מצא את ההפך של מטריצת 3x3 - טיפים

וִידֵאוֹ: 92 - דרגה של מטריצה: הגדרה ומשפט

תוֹכֶן

צעדים
עֵצָה
אַזהָרָה

היפוך משמש לעתים קרובות בחשבון כדי לפשט בעיות בעייתיות בדרכים אחרות. לדוגמא, קל יותר להכפיל עם הפוך של שבר מאשר לחלק אותו ישירות למספר זה. זה ההפוך. כמו כן, מכיוון שאין סימני שבר למטריצה, יהיה עליכם להכפיל את המטריצה ההפוכה שלה. חישוב המטריצה ההפוכה של מטריצה 3x3 יכול להיות מייגע מאוד, אך זו בעיה שכדאי לשקול. אתה יכול גם להשתמש במחשבון גרפים מתקדם לשם כך.

צעדים

שיטה 1 מתוך 3: צור מטריצה נוספת כדי למצוא את המטריצה ההפוכה

בדוק את הקובע של המטריצה. הצעד הראשון: למצוא את הקובע של המטריצה. אם הקובע הוא 0, זה נעשה: מטריצה זו אינה הפיכה. ניתן לסמן את הקובע של מטריצה M זה (M).
- כדי למצוא את ההופכי של מטריצה 3x3, תחילה עליך לחשב את הקובע שלה.
- לסקירה כיצד למצוא את הקובע של מטריצה, עיין במאמר מציאת קביעת מטריקס 3x3.
טרנספוזיציה של מטריצה מקורית. טרנספוזיציה פירושה משקף את המטריצה על פני האלכסון הראשי, או במילים אחרות, החלפת האלמנט (i, j) ואלמנט (j, i). כאשר משנים אלמנטים של מטריצה, האלכסון הראשי (העובר מהפינה השמאלית העליונה לפינה הימנית התחתונה) נשאר קבוע.
- דרך נוספת להבין טרנספוזיציה היא שתכתוב מחדש את המטריצה כך שהשורה הראשונה תהפוך לעמודה הראשונה, השורה האמצעית תהיה העמודה האמצעית והשורה השלישית תהיה העמודה השלישית. שימו לב לאלמנטים הצבעוניים באיור לעיל והבחינו במיקום המספרים החדש.
מצא את הקובע של כל מטריקס משנה 2x2. כל האלמנטים של מטריצת העקירה החדשה 3x3 מקושרים למטריצת 2x2 "תת" מקבילה. כדי למצוא את מטריצת המשנה של כל אלמנט, ראשית הדגש את השורה והעמודה של האלמנט הראשון. כל 5 האלמנטים יודגשו. ארבעת האלמנטים הנותרים יוצרים את תת המטריצה.
- בדוגמה שלעיל, אם ברצונך למצוא מטריצת משנה של האלמנט בשורה השנייה, העמודה הראשונה, תסמן חמש חלקי מילה בשורה השנייה ובעמודה הראשונה. ארבעת האלמנטים הנותרים הם תת המטריצה המתאימה.
- מצא את הקובע של כל תת מטריצה על ידי הכפלת באלכסון והחסרת שני מוצרים זה מזה, כפי שמוצג באיור לעיל.
- קרא עוד כדי ללמוד עוד על תת-מטריצות ועל השימושים בהן.
הכינו מטריצה של קטעי משנה אלגבריים. מקם את התוצאה שהתקבלה מהשלב הקודם למטריצה חדשה המורכבת מקטעי משנה אלגבריים על ידי הצבת כל קובעת משנה של מטריצה במיקום המתאים במטריצה המקורית. לפיכך, הקובע המחושב מהיסוד (1,1) של המטריצה המקורית ימוקם במיקום (1,1). לאחר מכן, יהיה עליך לשנות את סימן החלפה של מטריצה חדשה זו בהתאם לטבלת ההתייחסות המוצגת באיור לעיל.
- בעת קביעת הסימן, נשמר סימן המולקולה הראשונה של המוליך. סימן האלמנט השני הפוך. נשמר שלט היסוד השלישי. המשך ככה להמשך המטריצה. שים לב שהסימן (+) או (-) בתרשים ההתייחסות אינם מציינים שעד הסוף, האלמנט יישא סימן חיובי או שלילי. הם רק מראים שהאלמנטים יישמרו שלמים (+) או ישתנו עם (-).
- עיין ביסודות המטריצה לקבלת מידע נוסף על נספחים אלגבריים.
- התוצאה הסופית שנקבל בשלב זה היא המטריצה המשלימה של המטריצה המקורית. לפעמים זה נקרא גם מטריצה מצומדת והוא מסומן Adj (M).
חלק את כל האלמנטים של מטריצת המשלים לפי הקובע. השתמש בקובע המטריקס M שחישבת בשלב הראשון (כדי לבדוק אם המטריצה הפיכה). כעת חלק את כל אלמנט המטריצה בערך זה. מכניסים את המנה של כל חלוקה למיקום האלמנט המקורי, ואנחנו מקבלים את המטריצה ההפוכה של המטריצה המקורית.
- המטריצה לדוגמא המוצגת באיור היא הקובעת 1. לכן, כאשר אנו מחלקים כל אלמנט של המטריצה המשלימה עם הקובע, אנו מקבלים את עצמה (לא תמיד יהיה לכם מזל כל כך). .
- במקום לחלק, תיעוד כלשהו מדגים שלב זה כמכפיל כל אלמנט M ב- 1 / det (M). מתמטית, הם שווים.
פרסומת

שיטה 2 מתוך 3: הקטין את השורה הליניארית כדי למצוא את המטריצה ההפוכה

הוסף את מטריצת היחידות למטריצה המקורית. כתוב את מטריצת הבסיס M, צייר קו אנכי מימין למטריצה ההיא, ואז כתוב את מטריצת היחידה מימין לשורה זו. בשלב זה, יש לנו מטריצה עם שלוש שורות ושישה עמודות.
- זכרו כי מטריצת הזהות היא מטריצה מיוחדת עם כל האלמנטים באלכסון הראשי, העוברת מהפינה השמאלית העליונה ועד לפינה הימנית התחתונה, שווה ל- 1 וכל האלמנטים במיקומים הנותרים שווים לאפס.
בצע הפחתת שורה ליניארית. המטרה כאן היא ליצור את מטריצת היחידות בחלק השמאלי של המטריצה שהורחבה לאחרונה. בעת ביצוע שלבי הפחתת השורה בצד שמאל, עליך לבצע את החלק המתאים בצד ימין - החלק שהוא מטריצת היחידה שלך.
- זכרו כי צמצום השורה מתבצע כשילוב של כפל סקלרי וחיבור שורות או חיסור, על מנת לבודד אלמנטים בודדים של המטריצה.
המשך עד שנוצרת מטריצת היחידה. המשך בהפחתה הליניארית עד שמטריצת הזהות מופיעה (אלמנטים באלכסון שווים ל- 1, אלמנטים אחרים שווים ל- 0) בחלק השמאלי של המטריצה המורחבת. ברגע שמגיעים לשלב זה, החלק הימני של המחלק האנכי הוא המטריצה ההפוכה של המטריצה המקורית.
שכתב את המטריצה ההפוכה. שכפל את האלמנטים הנמצאים כעת בחלק הימני של המחלק האנכי וזה המטריצה ההפוכה שלך. פרסומת

שיטה 3 מתוך 3: מצא את המטריצה ההפוכה באמצעות מחשבון כיס

בחר מחשבון שיכול לפתור מטריצות. מחשבון פשוט בעל ארבע פונקציות לא יוכל למצוא את המטריצה ההפוכה ישירות עבורך. עם זאת, בגלל חזרה מתמטית, מחשבון גרפים מתקדם, כגון Texas Instruments TI-83 או TI-86, יכול להפחית במידה ניכרת את עבודתך.
הזן את המטריצה למחשבון. ראשית, היכנס לפונקציה מטריקס של המחשבון שלך על ידי לחיצה על מקש מטריקס, אם הוא זמין במכשיר שלך. עם מכונת טקסס אינסטרומנטס, תצטרך ללחוץ על 2 מטריקס.
בחר בתפריט המשנה עריכה. כדי לגשת לתפריט משנה זה, ייתכן שיהיה עליך להשתמש בלחצני החצים או לבחור במקשי הפונקציה המתאימים הנמצאים בשורה העליונה של מקלדת המחשב, בהתאם לעיצובו.
בחר שם למטריקס שלך. רוב מחשבוני הכיס מצויידים בעבודה עם 3 עד 10 מטריצות, באותיות בשם A עד J. בדרך כלל נתחיל בזה. לחץ על מקש Enter כדי לאשר את בחירת השם.
הזן את גודל המטריצה. מאמר זה מתמקד במטריצות 3x3. עם זאת, מחשבוני כיס יכולים להתמודד עם מטריצות גדולות יותר. הזן את מספר השורות, לחץ על Enter ואז הזן את מספר העמודה ולחץ על Enter.
הזן כל אלמנט של המטריצה. מטריצה תוצג על מסך המחשב. אם עבדת בעבר עם פונקציית המטריצה, המטריצה שעבדת איתה בעבר תופיע על המסך. הסמן יסמן את האלמנט הראשון של המטריצה. הזן את ערך המטריצה שברצונך לפתור ולחץ על Enter. הסמן יעבור אוטומטית לאלמנט הבא, ויחליף את כל הערכים הקודמים.
- אם ברצונך להזין מספרים שליליים, השתמש בלחצן השלילי (-) של המחשבון ולא במקש המינוס. פונקציית המטריצה לא תקרא נכון.
- אם יש צורך, אתה יכול להשתמש במקשי החצים במחשבון שלך כדי לעבור במטריקס.
יוצא מפונקציית המטריצה. לאחר שהזנת את כל ערך המטריצה, לחץ על מקש צא - יציאה (או 2 צא, במידת הצורך). הודות לכך, אתה יוצא מפונקציית מטריקס וחוזר למסך התצוגה הראשי של המחשבון.
השתמש במקש ההפוך כדי למצוא את המטריצה ההפוכה. ראשית, פתח מחדש את פונקציית המטריצה והשתמש בלחצן שמות כדי לבחור את שם המטריצה שהיית נותן למטריצה שלך (יכול להיות). לאחר מכן, לחץ על המקש ההפוך של המחשבון ,. בהתאם למכשיר שלך, ייתכן שיהיה עליך להשתמש בלחצן 2. מסך התצוגה מופיע. לחץ על Enter, והמטריצה ההפוכה תופיע על המסך שלך.
- אל תשתמש בכפתור ^ במחשב שלך כשאתה מנסה להיכנס ל- A ^ -1 בלחיצות בודדות. מחשבים לא יבינו את המתמטיקה הזו.
- אם אתה מקבל הודעת שגיאה בעת לחיצה על המקש ההפוך, סביר יותר שמטריצת ההורה שלך אינה הפיכה. אולי אתה צריך לחזור ולהיות איכותי כדי לקבוע אם זו הסיבה לשגיאה.
המירו את המטריצה ההפוכה לתשובה הנכונה. התוצאה הראשונה שהמחשב מחזיר מוצגת בעשרוני. זו לא בהכרח התשובה "הנכונה" לרוב המטרות. עליכם להמיר את התשובה העשרונית הזו לשבר במידת הצורך (אם יתמזל מזלכם, כל התוצאות שלכם הן מספרים שלמים. עם זאת, היא נדירה מאוד).
- אולי למחשבון שלך יש פונקציה שממירה אוטומטית עשרוניות לשברים. לדוגמא, בעת שימוש ב- TI-86, באפשרותך לעבור לפונקציה מתמטיקה, בחר Misc ואז Frac ולחץ על Enter. עשרוניות יוצגו אוטומטית כשברים.
לרוב מחשבוני הגרפים יש סוגריים מרובעים (עבור TI-84, כלומר 2nd + x ו- 2nd + -) המאפשרים לך להזין מטריצה מבלי להשתמש בפונקציית מטריצה. הערה: ייתכן שמחשבון לא יפרמט מטריצה עד שמשתמשים במקש enter / equal (כלומר הכל יהיה באותה שורה ולא נחמד במיוחד). פרסומת

עֵצָה

באפשרותך לבצע את השלבים הבאים כדי למצוא את ההפך של מטריצה שלא רק מכילה מספרים, אלא גם משתנים, לא ידועים, או אפילו ביטויים אלגבריים.
רשמו את כל השלבים מכיוון שמציאת ההפך של מטריצה 3x3 רק על ידי ביצוע מתמטיקה היא קשה ביותר.
ישנן תוכניות מחשבון שעוזרות לך למצוא מטריצות הפוכות, עד וכוללות מטריצות 30x30.
ללא קשר לשיטה בה נעשה שימוש, בדוק את דיוק התוצאה על ידי הכפלת M ב- M. תאשר כי M * M = M * M = I. איפה, אני היא מטריצת היחידה , מורכב מאלמנטים 1 הממוקמים לאורך האלכסון הראשי והאפסים במקומות אחרים. אם לא משיגים תוצאות כאלה, בטח טעית איפשהו.