תוֹכֶן

• סיכום קצר
• צעדים
• חלק 1 מתוך 3: בדיקת חלוקת המטריצות
• חלק 2 מתוך 3: מציאת המטריצה ​​ההפוכה
• חלק 3 מתוך 3: כפל מטריקס
• טיפים
• אזהרות
• מאמרים נוספים

אם אתה יודע כיצד להכפיל שתי מטריצות, אתה יכול להתחיל "לחלק" את המטריצות. המילה "חלוקה" מוקפת במרכאות, כיוון שבאמת לא ניתן לחלק מטריצות. פעולת החלוקה מוחלפת בפעולה של הכפלת מטריצה ​​אחת במטריצה ​​שהיא ההפוכה של המטריצה ​​השנייה. לשם הפשטות, שקול דוגמה עם מספרים שלמים: 10 ÷ 5. מצא את ההדדי של 5: 5 או /₅ולאחר מכן החלף את החלוקה בכפל: 10 x 5; התוצאה של החלוקה והריבוי תהיה זהה. לכן, הוא סבור שניתן להחליף את החלוקה בכפל על ידי המטריצה ​​ההפוכה. בדרך כלל, חישובים כאלה משמשים לפתרון מערכות של משוואות לינאריות.

סיכום קצר

1. אי אפשר לחלק מטריצות. במקום לחלק, מטריצה ​​אחת מוכפלת בהיפוך של המטריצה ​​השנייה. "חלוקה" של שתי מטריצות [A] ÷ [B] כתובה כך: [A] * [B] או [B] * [A].
2. אם מטריצה ​​[B] אינה מרובעת, או אם הגורם הקובע שלה הוא 0, רשום "אין פתרון חד משמעי". אחרת, מצא את הקובע של המטריצה ​​[B] ועבור לשלב הבא.
3. מצא את ההפוך: [B].
4. כפל מטריצות כדי למצוא [A] * [B] או [B] * [A]. זכור כי הסדר בו מכפילים את המטריצות משפיע על התוצאה הסופית (כלומר, התוצאות עשויות להשתנות).

צעדים

חלק 1 מתוך 3: בדיקת חלוקת המטריצות

1. 1 להבין את "חלוקת" המטריצות. למעשה, לא ניתן לחלק מטריצות. אין פעולה מתמטית כזו "חלוקת מטריצה ​​אחת לאחרת". החלוקה מוחלפת על ידי הכפלת מטריצה ​​אחת בהיפוך של המטריצה ​​השנייה. כלומר, הסימון [A] ÷ [B] אינו נכון, ולכן הוא מוחלף בסימון הבא: [A] * [B]. מכיוון ששני הערכים שווים במקרה של ערכים סקלריים, תיאורטית ניתן לדבר על "חלוקה" של מטריצות, אך עדיף עדיין להשתמש במינוח הנכון.
   • שים לב ש [A] * [B] ו- [B] * [A] הן פעולות שונות. ייתכן שיהיה צורך לבצע את שתי הפעולות כדי למצוא את כל הפתרונות האפשריים.
   • למשל, במקום ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} div { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ לִרְשׁוֹם ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} ^ {- 1} }$.
     ייתכן שיהיה עליך לחשב ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} ^ {- 1} * { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} }$כדי לקבל תוצאה אחרת.
2. 2 וודא שהמטריצה ​​שבה אתה "מחלק" את המטריצה ​​השנייה היא מרובעת. כדי להפוך מטריצה ​​(למצוא את ההפוך של מטריצה), היא חייבת להיות מרובעת, כלומר עם אותו מספר שורות ועמודות. אם המטריצה ​​ההפוכה אינה הפוכה, אין פתרון מוגדר.
   • שוב, המטריצות אינן "מתחלקות" כאן. במבצע [A] * [B], המצב המתואר מתייחס למטריצה ​​[B]. בדוגמה שלנו, מצב זה מתייחס למטריצה ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$
   • מטריצה ​​שאפשר להפוך הפוך נקראת לא ניוונית או רגילה. מטריצה ​​שאי אפשר להפוך היא נקראת מנוונת או יחידה.
3. 3 בדוק אם ניתן להכפיל את שתי המטריצות. כדי להכפיל שתי מטריצות, מספר העמודות במטריצה ​​הראשונה חייב להיות שווה למספר השורות במטריצה ​​השנייה. אם תנאי זה אינו מתקיים בערך [A] * [B] או [B] * [A], אין פתרון.
   • לדוגמה, אם גודל המטריצה ​​[A] הוא 4 x 3 וגודל המטריצה ​​[B] הוא 2 x 2, אין פתרון. אינך יכול להכפיל [A] * [B] מכיוון ש -4 ≠ 2, ואינך יכול להכפיל [B] * [A] מכיוון ש -2 ≠ 3.
   • שים לב שלמטריצה ​​ההפוכה [B] תמיד יש אותו מספר שורות ועמודות כמו המטריצה ​​המקורית [B]. אין צורך למצוא את המטריצה ​​ההפוכה כדי לבדוק שניתן להכפיל שתי מטריצות.
   • בדוגמה שלנו, גודל שתי המטריצות הוא 2 x 2, כך שניתן להכפיל אותן בכל סדר.
4. 4 מצא את הקובע של מטריצת 2 × 2. זכור: אתה יכול להפוך מטריצה ​​רק אם הקובעת שלה אינה אפס (אחרת לא תוכל להפוך את המטריצה). כך תוכל למצוא את הקובע של מטריצה ​​2 x 2:
   • 2 x 2 מטריקס: הקובע את המטריצה ${ displaystyle { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}}}$ שווה ל- ad - bc. כלומר, ממוצר האלמנטים של האלכסון הראשי (עובר דרך הפינות השמאליות העליונות והתחתונות של הימני), יש להפחית את תוצרי האלמנטים של האלכסון השני (עובר בפינה הימנית העליונה והשמאלית התחתונה).
   • לדוגמה, הקובע של המטריצה ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ שווה ל (7) (3) - (4) (2) = 21 - 8 = 13. הקובע אינו אפס, כך שניתן להפוך את המטריצה ​​הזו.
5. 5 מצא את הקובע של המטריצה ​​הגדולה יותר. אם גודל המטריצה ​​הוא 3 x 3 או יותר, הקובע מעט יותר קשה לחישוב.
   • מטריצה ​​3 x 3: בחר כל פריט וחצו את השורה והעמודה שבה הוא נמצא.מצא את הקובע של מטריצת 2 × 2 המתקבלת ולאחר מכן הכפל אותה ביסוד הנבחר; ציין את סימן הקובע בטבלה מיוחדת. חזור על תהליך זה עבור שני הפריטים האחרים הנמצאים באותה שורה או בעמודה כמו הפריט שבחרת. לאחר מכן מצא את סכום (שלוש) הקובעים שהתקבלו. קרא מאמר זה למידע נוסף על איך למצוא את הקובע של מטריצה ​​3 x 3.
   • מטריצות גדולות: עדיף לחפש את הקובע של מטריצות כאלה באמצעות מחשבון גרפי או תוכנה. השיטה דומה לשיטה לאיתור הקובע של מטריצה ​​3 × 3, אך די מייגע ליישם אותה באופן ידני. לדוגמה, כדי למצוא את הקובע של מטריצה ​​4 x 4, עליך למצוא את הקובעים של ארבע 3 x 3 מטריצות.
6. 6 המשך בחישובים. אם המטריצה ​​אינה מרובעת או אם הקובעת שלה שווה לאפס, כתוב "אין פתרון חד משמעי", כלומר תהליך החישוב הושלם. אם המטריצה ​​מרובעת ויש לה קביעה שאינה אפס, דלג לסעיף הבא.

חלק 2 מתוך 3: מציאת המטריצה ​​ההפוכה

1. 1 החלף את האלמנטים באלכסון הראשי של המטריצה ​​2 x 2. בהינתן מטריצה ​​2 × 2, השתמש בשיטה ההפוכה המהירה. ראשית, החלף את האלמנט השמאלי העליון ואת האלמנט הימני התחתון. לדוגמה:
   • ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ → ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 2 & 7 end {pmatrix}}}$
   • הערה: רוב האנשים משתמשים במחשבונים כדי להפוך מטריצה ​​של 3 x 3 (או גדולה יותר). אם עליך לעשות זאת באופן ידני, עבור לסוף פרק זה.
2. 2 אין להחליף את שני האלמנטים הנותרים, אלא לשנות את הסימן שלהם. כלומר, הכפל את האלמנט הימני העליון והאלמנט השמאלי התחתון ב -1:
   • ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 2 & 7 end {pmatrix}}}$ → ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & -4 - 2 & 7 end {pmatrix}}}$
3. 3 מצא את ההדדיות של הקובע. הקובע של מטריצה ​​זו נמצא בסעיף הקודם, כך שלא נחשב אותה שוב. ההיפך של הקובע נכתב כדלקמן: 1 / (קובע):
   • בדוגמה שלנו, הקובע הוא 13. ערך הפוך: ${ displaystyle { frac {1} {13}}}$.
4. 4 הכפל את המטריצה ​​המתקבלת על ידי ההדדי של הקובע. הכפל כל אלמנט של המטריצה ​​החדשה בהיפוך של הקובע. המטריצה ​​הסופית תהיה ההפוכה של המטריצה ​​המקורית של 2 x 2:
   • ${ displaystyle { frac {1} {13}} * { begin {pmatrix} 3 & -4 - 2 & 7 end {pmatrix}}}$
     =${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} ו- { frac {7 } {13}} end {pmatrix}}}$
5. 5 בדוק שהחישובים נכונים. לשם כך, הכפל את המטריצה ​​המקורית בהיפוך שלה. אם החישובים נכונים, תוצר המטריצה ​​המקורית לפי ההיפוך ייתן את מטריצת הזהות: ${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}}$... אם הבדיקה הצליחה, המשך לסעיף הבא.
   • בדוגמה שלנו: ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} ו- { frac {7 } {13}} end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}}$.
   • למידע נוסף על הכפלת מטריצות, קרא מאמר זה.
   • הערה: פעולת כפל המטריצות אינה קומוטיבית, כלומר סדר המטריצות חשוב. אך כאשר המטריצה ​​המקורית מוכפלת בהיפוך שלה, כל סדר מוביל למטריצת הזהות.
6. 6 מצא את ההפוך של מטריצה ​​3 x 3 (או גדול יותר). אם אתה כבר מכיר את התהליך הזה, עדיף להשתמש במחשבון גרפים או בתוכנה מיוחדת. אם אתה צריך למצוא את המטריצה ​​ההפוכה באופן ידני, התהליך מתואר בקצרה להלן:
   • הצטרף למטריצת הזהות I בצד ימין של המטריצה ​​המקורית. לדוגמה, [B] → [B | אני]. עבור מטריצת הזהות, כל האלמנטים באלכסון הראשי שווים ל -1, וכל שאר האלמנטים שווים ל -0.
   • פשט את המטריצה ​​כך שהצד השמאלי שלה יהיה מדורג; המשך לפשט כך שהצד השמאלי יהפוך למטריצת הזהות.
   • לאחר הפשטות, המטריצה ​​תלבש בצורה הבאה: [I | ב]. כלומר, הצד הימני שלו הוא ההפוך של המטריצה ​​המקורית.

חלק 3 מתוך 3: כפל מטריקס

1. 1 רשמו שני ביטויים אפשריים. פעולת הכפלת שני סקלרים היא קומוטיבית, כלומר 2 x 6 = 6 x 2.זה לא המקרה במקרה של ריבוי מטריצות, כך שתצטרך לפתור שני ביטויים:
   • איקס = [A] * [B] הוא הפתרון למשוואה איקס[B] = [A].
   • איקס = [B] * [A] הוא הפתרון למשוואה [B]איקס = [א].
   • בצע כל פעולת מתמטיקה משני צידי המשוואה. אם [A] = [C] אז [B] [A] ≠ [C] [B] כי [B] נמצא משמאל ל- [A] אך מימין ל- [C].
2. 2 קבע את גודל המטריצה ​​הסופית. גודל המטריצה ​​הסופית תלוי בגודל המטריצות המרובות. מספר השורות במטריצה ​​הסופית שווה למספר השורות במטריצה ​​הראשונה, ומספר העמודות במטריצה ​​הסופית שווה למספר העמודות במטריצה ​​השנייה.
   • בדוגמה שלנו, גודל שתי המטריצות ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}}}$ ו ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} ו- { frac {7 } {13}} end {pmatrix}}}$ הוא 2 x 2, כך שגודל המטריצה ​​המקורית יהיה 2 x 2.
   • שקול דוגמה מורכבת יותר: אם גודל המטריצה ​​[A] הוא 4 x 3, וגודל המטריצה ​​[B] הוא 3 x 3, אז המטריצה ​​הסופית [A] * [B] תהיה 4 x 3.
3. 3 מצא את הערך של האלמנט הראשון. קרא מאמר זה או זכור את השלבים הבסיסיים הבאים:
   • כדי למצוא את הרכיב הראשון (השורה הראשונה, העמודה הראשונה) של המטריצה ​​הסופית [A] [B], חשב את תוצר הנקודה של האלמנטים של השורה הראשונה של המטריצה ​​[A] ואת האלמנטים של העמודה הראשונה של המטריצה ​​[B] ]. במקרה של מטריצה ​​2 x 2, מוצר הנקודה מחושב כדלקמן: ${ displaystyle a_ {1,1} * b_ {1,1} + a_ {1,2} * b_ {2,1}}$.
   • בדוגמה שלנו: ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} { 13}} { frac {-2} {13}} ו- { frac {7} {13}} end {pmatrix}}}$... לפיכך, האלמנט הראשון של המטריצה ​​הסופית יהיה האלמנט:
     ${ displaystyle (13 * { frac {3} {13}}) + (26 * { frac {-2} {13}})}$
     ${ displaystyle = 3 + -4}$
     ${ displaystyle = -1}$
4. 4 המשך לחשב מוצרי נקודה כדי למצוא כל אלמנט של המטריצה ​​הסופית. לדוגמה, האלמנט הממוקם בשורה השנייה והעמודה הראשונה שווה לתוצר הנקודות של השורה השנייה של המטריצה ​​[A] והעמודה הראשונה של המטריצה ​​[B]. נסה למצוא את הפריטים הנותרים בעצמך. אתה אמור לקבל את התוצאות הבאות:
   • ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} { 13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7} {13}} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} -1 & 10 7 & -5 end {pmatrix}}}$
   • אם אתה צריך למצוא פתרון אחר: ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} ו- { frac {7 } {13}} end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} -9 & 2 19 & 3 סוף {pmatrix}}}$

טיפים

• ניתן לחלק את המטריצה ​​לסולם; לשם כך, כל אלמנט של המטריצה ​​מחולק על ידי סולם.
  • לדוגמה, אם המטריצה ${ displaystyle { begin {pmatrix} 6 & 8 2 & 4 end {pmatrix}}}$ מחולק ב 2, אתה מקבל את המטריצה ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 1 & 2 end {pmatrix}}}$

אזהרות

• המחשבון לא תמיד נותן תוצאות מדויקות לחלוטין בכל הנוגע לחישובי מטריצות. לדוגמה, אם המחשבון טוען שהפריט הוא מספר קטן מאוד (כגון 2E), סביר שהערך הוא אפס.

מאמרים נוספים

כיצד להכפיל מטריצות כיצד למצוא את ההפוך של מטריצה ​​3x3 כיצד למצוא את הקובע של מטריצה ​​3X3 כיצד למצוא את המקסימום או המינימלי של פונקציה ריבועית כיצד לחשב את התדירות כיצד לפתור משוואות ריבועיות כיצד למדוד גובה ללא סרט מדידה כיצד למצוא את השורש הריבועי של מספר באופן ידני כיצד להמיר מיליליטר לגרמים כיצד להמיר מבינארי לעשרוני כיצד לחשב את ערך pi כיצד להמיר מעשרוני לבינארי כיצד לחשב את ההסתברות כיצד להמיר דקות לשעות