תוֹכֶן

• צעדים
• עֵצָה

משפט פיתגורס (פיתגור) הוא משפט מתמטי שנמצא בשימוש נרחב ויש לו יישומים מעשיים רבים. המשפט קובע כי בכל משולש ימני, סכום הריבועים של שני הצדדים הימניים שווה לריבוע ההיפוטנוזה. במילים אחרות, במשולש ימני עם צלעות מאונכות באורך a ו- b ובאורך היפוטנוזה c, תמיד יש לנו a + b = c. משפט פיתגורס הוא אחד מעמודי התווך העיקריים של הגיאומטריה הבסיסית. ישנם אינספור יישומים מעשיים כגון מציאת המרחק בין שתי נקודות במישור קואורדינטות.

צעדים

שיטה 1 מתוך 2: מצא את צדי המשולש הימני

1. 

   וודא שהמשולש שלך הוא משולש נכון. משפט פיתגורס חל רק על משולשים ימניים. לכן, לפני שתמשיך, וודא שהמשולש שלך עומד בקריטריונים של משולש נכון. למרבה המזל, יש רק קריטריון אחד - כדי להיות משולש נכון, עליו להיות בזווית של 90 מעלות.
   • כאינדיקציה חזותית, הזווית הנכונה מסומנת בדרך כלל בריבוע קטן, אך לא במעגל "עקומה". חפש את השלט המיוחד הזה בפינת המשולש.

2. 

   
   
   קראו למשולשי הצדדים a, b ו- c. במשפט פיתגורס, a ו- b הם צדדים ישרים, c הוא היפוטנוזה - הצד הארוך ביותר הוא תמיד הפוך לזוויות ישרות. אז לכתחילה, קראו לצדדים הקצרים יותר של המשולש a ו- b (לא משנה איזה צד הוא 'a' או 'b'), וקראו להיפוטנוזה c.

3. 

   
   
   קבעו איזה צד של המשולש עליכם למצוא. משפט פיתגורס מאפשר למתמטיקאים למצוא את אורכו של כל אחד מהם אחד איזה צד של המשולש נכון כל עוד הם יודעים את אורכו את שני הקצוות האחרים. קבע קצה באורך לא ידוע - א, ב, ו / או ג. אם רק קצה אחד אינו ידוע, תוכל להתחיל.
   • לדוגמא, נניח שאנו יודעים שההיפוטנוזה אורכו 5 ואחד מצלעותיו אורכו 3, אך איננו יודעים מהו הצד השלישי. במקרה זה נפתור את בעיית מציאת הצד השלישי, מכיוון שאנו יודעים כבר מה אורכם של שני הצדדים האחרים. נשתמש בדוגמה זו בשלבים הבאים.
   • אם האורך שתיים הקצה אינו ידוע, יהיה עליך לקבוע את אורכו של קצה אחד נוסף בכדי להשתמש במשפט פיתגורס. הפונקציות הטריגונומטריות הבסיסיות יכולות לעזור אם אתה יודע למדוד את אחת הזוויות החדות של המשולש.

4. 

   
   
   החלף שני ערכים ידועים למשוואה. חבר את אורכי דפנות המשולש למשוואה a + b = c. זכור ש- a ו- b הן זוויות ישרות ו- c הוא היפוטנוזה.
   • בדוגמה שלעיל אנו יודעים את אורכו של צד והיפוטנוזה (שהוא 3 ו -5), ולכן המשוואה תהיה 3² + b² = 5²

5. 

   בריבוע. כדי לפתור משוואה, התחל בריבוע כל אחד מהקצוות הידועים. כמו כן, אם אתה מוצא את זה קל יותר, אתה יכול להשאיר את אורכי הצדדים אקספוננציאליים, ואז לרבוע אותם מאוחר יותר.
   • בדוגמה זו, נקבל ריבוע 3 ו -5 כדי לקבל אותה 9 ו 25. המשוואה שניתנת לשכתוב היא 9 + b² = 25.

6. 

   פצל את המשתנה הלא ידוע לצד אחד של המשוואה. במידת הצורך, השתמש באלגברה בסיסית כדי להניח את המשתנה הלא ידוע בצד מהמשוואה ושני מספרים בריבוע בצד המשוואה. אם אתה מוצא את ההיפוטנוזה, c כבר נמצא בצד נפרד, כך שאתה לא צריך לעשות שום דבר כדי להפריד אותו.
   • בדוגמה זו, המשוואה הנוכחית היא 9 + b² = 25. כדי לחלק את b², יש לחסר את שני צידי המשוואה ל- 9. המשוואה המתקבלת היא b² = 16.

7. 

   קבל את השורש הריבועי של שני צידי המשוואה. כעת יהיה לך משתנה בריבוע אחד בצד אחד של המשוואה ומספר בצד השני. פשוט קח את השורש הריבועי של שני הצדדים כדי למצוא את אורך הצד הלא ידוע.
   • בדוגמה זו, b² = 16, אם לוקחים את השורש הריבועי של שני הצדדים נקבל b = 4. לפיכך, אורך הצד שנמצא הוא 4.

8. 

   השתמש במשפט פיתגורס כדי למצוא את הצד של משולש ימני אמיתי. הסיבה שמשמשים כיום את משפט זה באופן נרחב היא שהיא חלה על מספר מצבים מעשיים. למדו כיצד לזהות משולש נכון בחיים - בכל סיטואציה שבה שני עצמים או שני קווים מצטלבים בזווית ישרה והאובייקט השלישי או הקו מצטלבים באותה זווית ישרה, תוכלו להשתמש בג'אנה. שיטת פיתגורס למצוא את אורך אחד הצדדים בהתחשב באורך של שני האחרים.
   • קחו דוגמא בפועל. סולם נשען על הבניין. גרם המדרגות נמצא 5 מ 'מרגל הקיר. מעלית לגובה 20 מטר מהבניין. כמה זמן הסולם?
     • גרם המדרגות 5 מ 'מרגל הקיר ו -20 מ' מקיר הבניין מספרים לנו את אורכי דפנות המשולש. מכיוון שהקיר והאדמה מצטלבים בזווית ישרה והסולם עולה למדרגה האלכסונית, אנו יכולים לדמיין אותו כמשולש ימני שאורכו בצד a = 5 ו- b = 20. הסולם הוא hypotenuse, אז c לא יודע. בואו נשתמש במשפט פיתגורס:
       • a² + b² = c²
       • (5) ² + (20) ² = c²
       • 25 + 400 = c²
       • 425 = c²
       • שורש ריבועי של (425) = ג
       • c = 20.6. אורך הסולם המשוער הוא 20.6 מ '.
   פרסומת

שיטה 2 מתוך 2: חישוב המרחק בין שתי נקודות במישור ה- XY

1. 

   קבע שתי נקודות במישור X-Y. משפט פיתגורס יכול לשמש בקלות לחישוב המרחק הליניארי בין שתי נקודות במישור X-Y. כל מה שאתה צריך לדעת הוא הקואורדינטות x ו- y של שתי נקודות כלשהן. בדרך כלל, הקואורדינטות הללו נכתבות בזוגות לפי סדר הקואורדינטות (x, y).
   • כדי למצוא את המרחק בין שתי הנקודות הללו, נתייחס לכל נקודה כאל אחת הזוויות החדות של המשולש הימני. באופן זה קל למצוא את אורך הצד a ו- b ואז לחשב את הצד c או בדיוק את המרחק בין שתי נקודות.

2. 

   צייר שתי נקודות על הגרף. במישור X-Y רגיל, עבור כל נקודה (x, y), x הוא הקואורדינטה על הציר האופקי ו- y הוא הקואורדינטה על הציר האנכי. אתה יכול למצוא את המרחקים בין שתי נקודות מבלי להתוות אותן בתרשים, אך גרפים יעזרו לך לראות טוב יותר.

3. 

   מצא את אורכי הצדדים הימניים של המשולש. בעזרת שתי הנקודות הנתונות כזוויות המשולש הסמוכות להיפוטנוזה, מצא את הצדדים a ו- b של המשולש. ניתן לעשות זאת באופן ויזואלי בתרשים, או באמצעות הנוסחה | x₁ - איקס₂| לקצוות אופקיים | y₁ - y₂| לקצה האנכי, שם (x₁, y₁) היא הנקודה הראשונה ו- (x₂, y₂) היא הנקודה השנייה.
   • נניח ששתי נקודות הן (6,1) ו- (3,5). אורך הצד האופקי של המשולש הוא:
     • | x₁ - איקס₂|
     • |3 - 6|
     • | -3 | = 3
   • אורך הקצה האנכי הוא:
     • | y₁ - y₂|
     • |1 - 5|
     • | -4 | = 4
   • לכן, אנו יכולים לומר שבמשולש הנכון הזה, צד a = 3 וצד b = 4.

4. 

   השתמש במשפט פיתגורס כדי לפתור את המשוואה להיפוטנוזה. המרחק בין שתי נקודות נתונות הוא ההיפוטנוזה של משולש עם שני צדדים ישרים כפי שקבענו זה עתה. השתמש במשפט הפיתגוראי הרגיל כדי למצוא את ההיפוטנוזה, תן לאורכו של הצד הראשון ו- b לאורכו של הצד השני.
   • בדוגמה עם נקודות (3,5) ו- (6,1), אורכי הזוויות הישרות הם 3 ו -4, לכן אנו מחשבים את אורך ההיפוטנוזה באופן הבא:

     • (3) ² + (4) ² = c²

       c = שורש ריבועי של (9 + 16)

       c = שורש ריבועי של (25)

       c = 5. המרחק בין שתי נקודות (3,5) ו- (6,1) הוא 5.

   פרסומת

עֵצָה

• ההיפוטנוזה היא תמיד:
  • חוצה זוויות ישרות (לא לחצות זוויות ישרות)
  • הוא הצד הארוך ביותר של המשולש הימני
  • מיוצג על ידי ג במשפט פיתגורס
• בדוק תמיד את התוצאות.
• מבחן נוסף - הצד הארוך ביותר יפנה לגדול ביותר והצד הקצר ביותר יפנה לקטן ביותר.
• במשולש ימני, אתה מכיר את הצד השלישי רק כאשר אתה יודע את אורכי שני הצדדים האחרים.
• אם המשולש אינו משולש נכון, יהיה עליכם לקבל מידע נוסף מעבר לאורכי הצד.
• כדי להקצות ערכים מדויקים ל- a, b ו- c עליכם לייצג את המשולש בצורה רישומית, במיוחד לבעיות לוגיות או מילים.
• אם יש לך רק מדידות חד צדדיות, אינך יכול להשתמש במשפט פיתגורס. במקום זאת השתמש בפונקציות טריגונומטריות (sin, cos, tan) או ביחס 30-60-90 / 45-45-90.