תוֹכֶן

• צעדים
• שיטה 1 מתוך 4: מונומי במכנה
• שיטה 2 מתוך 4: בינומי במכנה
• שיטה 3 מתוך 4: ביטוי הפוך
• שיטה 4 מתוך 4: מכנה שורש מעוקב

במתמטיקה, לא נהוג להשאיר שורש או מספר לא רציונלי במכנה של שבר. אם המכנה הוא שורש, הכפל את השבר במונח או ביטוי כלשהו כדי להיפטר מהשורש. מחשבונים מודרניים מאפשרים לך לעבוד עם שורשים במכנה, אך התוכנית החינוכית דורשת שתלמידים יוכלו להיפטר מחוסר רציונאליות במכנה.

צעדים

שיטה 1 מתוך 4: מונומי במכנה

1. 1 למד את השבר. השבר כתוב נכון אם אין שורש במכנה. אם למכנה יש ריבוע או כל שורש אחר, עליך להכפיל את המונה והמכנה באיזה מונומיה בכדי להיפטר מהשורש. שימו לב כי המונה יכול להכיל שורש - זה נורמלי.
   • ${ displaystyle { frac {7 { sqrt {3}}} {2 { sqrt {7}}}}}$
   • למכנה כאן יש שורש ${ displaystyle { sqrt {7}}}$.
2. 2 הכפל את המונה והמכנה בשורש המכנה. אם המכנה מכיל מונומיום, די קל לתרץ חלק כזה. הכפל את המונה והמכנה באותו מונומיום (כלומר, אתה מכפיל את השבר ב- 1).
   • ${ displaystyle { frac {7 { sqrt {3}}} {2 { sqrt {7}}}} cdot { frac { sqrt {7}} { sqrt {7}}}}}$
   • אם אתה מזין ביטוי לפתרון במחשבון, הקפד לשים סוגריים סביב כל חלק כדי להפריד ביניהם.
3. 3 פשט את השבר (במידת האפשר). בדוגמה שלנו ניתן לקצר אותו על ידי חלוקת המונה והמכנה ב -7.
   • ${ displaystyle { frac {7 { sqrt {3}}} {2 { sqrt {7}}}} cdot { frac { sqrt {7}} { sqrt {7}}} = { frac {7 { sqrt {21}}} {14}} = { frac { sqrt {21}} {2}}}$

שיטה 2 מתוך 4: בינומי במכנה

1. 1 למד את השבר. אם המכנה שלו מכיל את הסכום או ההבדל של שתי מונוליות, שאחת מהן מכילה שורש, אי אפשר להכפיל את השבר בינומי כזה כדי להיפטר מאי -רציונליות.
   • ${ displaystyle { frac {4} {2 + { sqrt {2}}}}}$
   • כדי להבין זאת, רשום את השבר ${ displaystyle { frac {1} {a + b}}}$היכן המונומיום ${ Displaystyle א}$ אוֹ ${ displaystyle b}$ מכיל את השורש. במקרה הזה: ${ displaystyle (a + b) (a + b) = a ^ {2} + 2ab + b ^ {2}}$... כך, המונומיום ${ displaystyle 2ab}$ עדיין יכלול את השורש (אם ${ Displaystyle א}$ אוֹ ${ displaystyle b}$ מכיל את השורש).
   • בואו נסתכל על הדוגמה שלנו.
     • ${ displaystyle { frac {4} {2 + { sqrt {2}}}} cdot { frac {2 + { sqrt {2}}} {2 + { sqrt {2}}}}} = { frac {4 (2 + { sqrt {2}})} {4 + 4 { sqrt {2}} + 2}}}$
   • אתה רואה שאתה לא יכול להיפטר מהמונומיום במכנה ${ displaystyle 4 { sqrt {2}}}$.
2. 2 הכפל את המונה והמכנה על ידי הצמד הבינומי של הבינומי במכנה. בינום מצומד הוא בינומי עם אותו מונומיום, אך עם הסימן ההפוך ביניהם. לדוגמה, בינום ${ displaystyle 2 + { sqrt {2}}}$ מצומדות לבינום ${ displaystyle 2 - { sqrt {2}}.}$
   • ${ displaystyle { frac {4} {2 + { sqrt {2}}}} cdot { frac {2 - { sqrt {2}}} {2 - { sqrt {2}}}}}}$
   • להבין את המשמעות של שיטה זו. שקול שוב את השבר ${ displaystyle { frac {1} {a + b}}}$... הכפל את המונה והמכנה על ידי הצמד הבינומי אל הבינומי במכנה: ${ displaystyle (a + b) (a -b) = a ^ {2} -b ^ {2}}$... לפיכך, אין מונומים המכילים שורשים. מאז המונומיות ${ Displaystyle א}$ ו ${ displaystyle b}$ בריבוע, השורשים יחוסלו.
3. 3 פשט את השבר (במידת האפשר). אם יש גורם משותף הן במונה והן במכנה, בטל אותו. במקרה שלנו, 4 - 2 = 2, שניתן להשתמש בהם כדי להפחית את השבר.
   • ${ displaystyle { frac {4} {2 + { sqrt {2}}}} cdot { frac {2 - { sqrt {2}}} {2 - { sqrt {2}}}}} = { frac {4 (2-{ sqrt {2}})} {4-2}} = 4-2 { sqrt {2}}}$

שיטה 3 מתוך 4: ביטוי הפוך

1. 1 בחן את הבעיה. אם אתה צריך למצוא ביטוי שהוא ההפוך של הנתון, המכיל שורש, יהיה עליך לבצע רציונליזציה של השבר המתקבל (ורק אז לפשט אותו). במקרה זה, השתמש בשיטה המתוארת בסעיפים הראשונים או השניים (בהתאם למשימה).
   • ${ displaystyle 2 - { sqrt {3}}}$
2. 2 רשום את הביטוי ההפוך. לשם כך, חלקו 1 בביטוי הנתון; אם ניתן שבר, החלף את המונה והמכנה. זכור כי כל ביטוי הוא שבר עם 1 במכנה.
   • ${ displaystyle { frac {1} {2 - { sqrt {3}}}}}$
3. 3 הכפל את המונה והמכנה באיזה ביטוי כדי להיפטר מהשורש. על ידי הכפלת המונה והמכנה באותו ביטוי, אתה מכפיל את השבר ב- 1, כלומר, ערך השבר אינו משתנה. בדוגמה שלנו, אנו מקבלים בינוום, לכן הכפל את המונה והמכנה בינולי המצומד.
   • ${ displaystyle { frac {1} {2 - { sqrt {3}}}} cdot { frac {2 + { sqrt {3}}} {2 + { sqrt {3}}}}}}$
4. 4 פשט את השבר (במידת האפשר). בדוגמה שלנו, 4 - 3 = 1, כך שניתן לבטל את הביטוי במכנה של השבר לחלוטין.
   • ${ displaystyle { frac {1} {2 - { sqrt {3}}}} cdot { frac {2 + { sqrt {3}}} {2 + { sqrt {3}}}}} = { frac {2 + { sqrt {3}}} {4-3}} = 2 + { sqrt {3}}}$
   • התשובה היא צמד בינומי לבינום זה. זה רק צירוף מקרים.

שיטה 4 מתוך 4: מכנה שורש מעוקב

1. 1 למד את השבר. הבעיה עשויה להכיל שורשי קוביות, אם כי זה נדיר למדי. השיטה המתוארת מתאימה לשורשים מכל תואר.
   • ${ displaystyle { frac {3} { sqrt [{3}] {3}}}}$
2. 2 כתוב מחדש את השורש כמעצמה. כאן אינך יכול להכפיל את המונה והמכנה באיזה מונומיה או ביטוי כלשהו, ​​משום שהרציונליזציה מתבצעת בצורה מעט שונה.
   • ${ displaystyle { frac {3} {3 ^ {1/3}}}}$
3. 3 הכפל את המונה והמכנה של השבר בכוח כלשהו כך שהמעריך במכנה יהפוך ל -1. בדוגמה שלנו, הכפל את השבר ב- ${ displaystyle { frac {3 ^ {2/3}} {3 ^ {2/3}}}}$... זכור שכאשר התארים מוכפלים, האינדיקטורים שלהם מסתכמים: ${ displaystyle a ^ {b} a ^ {c} = a ^ {b + c}.}$
   • ${ displaystyle { frac {3} {3 ^ {1/3}}} cdot { frac {3 ^ {2/3}} {3 ^ {2/3}}}}$
   • שיטה זו חלה על כל שורשי התואר n. אם ניתן שבר ${ displaystyle { frac {1} {a ^ {1 / n}}}}$, כפל את המונה והמכנה ב ${ displaystyle a ^ {1 - { frac {1} {n}}}}$... כך, המעריך במכנה הופך ל -1.
4. 4 פשט את השבר (במידת האפשר).
   • ${ displaystyle { frac {3} {3 ^ {1/3}}} cdot { frac {3 ^ {2/3}} {3 ^ {2/3}}} = 3 ^ {2/3 }}$
   • במידת הצורך, רשום את השורש בתשובה. בדוגמה שלנו, נתח את המעריך לשני גורמים: ${ displaystyle 1/3}$ ו ${ displaystyle 2}$.
     • ${ displaystyle 3 ^ {2/3} = (3 ^ {2}) ^ {1/3} = { sqrt [{3}] {9}}}$