תוֹכֶן

• לדרוך
• שיטה 1 מתוך 2: שיטה ראשונה: כפל צולב
• שיטה 2 מתוך 2: שיטה שנייה: מציאת הכפולה הנפוצה ביותר (LCM) של המכנים
• טיפים

פונקציה רציונאלית היא שבר עם משתנה אחד או יותר במונה או במכנה. משוואה רציונלית היא כל משוואה המכילה לפחות ביטוי רציונלי אחד. כמו משוואות אלגבריות נפוצות, ניתן לפתור ביטויים רציונליים על ידי הפעלת אותה פעולה על שני צידי המשוואה עד שהמשתנה מבודד לצד אחד של סימן השווה. שתי שיטות מיוחדות, כפל רוחבי ומציאת הכפל הנפוץ ביותר של המכנים, שימושיות במיוחד לבידוד משתנים ולפתרון משוואות רציונליות.

לדרוך

שיטה 1 מתוך 2: שיטה ראשונה: כפל צולב

1. במידת הצורך, סדר מחדש את המשוואה כדי לוודא שיש שבר משני צידי השלט השווה. כפל צולב הוא שיטה מהירה לפתרון משוואות רציונליות. למרבה הצער, שיטה זו פועלת רק עבור משוואות רציונליות בעלות ביטוי או שבר רציונלי אחד בדיוק משני צידי סימן השוויון. אם זה לא המקרה עבור המשוואה שלך, סביר להניח שאתה זקוק לכמה פעולות אלגבריות כדי לקבל את התנאים במקום הנכון.
   • לדוגמא, ניתן להמיר את המשוואה (x + 3) / 4 - x / (- 2) = 0 לצורת הכפלת הצלב הנכונה, על ידי הוספת x / (- 2) לשני צידי המשוואה, מה שהופך אותה לתוצאה נראה כך: (x + 3) / 4 = x / (- 2).
     • זכור שניתן להמיר עשרונים ומספרים שלמים לשברים על ידי מתן המכנה 1. (x + 3) / 4 - 2.5 = 5, למשל, ניתן לשכתב כ (x + 3) / 4 = 7.5 / 1, המאפשר ליישם כפל צולב.
   • לא ניתן להמיר משוואות רציונליות מסוימות בצורה הנכונה בקלות. במקרים אלה, השתמש בשיטות שבהן אתה משתמש במכפיל הכי פחות נפוץ של המכנים.
2. כפל צולב. כפל צולב פירושו פשוט להכפיל את המונה של שבר אחד במכנה של השני ולהיפך. הכפל את מניין השבר משמאל לסימן השווה בשבר ימינה. חזור על הפעולה עם המונה בצד ימין ומכנה השבר בצד שמאל.
   • כפל צולב עובד על פי עקרונות אלגבריים משותפים. ניתן להמיר ביטויים רציונליים ושברים אחרים למספרים רגילים על ידי הכפלת המכנים. ביסודו של דבר, הכפלת צולבים היא דרך קצרה לשימוש רב-כפל של שני צידי המשוואה בשני מכני השברים. אתה לא מאמין בזה? נסה זאת - תראה את אותן התוצאות לאחר הפשט.
3. הפוך את שני המוצרים לשווים זה לזה. לאחר הכפלת צולבים, נשארים עם שני מוצרים. הפוך את שני המונחים האלה לשווים ופשט אותם כדי לקבל את המונחים הפשוטים ביותר משני צידי המשוואה.
   • לדוגמא, אם (x + 3) / 4 = x / (- 2) היה הביטוי הרציונאלי המקורי שלך, לאחר הכפלת הצלב הוא יהפוך לשווה ל- -2 (x + 3) = 4x. ניתן לשכתב אפשרות זו כ -2x - 6 = 4x.
4. לפתור את המשתנה. השתמש בפעולות אלגבריות כדי למצוא את ערך המשתנה במשוואה. זכור, אם x מופיע משני צידי סימן השווה, אז על ידי הוספה או חיסור של מונח x, ודא שיש רק x מונחים בצד אחד של סימן השווה.
   • בדוגמה שלנו אפשר לחלק את שני צידי המשוואה ב- -2, מה שנותן לנו x + 3 = -2x. הפחתת x משני צידי סימן השווה נותנת לנו 3 = -3x. ולבסוף, אם נחלק את שני הצדדים ב- -3 נקבל -1 = x, או גם x = -1. כעת מצאנו x הפותר את המשוואה הרציונלית שלנו.

שיטה 2 מתוך 2: שיטה שנייה: מציאת הכפולה הנפוצה ביותר (LCM) של המכנים

1. להבין כאשר מציאת המכפיל הכי פחות נפוץ של מכנים היא ברורה. ניתן להשתמש במכפיל הפחות נפוץ (LCM) של המכנים לפשט משוואות רציונליות, מה שמאפשר למצוא את ערכי המשתנים שלהם. מציאת LCM היא רעיון טוב אם לא ניתן לשכתב את המשוואה הרציונלית בצורה בצורה שיש בה רק חלק אחד או ביטוי רציונלי בכל צד של סימן השווה. לפתרון משוואות רציונאליות עם שלוש מונחים ומעלה, LCMs הם כלי שימושי. אך לפתרון משוואות רציונאליות עם שני מונחים בלבד, הכפלת הצלב היא לעתים קרובות מהירה יותר.
2. בחן את המכנה של כל שבר. מצא את המספר הקטן ביותר שאפשר לחלק לחלוטין לפי כל מכנה. זהו ה- LCM של המשוואה שלך.
   • לפעמים נראה הכפולה הכי פחות שכיחה - המספר הקטן ביותר שניתן לחלוקה לחלוטין על ידי כל אחד מהמכנים. לדוגמא, אם הביטוי שלך נראה כמו x / 3 + 1/2 = (3x + 1) / 6, קל לראות שה- LCM חייב להיות מתחלק ב -3, 2 ו- 6 ובכך שווה ל 6.
   • אך לעתים קרובות יותר ה- LCM של השוואה רציונלית אינו ברור כלל. במקרים אלה, נסה את מכפילי המכנה הגדול ביותר עד שתמצא מספר הכולל את הכפולות של המכנים האחרים והקטנים יותר. לעתים קרובות ה- LCM הוא תוצר של שני מכנים. לדוגמה, קח את המשוואה x / 8 + 2/6 = (x - 3) / 9, כאשר ה- LCM שווה ל- 8 * 9 = 72.
   • אם אחד או יותר מהמכנים מכיל משתנה, תהליך זה יהיה קצת יותר קשה, אך הוא בשום פנים ואופן בלתי אפשרי. במקרים אלה, ה- LCM הוא ביטוי (עם משתנים) שמתאים באופן מלא לכל המכנים, ולא רק למספר אחד. כדוגמה, המשוואה 5 / (x-1) = 1 / x + 2 / (3x), כאשר ה- LCM שווה ל- 3x (x-1), מכיוון שהוא מתחלק לחלוטין לכל מכנה - חלוקה לפי (x- 1 ) מניב פי 3, חלוקה לפי תשואות פי 3 (x-1), וחלוקה לפי x מניב 3 (x-1).
3. הכפל כל שבר במשוואה הרציונלית ב- 1. הכפלת כל מונח ב -1 אולי נראית חסרת תועלת, אבל יש כאן טריק. כלומר, ניתן לכתוב 1 כשבר - למשל 2/2 ו- 3/3. הכפל כל שבר במשוואה הרציונלית שלך ב- 1, כתוב 1 בכל פעם כמספר או המונח כפול כל מכנה כדי לתת את ה- LCM כשבר.
   • בדוגמה שלנו, אנו יכולים להכפיל את x / 3 ב- 2/2 כדי לקבל 2x / 6 ולהכפיל 1/2 ב- 3/3 כדי לקבל 3/6. ל- 3x +1/6 כבר 6 (lcm) כמכנה, כך שנוכל להכפיל אותו ב- 1/1 או פשוט להשאיר אותו.
   • בדוגמה שלנו עם משתנים במכנים, התהליך כולו קצת יותר מסובך. מכיוון שה- LCM שווה 3x (x-1), אנו מכפילים כל ביטוי רציונלי בשבר שמניב 3x (x-1) כמכנה. אנו מכפילים את 5 / (x-1) ב- (3x) / (3x) וזה נותן 5 (3x) / (3x) (x-1), אנו מכפילים 1 / x ב- 3 (x-1) / 3 (x -1) וזה נותן 3 (x-1) / 3x (x-1) ואנחנו מכפילים את 2 / (3x) ב- (x-1) / (x-1) וזה סוף סוף נותן 2 (x-1) / 3x (x-1).
4. לפשט ולפתור עבור x. כעת, כאשר לכל מונח במשוואה הרציונלית שלך יש אותו מכנה, ניתן לחסל את המכנים מהמשוואה ולפתור את המונים. כל שעליך לעשות הוא להכפיל את שני צידי המשוואה ב- LCM כדי להיפטר מהמכנים כך שישארו לך רק את המונים. עכשיו זה הפך למשוואה רגילה שתוכלו לפתור למשתנה על ידי בידודו בצד אחד של סימן השווה.
   • בדוגמה שלנו, לאחר הכפלת, על ידי שימוש ב- 1 כשבר, נקבל 2x / 6 + 3/6 = (3x + 1) / 6. ניתן להוסיף שני שברים אם יש להם את אותו המכנה, ולכן נוכל לכתוב משוואה זו כמו (2x + 3) / 6 = (3x + 1) / 6 מבלי לשנות את ערכה. הכפל את שני הצדדים ב- 6 כדי לבטל את המכנים, והשאיר 2x + 3 = 3x + 1. כאן, חיסר 1 משני הצדדים כדי להשאיר 2x + 2 = 3x וחסר 2x משני הצדדים כדי להשאיר 2 = x, שאותו ניתן לכתוב גם כ- x = 2.
   • בדוגמה שלנו עם משתנים במכנים, המשוואה לאחר הכפלת כל מונח ב- "1" שווה 5 (3x) / (3x) (x-1) = 3 (x-1) / 3x (x-1) + 2 ( x-1) / 3x (x-1). הכפלת כל מונח ב- LCM מאפשרת לבטל את המכנים, מה שמעניק לנו כעת 5 (3x) = 3 (x-1) + 2 (x-1). בהרחבה זה נהיה 15x = 3x - 3 + 2x -2, שניתן לפשט שוב ​​כ- 15x = x - 5. הפחתת x משני הצדדים מניבה 14x = -5, כך שניתן יהיה לפשט את התשובה הסופית ל- x = - 14/5.

טיפים

• לאחר שמצאת את ערך המשתנה, בדוק את תשובתך על ידי הזנת ערך זה במשוואה המקורית. אם אתה מקבל את ערך המשתנה נכון, אתה אמור להיות מסוגל לפשט את המשוואה למשפט פשוט ונכון, כגון 1 = 1.
• ניתן לכתוב כל משוואה כביטוי רציונלי; פשוט הניחו אותו כמונה מעל המכנה 1. אז ניתן לכתוב את המשוואה x + 3 כ- (x + 3) / 1, לשניהם אותו ערך.