x + y = 2
     המטריצה ​​המורחבת תהיה 2x3 ותיראה כך:

חלק 2 מתוך 2: שינוי מטריקס מורחב לפתרון SLAE

1. 1 פעולות יסודיות. ניתן לבצע פעולות מסוימות במטריצה, ובכך להשיג מטריצה ​​המקבילה למטריצה ​​המקורית. פעולות כאלה נקראות יסודיות. לדוגמה, כדי לפתור מטריצה ​​2x3, עליך לבצע פעולות שורה כדי להביא את המטריצה ​​לצורה משולשת. פעולות כאלה יכולות להיות:
   • תמורה של שתי קווים.
   • הכפלת מחרוזת במספר ללא אפס.
   • הכפלת מחרוזת והוספתה לאחרת.
2. 2 כפל השורה השנייה במספר ללא אפס. אם אתה רוצה אפס בשורה השנייה, תוכל להכפיל את השורה כדי לאפשר זאת.
   • לדוגמה, אם יש לך מטריצה ​​כזו:
     
     
     אתה יכול לשמור על השורה הראשונה ולהשתמש בה כדי לקבל אפס בשורה השנייה. לשם כך, תחילה עליך להכפיל את השורה השנייה ב- 2:
3. 3 הכפל שוב. כדי לקבל אפס עבור השורה הראשונה, ייתכן שיהיה עליך להכפיל שוב באמצעות מניפולציות דומות.
   • בדוגמה לעיל, עליך להכפיל את השורה השנייה ב- -1:
     
     
     לאחר הכפל, המטריצה ​​תיראה כך:
4. 4 הוסף את השורה הראשונה לשנייה. הוסף את השורות כדי לקבל אפס במקום העמודה הראשונה והשורה השנייה.
   • בדוגמה שלנו, הוסף את שתי השורות כדי לקבל את הדברים הבאים:
5. 5 כתוב מערכת חדשה של משוואות לינאריות למטריצה ​​משולשת. לאחר שקיבלת את המטריצה ​​המשולשת, תוכל לחזור ל- SLAE. העמודה הראשונה של המטריצה ​​תואמת את המשתנה x הלא ידוע, והשנייה את המשתנה y הלא ידוע. העמודה השלישית מתאימה ליירוט המשוואה.
   • לדוגמא שלנו, המערכת החדשה של המשוואות הליניאריות תתקבל בצורה:
6. 6 פתור את המשוואה לאחד המשתנים. ב- SLAE החדש, קבע איזה משתנה הכי קל למצוא ופתור את המשוואה.
   • בדוגמה שלנו, יותר נוח לפתור מהסוף, כלומר מהמשוואה האחרונה לראשונה, לנוע מלמטה למעלה. מהמשוואה השנייה, אנו יכולים למצוא פתרון עבור y בקלות, מכיוון שנפטרנו מ- x, אז y = 2.
7. 7 מצא את השיטה הלא ידועה על ידי החלפה. לאחר שמצאת את אחד המשתנים, תוכל לחבר אותו למשוואה השנייה כדי למצוא את המשתנה השני.
   • בדוגמה שלנו, פשוט החלף y ב- 2 במשוואה הראשונה כדי למצוא את ה- x הלא ידוע:

טיפים

• אלמנטים מטריקסיים מכונים בדרך כלל סקלרים.
• כדי לפתור מטריצה ​​2x3, עליך לבצע פעולות שורה בסיסיות. לא ניתן לבצע פעולות אלה בעמודות.