תוֹכֶן

• צעדים
• טיפים

לפונקציה הרציונלית יש את הצורה y = N (x) / D (x), כאשר N ו- D הם פולינומים. כדי לשרטט פונקציה כזו במדויק, אתה צריך ידע טוב באלגברה, כולל חישובים דיפרנציאליים. שקול את הדוגמה הבאה: y = (2איקס - 6איקס + 5)/(4איקס + 2).

צעדים

1. 1 מצא את יירוט ה- y של הגרף. לשם כך, החלף x = 0 לפונקציה וקבל y = 5/2. לפיכך, לנקודת החיתוך של הגרף עם ציר Y יש קואורדינטות (0, 5/2).מקם נקודה זו במישור הקואורדינטות.
2. 2 מצא את האסימפטוטות האופקיות. חלק את המונה על ידי המכנה (בעמודה) כדי לקבוע את אופן הפעולה של "y" עם ערכים של "x" הנוטים לאינסוף. בדוגמה שלנו, החלוקה תהיה y = (1/2)איקס - (7/4) + 17/(8איקס + 4). לערכים חיוביים או שליליים גדולים של "x" 17 / (8איקס + 4) נוטה לאפס, והגרף מתקרב לקו הישר שניתן על ידי הפונקציה y = (1/2)איקס - (7/4). בעזרת הקו המנוקד, עלילו פונקציה זו.
   • אם מידת המונה קטנה ממידת המכנה, לא ניתן לחלק את המונה במכנה והאסימפטוטה תתואר על ידי הפונקציה בְּ- = 0.
   • אם מידת המונה שווה לדרגת המכנה, אזי הסימפטוטה היא קו אופקי השווה ליחס של המקדמים ב- "x" בדרגה הגבוהה ביותר.
   • אם מידת המונה גדולה מ -1 ממדר המכנה, אסימפטוטה היא קו ישר נוטה, שיפועו שווה ליחס המקדמים ב "x" לרמה הגבוהה ביותר.
   • אם מידת המונה גדולה ממידת המכנה ב -2, 3 וכו ', אז לערכים גדולים |NS| מַשְׁמָעוּת בְּ- נוטים לאינסוף (חיובי או שלילי) בצורה של ריבוע, קוביות או דרגה אחרת של פולינום. במקרה זה, סביר להניח, אין צורך לבנות גרף מדויק של הפונקציה המתקבלת על ידי חלוקת המונה במכנה.
3. 3 מצא את אפסי הפונקציה. לפונקציה רציונלית יש אפסים כאשר המונה שלה הוא אפס, כלומר N (NS) = 0. בדוגמה שלנו, 2איקס - 6איקס + 5 = 0. המבדיל של משוואה ריבועית זו: ב - 4ac = 6 - 4 * 2 * 5 = 36 - 40 = -4. מכיוון שהאפליה היא שלילית, אז N (NS), ומכאן ש F (NS) אין לו שורשים של ממש. הגרף של פונקציה רציונלית אינו חוצה את ציר ה- X. אם לפונקציה יש אפסים (שורשים), אז שים אותם על המישור הקואורדינטות.
4. 4 מצא את האסימפטוטות האנכיות. לשם כך, הגדר את המכנה לאפס. בדוגמה שלנו, 4איקס + 2 = 0 ו NS = -1/2. משרטט את האסימפטוטה האנכית באמצעות הקו המקווקו. אם בשביל ערך כלשהו NS N (NS) = 0 ו- D (NS) = 0, אז האסימפטוטה האנכית קיימת או שאינה קיימת (זהו מקרה נדיר, אך עדיף לזכור אותו).
5. 5 תסתכל על שאר המונה מחולק על המכנה. האם זה חיובי, שלילי או אפס? בדוגמה שלנו, השאר הוא 17, וזה חיובי. מכנה 4איקס + 2 חיובי מימין לאסימפטוטה האנכית ושלילי משמאלו. המשמעות היא שהגרף של הפונקציה הרציונלית לערכים חיוביים גדולים NS ניגש לאסימפטוטה מלמעלה, ולערכים שליליים גדולים NS - מלמטה. מאז 17 / (8איקס + 4) לעולם אינו שווה לאפס, אז הגרף של פונקציה זו לעולם לא יחתוך את הקו הישר שצוין על ידי הפונקציה בְּ- = (1/2)NS - (7/4).
6. 6 מצא אקסטרמה מקומית. קיים קיצון מקומי עבור N '(איקס) D (איקס) - N (איקס) D '(איקס) = 0. בדוגמה שלנו, N '(איקס) = 4איקס - 6 ו- D '(איקס) = 4. N '(איקס) D (איקס) - N (איקס) D '(איקס) = (4איקס - 6)(4איקס + 2) - (2איקס - 6איקס + 5)*4 = איקס + איקס - 4 = 0. פתרון משוואה זו, אתה מוצא זאת איקס = 3/2 ו איקס = -5/2. (אלה אינם ערכים מדויקים לחלוטין, אך הם מתאימים לענייננו כאשר אין צורך בדייקנות -על).
7. 7 מצא את הערך בְּ- לכל קיצון מקומי. לשם כך, החלף את הערכים NS לתוך הפונקציה הרציונלית המקורית. בדוגמה שלנו, f (3/2) = 1/16 ו- f (-5/2) = -65/16. שים בצד נקודות (3/2, 1/16) ו- (-5/2, -65/16) במישור הקואורדינטות. מכיוון שהחישובים מבוססים על ערכים משוערים (מהשלב הקודם), המינימום והמקסימום שנמצא הם גם לא לגמרי מדויקים (אבל כנראה קרובים מאוד לערכים המדויקים). (הנקודה (3/2, 1/16) קרובה מאוד למינימום המקומי. החל משלב 3, אנו יודעים זאת בְּ- תמיד חיובי עבור NS> -1/2, ומצאנו ערך קטן (1/16); לפיכך, ערך השגיאה הוא קטן ביותר במקרה זה.)
8. 8 חבר את הנקודות הממתינות והרחיב בצורה חלקה את הגרף לאסימפטוטים (אל תשכח מהכיוון הנכון של הגרף המתקרב לאסימפטוטות). זכור כי הגרף אסור לחצות את ציר ה- X (ראה שלב 3). הגרף גם אינו מצטלב עם האסימפטוטות האופקיות והאנכיות (ראה שלב 5). אין לשנות את כיוון התרשים למעט בנקודות הקיצון שנמצאו בשלב הקודם.

טיפים

• אם פעלת בדיוק לפי הצעדים שלעיל, אין צורך לחשב את הנגזרות השניות (או כמויות מורכבות דומות) כדי לבדוק את הפתרון שלך.
• אם אינך צריך לחשב את ערכי הכמויות, תוכל להחליף מציאת אקסטרה מקומית על ידי חישוב כמה זוגות קואורדינטות נוספים (NS, בְּ-) בין כל זוג אסימפטוטים. יתר על כן, אם לא אכפת לך כיצד פועלת השיטה המתוארת, אל תתפלא מדוע אינך יכול למצוא את הנגזרת ולפתור את המשוואה N '(איקס) D (איקס) - N (איקס) D '(איקס) = 0.
• במקרים מסוימים, תצטרך לעבוד עם פולינומים מסדר גבוה יותר. אם אינך יכול למצוא את הפתרון המדויק באמצעות פקטורליזציה, נוסחאות וכו ', הערך פתרונות אפשריים בשיטות מספריות כגון שיטת ניוטון.
• במקרים נדירים, המונה והמכנה חולקים גורם משתנה משותף. על פי השלבים המתוארים, הדבר יוביל לאפס ולאסימפטוטה אנכית באותו מקום. עם זאת, הדבר אינו אפשרי, וההסבר הוא אחד מהבאים:
  • אפס ב- N (NS) בעל ריבוי גבוה יותר מאפס ב- D (NS). תרשים F (NS) נוטה לאפס בשלב זה, אך אינו מוגדר שם. ציין זאת על ידי ציור מעגל סביב הנקודה.
  • אפס ב- N (NS) ואפס ב- D (NS) בעלי אותו ריבוי. הגרף מתקרב לנקודה שאינה אפסית בערך זה NSאך לא מוגדר בו. ציין זאת על ידי ציור מעגל סביב הנקודה.
  • אפס ב- N (NS) בעל ריבוי נמוך מאפס ב- D (NS). יש כאן אסימפטוטה אנכית.