תוֹכֶן

• צעדים
• טיפים

הגרף של משוואה ריבועית של הצורה ax + bx + c או a (x - h) + k היא פרבולה (עקומה בצורת U). כדי לשרטט משוואה כזו, עליך למצוא את קודקוד הפרבולה, כיוונה ונקודות החיתוך שלה עם הצירים X ו- Y. אם ניתנת לך משוואה ריבועית פשוטה יחסית, תוכל להחליף ערכים שונים של "x" "לתוכו, מצא את הערכים המתאימים של" y "ובנה גרף ...

צעדים

1. 1 ניתן לכתוב את המשוואה הריבועית בצורה סטנדרטית ובצורה לא סטנדרטית. אתה יכול להשתמש בכל סוג של משוואה כדי לשרטט משוואה ריבועית (שיטת התכנון שונה במקצת). ככלל, בבעיות, משוואות ריבועיות ניתנות בצורה סטנדרטית, אך מאמר זה יספר לך על שני סוגי הכתיבה של משוואה ריבועית.
   • צורה סטנדרטית: f (x) = ax + bx + c, כאשר a, b, c הם מספרים אמיתיים ו- ≠ 0.
     • לדוגמה, שתי משוואות מהצורה הסטנדרטית: f (x) = x + 2x + 1 ו- f (x) = 9x + 10x -8.
   • צורה לא סטנדרטית: f (x) = a (x - h) + k, כאשר a, h, k הם מספרים אמיתיים ו- ≠ 0.
     • לדוגמה, שתי משוואות בצורה לא סטנדרטית: f (x) = 9 (x - 4) + 18 ו- -3 (x - 5) + 1.
   • כדי לשרטט משוואה ריבועית מכל סוג שהוא, תחילה עליך למצוא את קודקוד הפרבולה, שיש לה קואורדינטות (h, k). קואורדינטות קודקוד הפרבולה במשוואות הצורה הסטנדרטית מחושבות לפי הנוסחאות: h = -b / 2a ו- k = f (h); את קואורדינטות קודקוד הפרבולה במשוואות בצורה לא סטנדרטית ניתן להשיג ישירות מהמשוואות.
2. 2 כדי לשרטט את הגרף, עליך למצוא את הערכים המספריים של המקדמים a, b, c (או a, h, k). ברוב הבעיות ניתנות משוואות ריבועיות עם ערכים מספריים של המקדמים.
   • לדוגמה, במשוואה הסטנדרטית f (x) = 2x + 16x + 39 a = 2, b = 16, c = 39.
   • לדוגמה, במשוואה לא סטנדרטית f (x) = 4 (x - 5) + 12, a = 4, h = 5, k = 12.
3. 3 חשב את h במשוואה הסטנדרטית (באי הסטנדרטי זה כבר ניתן) באמצעות הנוסחה: h = -b / 2a.
   • בדוגמה המשוואה הסטנדרטית שלנו, f (x) = 2x + 16x + 39 h = -b / 2a = -16/2 (2) = -4.
   • בדוגמה שלנו למשוואה לא סטנדרטית, f (x) = 4 (x - 5) + 12 שעות = 5.
4. 4 חשב k במשוואה הסטנדרטית (באי-סטנדרטי זה כבר ניתן). זכור כי k = f (h), כלומר, תוכל למצוא k על ידי החלפת הערך המצוי של h במקום "x" למשוואה המקורית.
   • גילית ש- h = -4 (למשוואה הסטנדרטית). לחישוב k, החלף ערך זה עבור "x":
     • k = 2 (-4) + 16 (-4) + 39.
     • k = 2 (16) - 64 + 39.
     • k = 32 - 64 + 39 = 7
   • במשוואה לא סטנדרטית, k = 12.
5. 5 צייר קודקוד עם קואורדינטות (h, k) במישור הקואורדינטות. h משרטט לאורך ציר ה- X ו- k מתווים לאורך ציר ה- Y. החלק העליון של הפרבולה הוא הנקודה הנמוכה ביותר (אם הפרבולה מצביעה כלפי מעלה) או הנקודה הגבוהה ביותר (אם הפרבולה מצביעה כלפי מטה).
   • בדוגמה המשוואה הסטנדרטית שלנו, לקודקוד יש קואורדינטות (-4, 7). צייר נקודה זו במישור הקואורדינטות.
   • בדוגמה שלנו למשוואה מותאמת אישית, לקודקוד יש קואורדינטות (5, 12). צייר נקודה זו במישור הקואורדינטות.
6. 6 צייר את ציר הסימטריה של הפרבולה (אופציונלי). ציר הסימטריה עובר בקודקוד הפרבולה במקביל לציר ה- Y (כלומר אנכי למהדרין). ציר הסימטריה מחלק את הפרבולה לשניים (כלומר, הפרבולה היא סימטרית מראה סביב הציר הזה).
   • במשוואה הסטנדרטית שלנו, ציר הסימטריה הוא קו ישר המקביל לציר Y ועובר בנקודה (-4, 7). למרות שהקו הזה אינו חלק מהפרבולה עצמה, הוא נותן מושג לגבי הסימטריה של הפרבולה.
7. 7 קבעו את כיוון הפרבולה - למעלה או למטה. זה מאוד קל לביצוע.אם המקדם "א" הוא חיובי, אז הפרבולה מכוונת כלפי מעלה, ואם המקדם "א" הוא שלילי, אז הפרבולה מכוונת כלפי מטה.
   • בדוגמה שלנו של המשוואה הסטנדרטית, f (x) = 2x + 16x + 39, הפרבולה מצביעה כלפי מעלה, מאחר a = 2 (מקדם חיובי).
   • בדוגמה שלנו של משוואה לא סטנדרטית f (x) = 4 (x - 5) + 12, הפרבולה מכוונת גם כלפי מעלה, שכן a = 4 (מקדם חיובי).
8. 8 במידת הצורך, אתר ושרטט את יירוט x. נקודות אלו יעזרו לכם רבות בעת ציור פרבולה. יכולים להיות שניים, אחד או אף אחד (אם הפרבולה מכוונת כלפי מעלה והקודקוד שלה נמצא מעל ציר ה- X, או אם הפרבולה מכוונת כלפי מטה והקודקוד שלה נמצא מתחת לציר ה- X). לחישוב קואורדינטות נקודות החיתוך עם ציר ה- X, בצע את הפעולות הבאות:
   • הגדר את המשוואה לאפס: f (x) = 0 ופתור אותה. שיטה זו עובדת עם משוואות ריבועיות פשוטות (במיוחד לא סטנדרטיות), אך עלולה להיות קשה ביותר עבור משוואות מורכבות. בדוגמה שלנו:
     • f (x) = 4 (x - 12) - 4
     • 0 = 4 (x - 12) - 4
     • 4 = 4 (x - 12)
     • 1 = (x - 12)
     • √1 = (x - 12)
     • +/- 1 = x -12. לנקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה- X יש קואורדינטות (11,0) ו- (13,0).
   • פקטור המשוואה הריבועית בצורת תקן: ax + bx + c = (dx + e) ​​(fx + g), כאשר dx × fx = ax, (dx × g + fx × e) = bx, e × g = ג. לאחר מכן הגדר כל בינולי ל- 0 ומצא את הערכים עבור "x". לדוגמה:
     • x + 2x + 1
     • = (x + 1) (x + 1)
     • במקרה זה, קיימת נקודת חיתוך אחת של הפרבולה עם ציר ה- x עם הקואורדינטות (-1,0), כי ב- x + 1 = 0 x = -1.
   • אם אינך יכול להגדיר את המשוואה, פתר אותה באמצעות הנוסחה הריבועית: x = (-b +/- √ (b- 4ac)) / 2a.
     • לדוגמה: -5x + 1x + 10.
     • x = (-1 +/- √ (1-4 (-5) (10))) / 2 (-5)
     • x = (-1 +/- √ (1 + 200)) /- 10
     • x = (-1 +/- √ (201)) /- 10
     • x = (-1 +/- 14.18) /- 10
     • x = (13.18 / -10) ו- (-15.18 / -10). לנקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה- X יש קואורדינטות (-1,318,0) ו- (1,518,0).
     • בדוגמה שלנו, המשוואות של הצורה הסטנדרטית 2x + 16x + 39:
     • x = (-16 +/- √ (16- 4 (2) (39))) / 2 (2)
     • x = (-16 +/- √ (256- 312)) / 4
     • x = (-16 +/- √ (-56) /- 10
     • מכיוון שאי אפשר לחלץ את השורש הריבועי של מספר שלילי, במקרה זה הפרבולה אינה חוצה את ציר ה- X.
9. 9 אתר ושרטט את יירוט ה- y לפי הצורך. זה מאוד קל - חבר x = 0 למשוואה המקורית ומצא את הערך עבור "y". יירוט Y תמיד זהה. הערה: במשוואות הטופס הסטנדרטי, לנקודת החיתוך יש קואורדינטות (0, שניות).
   • לדוגמה, הפרבולה של המשוואה הריבועית 2x + 16x + 39 מצטלבת עם ציר ה- Y בנקודה עם קואורדינטות (0, 39), שכן c = 39. אך ניתן לחשב זאת:
     • f (x) = 2x + 16x + 39
     • f (x) = 2 (0) + 16 (0) + 39
     • f (x) = 39, כלומר, הפרבולה של משוואה ריבועית זו חוצה את ציר ה- Y בנקודה עם קואורדינטות (0, 39).
   • בדוגמה שלנו של משוואה לא סטנדרטית 4 (x-5) + 12, יירוט y מחושב כדלקמן:
     • f (x) = 4 (x - 5) + 12
     • f (x) = 4 (0 - 5) + 12
     • f (x) = 4 (-5) + 12
     • f (x) = 4 (25) + 12
     • f (x) = 112, כלומר, הפרבולה של משוואה ריבועית זו חוצה את ציר ה- Y בנקודה עם קואורדינטות (0, 112).
10. 10 מצאת (ושרטטת) את קודקוד הפרבולה, כיוונה ונקודות החיתוך עם ציר X ו- Y. אתה יכול לבנות פרבולות מנקודות אלו או למצוא ולשרטט נקודות נוספות ורק אז לבנות פרבולה. לשם כך, חבר מספר ערכי x (משני צדי הקודקוד) למשוואה המקורית כדי לחשב את ערכי y המתאימים.
    • נחזור למשוואה x + 2x + 1. אתה כבר יודע שנקודת החיתוך של הגרף של משוואה זו עם ציר ה- X היא הנקודה עם הקואורדינטות (-1,0). אם לפרבולה יש רק נקודת חיתוך אחת עם ציר ה- X, אז זהו קודקוד הפרבולה השוכבת על ציר ה- X. במקרה זה, נקודה אחת לא מספיקה לבניית פרבולה רגילה. אז מצא כמה נקודות נוספות.
      • נניח x = 0, x = 1, x = -2, x = -3.
      • x = 0: f (x) = (0) + 2 (0) + 1 = 1. קואורדינטות נקודה: (0,1).
      • x = 1: f (x) = (1) + 2 (1) + 1 = 4. קואורדינטות נקודה: (1,4).
      • x = -2: f (x) = (-2) + 2 (-2) + 1 = 1. קואורדינטות נקודה: (-2,1).
      • x = -3: f (x) = (-3) + 2 (-3) + 1 = 4. קואורדינטות נקודה: (-3,4).
      • צייר נקודות אלה במישור הקואורדינטות וצייר פרבולה (חבר את הנקודות בעזרת עקומת U). שימו לב שהפרבולה סימטרית לחלוטין - ניתן לשקף כל נקודה על ענף אחד של הפרבולה (ביחס לציר הסימטריה) בענף השני של הפרבולה. זה יחסוך לך זמן, מכיוון שאינך צריך לחשב את קואורדינטות הנקודות בשני ענפי הפרבולה.

טיפים

• לעגל מספרים שברים (אם זו דרישת מורה) - כך בונים פרבולה נכונה.
• אם ב- f (x) = ax + bx + c המקדמים b או c שווים לאפס, אז אין מונחים עם מקדמים אלה במשוואה.לדוגמה, 12x + 0x + 6 הופך ל 12x + 6 מכיוון ש 0x הוא 0.