תוֹכֶן

• צעדים
• חלק 1 מתוך 2: מציאת גורמים ראשוניים
• חלק 2 מתוך 2: שימוש בפריים פקטורים
• דוגמאות למשימות
• טיפים
• אזהרות

כל מספר טבעי יכול להתפרק לתוצר של גורמים ראשוניים. אם אתה לא אוהב להתמודד עם מספרים גדולים כמו 5733, למד כיצד לפרק אותם (במקרה זה, 3 x 3 x 7 x 7 x 13). משימה דומה נתקלת לעתים קרובות בקריפטוגרפיה, העוסקת בבעיות אבטחת מידע. אם אינך מוכן עדיין לבנות מערכת דואר אלקטרוני מאובטחת משלך, למד תחילה כיצד להגדיר מספרים.

צעדים

חלק 1 מתוך 2: מציאת גורמים ראשוניים

1. 1 למד מהי פקטורינג. פירוק מספר לתוצר של גורמים הוא תהליך "פיצולו" לחלקים קטנים יותר.כאשר הם מוכפלים, חלקים או גורמים אלה נותנים את המספר המקורי.
   • לדוגמה, ניתן לפרק את המספר 18 למוצרים הבאים: 1 x 18, 2 x 9 או 3 x 6.
2. 2 זכור מה הם מספרים ראשוניים. מספר ראשוני מתחלק בשני מספרים בלבד ללא שארית: בעצמו וב- 1. לדוגמה, ניתן לייצג את המספר 5 כתוצר של 5 ו 1. לא ניתן לפרק מספר זה לגורמים אחרים. מטרת חישוב מספר לגורמי ראשוניים היא לייצג אותו כתוצר של מספרים ראשוניים. הדבר שימושי במיוחד בהתמודדות עם שברים, מכיוון שהוא מאפשר להשוות ולפשט אותם.
3. 3 התחל עם המספר המקורי. בחר מספר מורכב גדול מ 3. אין טעם לקחת מספר ראשוני, מכיוון שהוא מתחלק רק בעצמו ובאחד.
   • דוגמה: בואו נפרק את המספר 24 לתוצר של מספרים ראשוניים.
4. 4 בואו נחלק מספר זה לתוצר של שני גורמים. מצא שני מספרים קטנים יותר שהמוצר שלהם שווה למספר המקורי. ניתן להשתמש בכל גורם, אך קל יותר לקחת מספרים ראשוניים. אחת הדרכים הטובות היא לנסות לחלק את המספר המקורי תחילה ב -2, אחר כך ב -3, ואז ב -5, ולבדוק אילו מהראשונים הללו הוא מחלק ללא שארית.
   • דוגמה: אם אינך יודע את הגורמים ל -24, נסה לחלק אותו בפריימים קטנים. אז תגלו שהמספר הנתון מתחלק ב- 2: 24 = 2 x 12... זוהי התחלה טובה.
   • מכיוון ש -2 הוא מספר ראשוני, טוב להשתמש בו בעת פקטור מספרים זוגיים.
5. 5 התחל לבנות את עץ המכפיל. הליך פשוט זה יעזור לך להגדיר מספר. ראשית, צייר שני "ענפים" כלפי מטה מהמספר המקורי. בסוף כל ענף כתוב את הגורמים שנמצאו.
   • דוגמא:
   •    24
   •     /
   • 2    12
6. 6 מחשיבים את שורת המספרים הבאה. תסתכל על שני המספרים החדשים (השורה השנייה של עץ המכפיל). האם שניהם מספרים ראשוניים? אם אחד מהם אינו פשוט, התייחס אותו גם לשני גורמים. צור עוד שני ענפים וכתוב שני גורמים חדשים בשורה השלישית של העץ.
   • דוגמה: 12 הוא לא מספר ראשוני, ולכן יש להביא אותו לפקטור. השתמש בפירוק 12 = 2 x 6 וכתוב אותו בשורה השלישית של העץ:
   •    24
   •     /
   • 2   12
   •        /
   • 2 x 6
7. 7 המשך במורד העץ. אם אחד הגורמים החדשים מתברר כמספר ראשוני, צייר ממנו "ענף" אחד וכתוב אותו מספר בסיומו. לא ניתן להרחיב את המספרים הראשוניים לגורמים קטנים יותר, אז פשוט תוריד אותם לרמה.
   • דוגמה: 2 הוא ראשוני. פשוט העבר 2 מהשורה השנייה לשלישית:
   •      24
   •       /
   •    2   12
   •   /       /
   • 2     2   6
8. 8 המשך לחשב את המספרים עד שתישאר עם מספרים ראשוניים בלבד. בדוק כל שורה חדשה של העץ. אם לפחות אחד הגורמים החדשים אינו מספר ראשוני, סמן אותו וכתב שורה חדשה. בסופו של דבר, יישארו לך רק מספרים ראשוניים.
   • דוגמה: 6 הוא לא מספר ראשוני, ולכן יש לגורמו גם כן. יחד עם זאת, 2 הוא מספר ראשוני, ואנו מעבירים את השניים לשלב הבא:
   •         24
   •          /
   •       2    12
   •      /       /
   •    2     2    6
   •   /      /      /
   • 2     2      2   3
9. 9 כתוב את השורה האחרונה כתוצר של גורמים ראשוניים. בסופו של דבר, יישארו לך רק מספרים ראשוניים. כאשר זה קורה, הגורם העיקרי להסתיים. השורה האחרונה היא קבוצת פרימים, שהתוצר שלהם נותן את המספר המקורי.
   • בדוק את התשובה שלך: הכפל את המספרים בשורה האחרונה. התוצאה צריכה להיות המספר המקורי.
   • דוגמה: השורה האחרונה של עץ הגורמים מכילה את המספרים 2 ו -3 שני המספרים הללו הם ראשוניים, כך שהפירוק הושלם. לפיכך, לגורם הגורם העיקרי של 24 יש את הצורה הבאה: 24 = 2 x 2 x 2 x 3.
   • סדר הגורמים לא משנה. הפירוק יכול להיות כתוב גם כ 2 x 3 x 2 x 2.
10. 10 פשט את התשובה שלך בעזרת סימון מעריכי, אם תרצה בכך. אם אתה מכיר אקספוננציה של מספרים, תוכל לכתוב את התשובה בצורה פשוטה יותר.זכור כי הבסיס כתוב בתחתית, והמספר העל מציין כמה פעמים יש להכפיל בסיס זה בעצמו.
    • דוגמה: כמה פעמים המספר 2 מתרחש בפירוק שנמצא 2 x 2 x 2 x 3? שלוש פעמים, כך שניתן לכתוב את הביטוי 2 x 2 x 2 כ- 2. בסימון מפושט, אנו מקבלים 2 x 3.

חלק 2 מתוך 2: שימוש בפריים פקטורים

1. 1 מצא את המחלק המשותף הגדול ביותר מבין שני מספרים. המחלק המשותף הגדול ביותר (GCD) של שני מספרים הוא המספר המרבי שבו שני המספרים מתחלקים ללא שארית. הדוגמה להלן מראה כיצד להשתמש בפקטורטיזציה ראשונית כדי למצוא את המחלק המשותף הגדול ביותר של 30 ו -36.
   • בואו נחלק את שני המספרים לגורמים ראשוניים. עבור 30, הפקטורציה היא 2 x 3 x 5. המספר 36 מתפרק לגורמים ראשוניים כדלקמן: 2 x 2 x 3 x 3.
   • בואו למצוא את המספר המתרחש בשתי ההרחבות. בואו נחצה את המספר בשתי הרשימות ונכתוב אותו בשורה חדשה. לדוגמה, 2 מתרחשת בשתי הרחבות, כך שאנו כותבים 2 על קו חדש. לאחר מכן, יש לנו 30 = 2 x 3 x 5 ו- 36 = 2 x 2 x 3 x 3.
   • חזור על שלב זה עד שלא יישארו גורמים נפוצים בהרחבות. שתי הרשימות כוללות גם את המספר 3, כך שבשורה חדשה תוכל לכתוב 2 ו 3... לאחר מכן השווה שוב את ההרחבות: 30 = 2 x 3 x 5 ו- 36 = 2 x 2 x 3 x 3. כפי שאתה יכול לראות, לא נותרו בהם גורמים משותפים.
   • כדי למצוא את הגורם המשותף הגדול ביותר, מצא את התוצר של כל הגורמים הנפוצים. בדוגמה שלנו, אלה 2 ו -3, כך שה- gcd הוא 2 x 3 = 6... זהו המספר הגדול ביותר המחלק באופן שווה את המספרים 30 ו -36.
2. 2 בעזרת GCD ניתן לפשט שברים. אם אתה חושד שניתן לבטל חלק, השתמש בגורם המשותף הגדול ביותר. מצא את ה- GCD של המונה והמכנה באמצעות ההליך הנ"ל. לאחר מכן חלק את המונה ואת המכנה של השבר במספר זה. כתוצאה מכך, אתה מקבל את אותו חלק בצורה פשוטה יותר.
   • לדוגמה, בואו לפשט את השבר /₃₆... כפי שצייננו לעיל, עבור 30 ו -36, ה- GCD הוא 6, ולכן אנו מחלקים את המונה והמכנה ב -6:
   • 30 ÷ 6 = 5
   • 36 ÷ 6 = 6
   • /₃₆ = /₆
3. 3 מצא את הכפולה הפחות נפוצה מבין שני מספרים. הכפולה הפחות נפוצה (LCM) של שני מספרים היא המספר הקטן ביותר המתחלק באופן שווה בשני המספרים. לדוגמה, ה- LCM של 2 ו- 3 הוא 6 מכיוון שהוא המספר הקטן ביותר שיכול להיות מתחלק ב- 2 ו- 3. להלן דוגמא למציאת LCM באמצעות פקטורטיזציה ראשונית:
   • נתחיל בשני גורמים ראשוניים. לדוגמה, עבור 126, ניתן לכתוב את הפקטור כ 2 x 3 x 3 x 7. ניתן לפרק את המספר 84 לגורמים ראשוניים כ 2 x 2 x 3 x 7.
   • בואו נשווה כמה פעמים כל גורם מתרחש בהרחבות. בחר את הרשימה שבה הכפיל מתרחש במספר הפעמים המרבי, והקיף את המקום הזה. לדוגמה, המספר 2 מופיע פעם אחת בהרחבה עבור 126 ופעמיים ברשימה עבור 84, אז כדאי שתקיף 2 x 2 ברשימת הגורמים השנייה.
   • חזור על שלב זה עבור כל מכפיל. לדוגמה, 3 נפוץ יותר בהרחבה הראשונה, לכן כדאי להקיף בה מעגל 3 x 3... המספר 7 מופיע פעם אחת בשתי הרשימות, כך שאנו מעגלים 7 (לא משנה באיזו רשימה, אם הגורם הנתון מתרחש בשתי הרשימות אותו מספר פעמים).
   • כדי למצוא את LCM, הכפל את כל המספרים המקיפים. בדוגמה שלנו, הכפולה הפחות נפוצה של 126 ו -84 היא 2 x 2 x 3 x 3 x 7 = 252... זהו המספר הקטן ביותר המתחלק ב- 126 ו -84 ללא שארית.
4. 4 השתמש ב- LCM להוספת שברים. כאשר מוסיפים שני שברים, יש צורך להביא אותם למכנה משותף. לשם כך, מצא את ה- LCM של שני המכנים. לאחר מכן הכפל את המונה והמכנה של כל שבר במספר כזה שמכני השברים שווים ל- LCM. לאחר מכן, תוכל להוסיף את השברים.
   • לדוגמה, עליך למצוא את הסכום /₆ + /₂₁.
   • באמצעות השיטה שלעיל, אתה יכול למצוא את LCM עבור 6 ו 21. זה 42.
   • אנו הופכים את השבר /₆ כך שהמכנה שלו הוא 42. לשם כך, עליך לחלק את 42 ב -6: 42 ÷ 6 = 7. כעת הכפל את המונה והמכנה של השבר ב- 7: /₆ איקס /₇ = /₄₂.
   • כדי להביא את השבר השני למכנה 42, חלקו 42 ב- 21: 42 ÷ 21 = 2. הכפלו את המונה ואת המכנה של השבר ב- 2: /₂₁ איקס /₂ = /₄₂.
   • לאחר הקטנת השברים לאותו מכנה, ניתן להוסיף אותם בקלות: /₄₂ + /₄₂ = /₄₂.

דוגמאות למשימות

• נסה לפתור את הבעיות למטה בעצמך.אם אתה חושב שקיבלת את התשובה הנכונה, סמן בעזרת העכבר את המקום אחרי המעי הגס בהצהרת הבעיה. המשימות האחרונות הן הקשות ביותר.
• מצא את הגורם העיקרי ל 16: 2 x 2 x 2 x 2
• כתוב את תשובתך בצורה מעריכית: 2
• מצא את הגורם העיקרי של 45: 3 x 3 x 5
• כתוב את תשובתך בצורה מעריכית: 3 x 5
• מצא את הגורם העיקרי לגודל 34: 2 x 17
• מצא את הגורם העיקרי של 154: 2 x 7 x 11
• מצא את הגורם העיקרי עבור 8 ו -40, ולאחר מכן קבע את הגורם המשותף הגדול ביותר שלהם: הפקטורציה העיקרית של 8 היא 2 x 2 x 2 x 2; הגורם העיקרי של 40 הוא 2 x 2 x 2 x 5; GCD של שני מספרים 2 x 2 x 2 = 6.
• מצא את הפקטורציה העיקרית עבור 18 ו- 52 ומצא את הכפולה הפחות משותפת שלהם: הפקטורציה העיקרית של 18 היא 2 x 3 x 3; הגורם העיקרי של 52 הוא 2 x 2 x 13; ה- LCM של שני מספרים הוא 2 x 2 x 3 x 3 x 13 = 468.

טיפים

• לכל מספר יש פקטורטיזציה ייחודית המאפיינת אותו. זה לא משנה איך אתה מוצא הרחבה זו, אתה צריך בסופו של דבר לקבל את אותה התשובה. זה נקרא משפט הבסיסי של חשבון.
• במקום לשכתב את המספרים הראשוניים בשורה חדשה של עץ הגורמים בכל פעם, אתה יכול להשאיר אותם במקומם ופשוט להקיף אותם. בסוף ההרחבה היא תכלול את כל גורמי הפריים המוקפים.
• בדוק תמיד את התשובה שאתה מקבל. אתה יכול לטעות ולא לשים לב לזה.
• היכונו למשימות מסובכות. אם תתבקשו למצוא פקטורזציה ראשונית של מספר ראשוני, אין צורך לבצע חישובים כלשהם. לדוגמה, עבור המספר 17, הגורם העיקרי הוא 17; לא ניתן לפרק מספר זה לגורמים ראשוניים אחרים.
• ניתן למצוא את הגורם המשותף הגדול ביותר והכפולה הנפוצה ביותר עבור שלושה מספרים או יותר.

אזהרות

• עץ המכפיל מאפשר לך לקבוע רק גורמים ראשוניים, לא את כל הגורמים האפשריים.