תוֹכֶן

• צעדים
• חלק 1 מתוך 3: הבנת ריבועי מספרים ושורשים מרובעים
• חלק 2 מתוך 3: שימוש באלגוריתם החטיבה הארוכה
• חלק 3 מתוך 3: ספירת ריבועים לא שלמים במהירות
• טיפים

למרות שהמבט המאיים של סמל השורש הריבועי יכול לגרום למישהו שאינו טוב במתמטיקה להתכווץ, בעיות השורש הריבועי אינן קשות כפי שהן נראו בתחילה. לרוב ניתן לפתור בעיות פשוטות של שורש ריבועי באותה קלות כמו בעיות נפוצות של כפל או חלוקה. מצד שני, משימות מורכבות יותר עשויות לדרוש מאמץ מסוים, אך עם הגישה הנכונה, אפילו הן לא יהיו קשות עבורך. התחל לפתור שורשים עוד היום כדי ללמוד את מיומנות המתמטיקה החדשה הזו!

צעדים

חלק 1 מתוך 3: הבנת ריבועי מספרים ושורשים מרובעים

1. 1 מרובע את המספר על ידי הכפלתו בעצמו. כדי להבין שורשים מרובעים, כדאי להתחיל בריבוע המספרים. ריבוע מספרים הוא די פשוט: ריבוע מספר פירושו להכפיל אותו בעצמו. לדוגמה, 3 בריבוע זהה ל 3 × 3 = 9, ו- 9 בריבוע זהה ל 9 × 9 = 81. ריבועים מסומנים על ידי כתיבת המספר הקטן "2" מימין מעל המספר המרובע. דוגמה: 3, 9, 100 וכן הלאה.
   • נסה לרבוע עוד מספרים בעצמך כדי לנסות את הרעיון הזה. זכור, ריבוע מספר פירושו שיש להכפיל את המספר בעצמו. ניתן לעשות זאת אפילו במספרים שליליים. במקרה זה, התוצאה תמיד תהיה חיובית. לדוגמה: -8 = -8 × -8 = 64.
2. 2 כשמדובר בשורשים מרובעים, התהליך מתהפך לריבוע. סמל השורש (√, המכונה גם הרדיקל) פירושו בעצם ההיפך של הסמל. כשאתה רואה רדיקל, אתה צריך לשאול את עצמך: "איזה מספר יכול להכפיל את עצמו בכדי לקבל את המספר מתחת לשורש?" לדוגמה, אם אתה רואה את √ (9), עליך למצוא מספר שכאשר הוא בריבוע יתן את המספר תשע. במקרה שלנו המספר הזה יהיה שלושה, כי 3 = 9.
   • שקול דוגמא נוספת ומצא את השורש של 25 (√ (25)). המשמעות היא שעלינו למצוא מספר שיתן לנו 25 בריבוע. מכיוון ש 5 = 5 × 5 = 25, אנו יכולים לומר ש √ (25) = 5.
   • אתה יכול גם לחשוב על זה כ"ביטול "הריבוע. לדוגמה, אם עלינו למצוא √ (64), השורש הריבועי של 64, אז בואו נחשוב על המספר הזה כ- 8. מכיוון שסמל השורש "מבטל" את הריבוע, נוכל לומר ש √ (64) = √ (8 ) = 8.
3. 3 דע את ההבדל בין ריבוע מושלם לא מושלם. עד כה, התשובות לבעיות שלנו עם השורש היו מספרים טובים ועגולים, אבל זה לא תמיד כך. התשובות לבעיות שורש ריבועי יכולות להיות מספרים עשרוניים ארוכים מאוד ומביכים. מספרים שהשורש שלהם הוא מספרים שלמים (במילים אחרות, מספרים שאינם שברים) נקראים ריבועים מושלמים. כל הדוגמאות לעיל (9, 25 ו -64) הן ריבועים מושלמים מכיוון שהשורש שלהם יהיה מספר שלם (3.5 ו -8).
   • מצד שני, מספרים שכאשר הם נלקחים לשורש, אינם נותנים מספר שלם, נקראים ריבועים לא שלמים. אם אתה שם אחד מהמספרים האלה מתחת לשורש, אתה מקבל מספר עם שבר עשרוני. לפעמים המספר הזה יכול להיות ארוך למדי. לדוגמה, √ (13) = 3.605551275464 ...
4. 4 שינן את 1-12 הריבועים הראשונים. כפי שבטח כבר שמתם לב, למצוא את שורש הריבוע המלא הוא די קל! מכיוון שמשימות אלה כל כך קלות, כדאי לזכור את שורשי התריסר הריבועים הראשונים. תתקלו במספרים אלה יותר מפעם אחת, אז קחו מעט זמן לשנן אותם מוקדם ולחסוך זמן בעתיד.
   • 1 = 1 × 1 = 1
   • 2 = 2 × 2 = 4
   • 3 = 3 × 3 = 9
   • 4 = 4 × 4 = 16
   • 5 = 5 × 5 = 25
   • 6 = 6 × 6 = 36
   • 7 = 7 × 7 = 49
   • 8 = 8 × 8 = 64
   • 9 = 9 × 9 = 81
   • 10 = 10 × 10 = 100
   • 11 = 11 × 11 = 121
   • 12 = 12 × 12 = 144
5. 5 פשט את השורשים על ידי הסרת ריבועים מלאים ממנו במידת האפשר. לפעמים מציאת השורש של ריבוע לא שלם יכולה להיות מסובכת, במיוחד אם אינך משתמש במחשבון (עיין בחלק להלן למספר טריקים להקלת התהליך). עם זאת, לעתים קרובות תוכל לפשט את המספר מתחת לשורש כדי להקל על העבודה איתו. לשם כך, אתה רק צריך לפרק את המספר מתחת לשורש, ואז למצוא את שורש הגורם, שהוא ריבוע מושלם, ולכתוב אותו מחוץ לשורש. זה יותר קל ממה שזה נשמע.המשך לקרוא למידע נוסף.
   • נניח שעלינו למצוא את השורש הריבועי של 900. במבט ראשון, זו נראית משימה די מרתיעה! עם זאת, זה לא יהיה כל כך קשה אם נחלק את המספר 900 בגורמים. מכפילים הם מספרים שמוכפלים זה בזה בכדי לתת מספר חדש. לדוגמה, ניתן להשיג את המספר 6 על ידי הכפלת 1 × 6 ו -2 × 3, הגורמים שלו יהיו המספרים 1, 2, 3 ו -6.
   • במקום לחפש את השורש של 900, שהוא קצת מסובך, בואו נכתוב 900 כ- 9 × 100. כעת, כאשר 9, שהוא ריבוע מושלם, מופרד מ -100, נוכל למצוא את השורש שלו. √ (9 × 100) = √ (9) × √ (100) = 3 × √ (100). במילים אחרות, √ (900) = 3√ (100).
   • אנו יכולים אפילו ללכת רחוק יותר על ידי חלוקת 100 בשני גורמים, 25 ו -4. √ (100) = √ (25 × 4) = √ (25) × √ (4) = 5 × 2 = 10. אז נוכל לומר, כי √ (900) = 3 (10) = 30
6. 6 השתמש במספרים דמיוניים כדי למצוא את שורש המספר השלילי. שאל את עצמך, איזה מספר כשהוא מוכפל בעצמו ייתן -16? זה לא 4 או -4, שכן ריבוע המספרים האלה ייתן לנו מספר חיובי 16. לוותר? למעשה, אין דרך לכתוב את השורש -16 או כל מספר שלילי אחר במספרים רגילים. במקרה זה, עלינו להחליף מספרים דמיוניים (בדרך כלל בצורת אותיות או סמלים) כך שיופיעו במקום השורש של מספר שלילי. לדוגמה, המשתנה "i" משמש בדרך כלל לשורש -1. בדרך כלל, שורש המספר השלילי תמיד יהיה המספר הדמיוני (או כלול בו).
   • שים לב שלמרות שלא ניתן לייצג מספרים דמיוניים במספרים רגילים, עדיין ניתן להתייחס אליהם ככאלה. לדוגמה, ניתן לרבוע את השורש הריבועי של מספר שלילי כדי לתת מספרים שליליים אלה, כמו כל אחד אחר, את השורש הריבועי. לדוגמה, i = -1

חלק 2 מתוך 3: שימוש באלגוריתם החטיבה הארוכה

1. 1 רשום את הבעיה עם השורש כבעיית חלוקה ארוכה. למרות שזה יכול להיות די זמן רב, כך תוכל לפתור את בעיית השורש הריבועי הלא שלם מבלי להיעזר במחשבון. לשם כך נשתמש בשיטת פתרון (או אלגוריתם) הדומה (אך לא בדיוק זהה) לחלוקה ארוכה רגילה.
   • ראשית, רשום את הבעיה עם השורש באותה צורה כמו לחלוקה ארוכה. נניח שאנחנו רוצים למצוא את השורש הריבועי של 6.45, שהוא לא בדיוק ריבוע מושלם. ראשית, נכתוב את סמל הריבוע הרגיל, ולאחר מכן נכתוב מספר מתחתיו. לאחר מכן, נצייר קו מעל המספר כך שיופיע ב"קופסה "קטנה, ממש כמו בחלוקה ארוכה. אחרי זה יש לנו שורש עם זנב ארוך ומתחתיו מספר 6.45.
   • נכתוב מספרים מעל השורש, לכן הקפד להשאיר קצת מקום שם.
2. 2 מקבצים את המספרים בזוגות. על מנת להתחיל לפתור את הבעיה, עליך לקבץ את הספרות של המספר מתחת לרדיקל בזוגות, החל בנקודה עשרונית. אם תרצה, תוכל לעשות סימנים קטנים (כמו נקודות, קווים אלכסוניים, פסיקים וכו ') בין זוגות כדי למנוע בלבול.
   • בדוגמה שלנו, עלינו לשייך את המספר 6.45 כדלקמן: 6-, 45-00. שים לב שיש ספרה "שנותרה" בצד שמאל - זה נורמלי.
3. 3 מצא את המספר הגדול ביותר שהריבוע שלו קטן או שווה ל"קבוצה "הראשונה. התחל עם המספר הראשון או זוג בצד שמאל. בחר את המספר הגדול ביותר שהריבוע שלו קטן או שווה ל"קבוצה "הנותרת. לדוגמה, אם הקבוצה הייתה 37, היית בוחר את המספר 6 כי 6 = 36 37 ו 7 = 49> 37. כתוב את המספר הזה מעל הקבוצה הראשונה. זה יהיה המספר הראשון בתשובתך.
   • בדוגמה שלנו, הקבוצה הראשונה בשעה 6-, 45-00 תהיה המספר 6. המספר הגדול ביותר שהוא פחות או שווה ל 6 בריבוע הוא 2 = 4. כתוב את המספר 2 מעל המספר 6 מתחת לשורש. .
4. 4 הכפל את המספר שכתבת, ולאחר מכן השורש אותו וחסר אותו. קח את הספרה הראשונה של התשובה שלך (המספר שזה עתה מצאת) והכפיל אותה. כתוב את התוצאה מתחת לקבוצה הראשונה שלך וחסר כדי למצוא את ההבדל. שחרר את מספר המספרים הבא ליד התשובה. לבסוף, כתוב משמאל את הספרה הכפולה האחרונה של הספרה הראשונה בתשובתך, והשאיר רווח לידה.
   • בדוגמה שלנו נתחיל בהכפלת המספר 2, שהוא המספר הראשון בתשובתנו. 2 × 2 = 4.לאחר מכן נחסיר 4 מ -6 (ה"קבוצה "הראשונה) שלנו, נקבל 2. ואז נשמיט את הקבוצה הבאה (45) כדי לקבל 245. ולבסוף, משמאל, נכתוב את המספר 4 שוב, ונותר רווח קטן ב הסוף, הנה כך: 4_
5. 5 אנא מלא את החסר. לאחר מכן עליך להוסיף ספרה בצד ימין של המספר המוקלט, הנמצא בצד שמאל. בחר ספרה, והכפל אותה עם המספר החדש שלך, תקבל את התוצאה הגדולה ביותר האפשרית, אך תהיה פחות או שווה למספר "שהושמט". לדוגמה, אם המספר ה"השמט "שלך הוא 1700, והמספר שלך משמאל הוא 40_, עליך לכתוב את המספר 4 ברווח, מכיוון ש 404 × 4 = 1616 1700, בעוד 405 × 5 = 2025. הספרה שנמצאה בשלב זה ותהיה הספרה השנייה של התשובה שלך, כך שתוכל לכתוב אותה מעל סימן השורש.
   • בדוגמה שלנו, עלינו למצוא מספר ולכתוב אותו ברווחים 4_ × _, מה שיהפוך את התשובה לגדולה ככל האפשר, אך עדיין פחות או שווה ל 245. במקרה שלנו, הוא 5. 45 × 5 = 225, בעוד 46 × 6 = 276
6. 6 המשך להשתמש במספרים ריקים כדי למצוא את התשובה. המשך לפתור את החלוקה הארוכה שהשתנתה עד שתתחיל לקבל אפסים כאשר תחסיר את המספר "שהושמט", או עד שתקבל את רמת הדיוק שאתה רוצה. כשתסיים, המספרים שבהם מילאת את החסר בכל שלב (בתוספת המספר הראשון) יהוו את המספר בתשובתך.
   • בהמשך הדוגמה שלנו, אנו מפחיתים 225 מ- 245 כדי לקבל 20. לאחר מכן, אנו מפילים את צמד המספרים הבא, 00, כדי לקבל 2000. הכפלת המספר מעל סימן השורש. נקבל 25 × 2 = 50. אם נפתור את הדוגמה ברווחים, 50_ × _ = / 2,000, נקבל 3. בשלב זה נכתוב 253 מעל הרדיקל, וחוזרים על התהליך הזה שוב, המספר הבא שלנו יהיה 9 .
7. 7 הזז את הנקודה העשרונית קדימה ממספר הדיבידנד המקורי. כדי להשלים את התשובה, עליך לשים את הנקודה העשרונית במקום הנכון. למרבה המזל, זה די קל לביצוע. כל שעליך לעשות הוא ליישר אותו עם נקודת המספר המקורית. לדוגמה, אם המספר 49.8 נמצא מתחת לשורש, יהיה עליך לשים נקודה מלאה בין שני המספרים מעל התשע לשמונה.
   • בדוגמה שלנו, יש 6.45 מתחת לרדיקל, אז אנחנו פשוט מעבירים את התקופה ומכניסים אותה בין המספרים 2 ו -5 בתשובה שלנו, ומקבלים את התשובה שווה ל -2.539.

חלק 3 מתוך 3: ספירת ריבועים לא שלמים במהירות

1. 1 מצא ריבועים לא שלמים על ידי ספירתם. ברגע שאתה משנן ריבועים שלמים, מציאת שורש הריבועים הלא שלמים הופכת להרבה יותר קלה. מכיוון שאתה כבר יודע תריסר ריבועים מושלמים, ניתן למצוא כל מספר שנופל באזור בין שני הריבועים השלמים על ידי צמצום הכל לספירה גסה בין הערכים הללו. התחל במציאת שני ריבועים שלמים עם המספר שלך ביניהם. לאחר מכן קבע לאיזה מהמספרים האלה המספר שלך קרוב יותר.
   • לדוגמה, נניח שעלינו למצוא את השורש הריבועי של 40. מכיוון ששיננו ריבועים מושלמים, אנו יכולים לומר ש -40 הוא בין 6 ל -7, או 36 ו- 49. מכיוון ש -40 גדול מ -6, השורש שלו יהיה גדול מ -6. , ומכיוון שהוא פחות מ -7, השורש שלו יהיה גם פחות מ -7. 40 קרוב מעט יותר ל -36 מאשר ל -49, כך שהתשובה צפויה להיות מעט יותר קרובה ל -6. בשלבים הבאים, נצמצם את תשובה.
2. 2 ספור את השורש הריבועי למקום העשרוני הראשון. לאחר שבחרת שני ריבועים שלמים שביניהם המספר שלך, הכל מסתכם בספירה שלך עד שתקבל את התשובה שאתה רוצה. ככל שתספור יותר התשובה תהיה מדויקת יותר. התחל בלבחור היכן למקם את הנקודה העשרונית בתשובתך. זה לא חייב להיות נכון, אבל זה יחסוך לך זמן אם תשתמש בהיגיון ותשים סוף קרוב ככל האפשר לתשובה הנכונה.
   • בדוגמה שלנו, אומדן סביר של השורש הריבועי של 40 עשוי להיות 6.4, שכן מהמידע הנ"ל אנו יודעים שהתשובה קרובה ל -6 מאשר ל -7.
3. 3 הכפל את המספר המשוער בעצמו. הדבר הבא שעליך לעשות הוא לרבוע את המספר המשוער. סביר להניח שיהיה לך מזל ולא תקבל את המספר המקורי. הוא יהיה מעט גדול יותר או מעט קטן יותר.אם התוצאה שלך גבוהה מדי, נסה שוב, אך עם אומדן מעט נמוך יותר (ולהיפך אם התוצאה נמוכה מדי).
   • כפל 6.4 בעצמו, ותקבל 6.4 x 6.4 = 40.96, שזה מעט יותר מהמספר המקורי.
   • מכיוון שהתברר שהתשובה שלנו גדולה יותר, עלינו להכפיל את המספר בעשירית פחות בממוצע ולקבל את הדברים הבאים: 6.3 × 6.3 = 39.69. זה מעט פחות מהמספר המקורי. המשמעות היא שהשורש הריבועי של 40 הוא בין 6.3 ל- 6.4. שוב, מכיוון ש- 39.69 קרוב ל -40 מ -40.96, אנו יודעים כי השורש הריבועי יהיה קרוב ל -6.3 מ -6.4.
4. 4 המשך לחשב. בשלב זה, אם אתה מרוצה מהתשובה שלך, אתה יכול פשוט לקחת את הניחוש הראשון שאתה מנחש. עם זאת, אם אתה רוצה תשובה מדויקת יותר, כל שעליך לעשות הוא לבחור ערך משוער עם שני מקומות עשרוניים המציב את הערך המשוער הזה בין שני המספרים הראשונים. אם תמשיך בספירה זו, תוכל לקבל שלושה, ארבעה מקומות עשרוניים או יותר עבור התשובה שלך. הכל תלוי כמה רחוק אתה רוצה ללכת.
   • בדוגמה שלנו, בואו לבחור 6.33 כערך משוער עם שני מקומות עשרוניים. הכפל 6.33 בעצמו כדי לקבל 6.33 × 6.33 = 40.0689. מכיוון שזה מעט גדול יותר מהמספר שלנו, ניקח מספר קטן יותר, למשל 6.32. 6.32 × 6.32 = 39.9424. תשובה זו מעט פחות מהמספר שלנו, כך שאנו יודעים כי השורש הריבועי המדויק הוא בין 6.32 ל- 6.33. אם היינו רוצים להמשיך, היינו ממשיכים להשתמש באותה גישה כדי לקבל תשובה שהולכת ונעשית מדויקת יותר.

טיפים

• כדי למצוא פתרון במהירות, השתמש במחשבון. רוב המחשבונים המודרניים יכולים למצוא את השורש הריבועי של מספר באופן מיידי. כל שעליך לעשות הוא להזין את המספר שלך ולאחר מכן ללחוץ על כפתור השורש. לדוגמה, כדי למצוא את השורש 841, יהיה עליך ללחוץ על 8, 4, 1 ו- (√). כתוצאה מכך, תקבל תשובה של 39.