תוֹכֶן

• לדרוך
• שיטה 1 מתוך 4: נסה לחלק
• שיטה 2 מתוך 4: שימוש במשפט הקטן של פרמה
• שיטה 3 מתוך 4: שימוש במבחן מילר-רבין
• שיטה 4 מתוך 4: שימוש במשפט השאר סיני
• טיפים
• צרכים

מספרים ראשוניים הם מספרים הניתנים לחלוקה לבד ומכונים 1 - מספרים אחרים מתחם מספרים. בכל הנוגע לבדיקה האם מספר הוא ראשוני, ישנן מספר אפשרויות. חלק משיטות אלה פשוטות יחסית אך כלל אינן מעשיות למספרים גדולים יותר. מבחנים אחרים המשמשים לעתים קרובות הם למעשה אלגוריתמים מלאים המבוססים על אחד הִסתַבְּרוּת שלפעמים בטעות רואים במספר ראשוני. המשך לשלב 1 כדי ללמוד כיצד לבדוק את עצמך אם אתה מתמודד עם מספר ראשוני.

לדרוך

שיטה 1 מתוך 4: נסה לחלק

ניסיון לחלק הוא ללא ספק הדרך הקלה ביותר לבדוק מספר. עבור מספרים קטנים זו בדרך כלל גם הדרך המהירה ביותר. המבחן מבוסס על הגדרת מספר ראשוני: מספר הוא ראשוני אם הוא מתחלק רק מעצמו ו- 1.

1. לְהַנִיחַ נ הוא המספר שברצונך לבדוק. חלק את המספר n בכל המספרים השלמים האפשריים הניתנים לחלוקה. עבור מספרים גדולים יותר כגון n = 101, זה מאוד לא מעשי לחלק במספר שלם אפשרי הנמוך מ- n. למרבה המזל, ישנם מספר טריקים להפחתת מספר הגורמים שייבדקו.
2. קבע אם נ אֲפִילוּ. כל המספרים הזוגיים מתחלקים לחלוטין ב- 2. לכן, אם n הוא זוגי, אתה יכול לומר זאת n הוא מספר מורכב (ולכן לא מספר ראשוני). כדי לקבוע במהירות אם מספר אחיד, עליך לשים לב רק לספרה האחרונה. אם הספרה האחרונה היא 2, 4, 6, 8 או 0, המספר אחיד ולא ראשוני.
   • היוצא מן הכלל היחיד לכלל זה הוא המספר 2 עצמו, ומכיוון שהוא מתחלק מעצמו ו- 1, הוא גם ראשוני. 2 הוא החלק היחיד היחיד.
3. חֵלֶק נ לפי מספר כלשהו בין 2 ל- n-1. מכיוון שלמספר ראשוני אין גורמים מלבד עצמו ו- 1, ומכיוון שגורמים שלמים הם פחות מהתוצר שלהם, בדיקת חלוקות של מספר שלם קטן מ- n וגדול מ- 2 תקבע אם n הוא ראשוני. אנחנו מתחילים אחרי 2 כי מספרים זוגיים (מכפילים של 2) לא יכולים להיות מספרים ראשוניים. זו רחוקה מדרך יעילה לבדיקה, כפי שתראה להלן.
   • לדוגמא, אם היינו רוצים להשתמש בשיטה זו כדי לבדוק אם 11 ראשוני או לא, נחלק את 11 ל- 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ו- 10, ונחפש תשובה שלמה ללא שארית. מכיוון שאף אחד מהמספרים הללו אינו משתלב לחלוטין ב -11, אנו יכולים לומר כי 11 הוא אחד הוא ראשוני.
4. כדי לחסוך זמן, בדוק רק עד sqrt (נ), רוכזו. בדיקת מספר n על ידי בדיקת כל המספרים בין 2 ל- n-1 יכולה לקחת זמן רב. לדוגמא, אם היינו רוצים לבדוק אם 103 היא ראשונית בשיטה זו, נצטרך לחלק ב -3, 4, 5, 6, 7 ... וכו ', עד 102! למרבה המזל, אין צורך לבדוק כך. בפועל, יש צורך רק לבדוק את הגורמים שבין 2 לשורש הריבועי של n. אם השורש הריבועי של n אינו מספר, לעגל אותו למספר השלם הקרוב ביותר ובדוק למספר זה. ראה להלן הסבר:
   • בואו נבדוק את הגורמים של 100. 100 = 1 × 100, 2 × 50, 4 × 25, 5 × 20, 10 × 10, 20 × 5, 25 × 4, 50 × 2 ו- 100 × 1. שימו לב שאחרי 10 × 10, הגורמים זהים אם זה עבור 10 × 10, רק אז התהפך. באופן כללי, אנו יכולים להתעלם מהגורמים של n גדול מ- sqrt (n) מכיוון שהם פשוט המשך של גורמים פחות מ- sqrt (n).
   • בואו ננסה דוגמה. אם n = 37, אז אנחנו לא צריכים לבדוק את כל המספרים בין 3 ל 36 כדי לקבוע אם n הוא ראשוני. במקום זאת, עלינו רק להסתכל על המספרים שבין 2 ל- sqrt (37) (מעוגל כלפי מעלה).
     • sqrt (37) = 6.08 - אנחנו הולכים לעגל את זה עד 7.
     • 37 אינו ניתן לחלוקה מלאה ב -3, 4, 5, 6 ו -7, ולכן אנו יכולים לומר בביטחון שהוא אחד מספר ראשוני הוא.
5. כדי לחסוך עוד יותר זמן, אנו משתמשים רק בגורמים ראשוניים. אפשר להפוך את תהליך הבדיקה על ידי חלוקה קצרה עוד יותר על ידי אי הכללת הגורמים שאינם מספרים ראשוניים. בהגדרה, כל מספר מורכב יכול לבוא לידי ביטוי כתוצר של שניים מספרים ראשוניים או יותר. אז לחלק את המספר n במספר מורכב אין צורך - זה שווה ערך לחלוקה במספרים ראשוניים מספר פעמים. לכן, אנו יכולים לצמצם עוד יותר את רשימת הגורמים האפשריים למספרים ראשוניים בלבד פחות מ- sqrt (n).
   • המשמעות היא שניתן לדלג על כל הגורמים אפילו, כמו גם הגורמים שהם מכפילים של מספרים ראשוניים.
   • לדוגמה, בואו ננסה לקבוע אם 103 הוא ראשוני או לא. השורש הריבועי של 103 הוא 11 (מעוגל כלפי מעלה). המספרים הראשוניים בין 2 ל -11 הם 3, 5, 7 ו- 11. 4, 6, 8 ו -10 שווים ו- 9 הוא מכפלה של 3, מספר ראשוני, כך שנוכל לדלג עליו. בכך צמצמנו את רשימת הגורמים האפשריים ל -4 מספרים בלבד!
     • 103 אינו ניתן לחלוקה של 3, 5, 7 או 11, כך שעתה אנו יודעים ש 103 הוא אחד מספר ראשוני הוא.

שיטה 2 מתוך 4: שימוש במשפט הקטן של פרמה

בשנת 1640, המתמטיקאי הצרפתי פייר דה פרמה הציע לראשונה משפט (הקרוי כיום על שמו) שיכול לעזור מאוד בקביעת האם מספר הוא ראשוני או לא. מבחינה טכנית, מבחן פרמה נועד לאמת שהמספר מורכב ולא ראשוני. הסיבה לכך היא שהמבחן יכול להראות ב"וודאות מוחלטת "שמספר מורכב, אך רק" הסתברות "שמספר הוא ראשוני. המשפט הקטן של פרמה שימושי במצבים שבהם ניסיון לחלק אינו מעשי וכאשר יש רשימה של מספרים זמינים החריגים למשפט.

1. לְהַנִיחַ נ המספר נועד לבדיקה. אתה משתמש במבחן זה כדי לקבוע אם מספר נתון n הוא ראשוני. עם זאת, כפי שצוין לעיל, משפט זה עשוי לעתים לאפיין בטעות תרכובת כלשהי כראשונית. חשוב לקחת זאת בחשבון ולבדוק את תשובתך, המוסברת להלן.
2. בחר מספר שלם א בין 2 ל נ-1 (כולל). המספר המלא המדויק שתבחר אינו חשוב. מכיוון שהפרמטרים עבור a כוללים 2 ו- n-1, אתה יכול גם להשתמש בהם.
   • דוגמה: האם 100 פריימים או לא. נניח שאנחנו לוקחים 3 כערך בדיקה - זה בין 2 ל- n-1, כך שזה מספיק.
3. לחשב א (mod נ). כדי לעבוד על ביטוי זה נדרש מעט ידע במערכת מתמטית הנקראת מתמטיקה מודולרית. במתמטיקה מודולרית, המספרים חוזרים לאפס כשהם מגיעים לערך מסוים, המכונה גם מודולוס. אתה יכול לחשוב על זה כמו שעון: בסופו של דבר יד השעון תחזור לשעה 1 אחרי השעה 12, ולא לשעה 13. המודול צוין כ (mod נ). אז בשלב זה אתה מחשב a עם מודולוס של n.
   • שיטה אחרת היא לחשב את a ואז לחלק אותו ל- n ואז להשתמש בשארית כתשובתך. מחשבונים מיוחדים עם פונקציית מודולוס יכולים להיות שימושיים מאוד כאשר מחלקים מספרים גדולים, מכיוון שהם יכולים לחשב מיד את שארית החלוקה.
   • באמצעות מחשבון כזה בדוגמה שלנו, אנו יכולים לראות כי ל- 3/100 יש שארית 1. אז 3 (mod 100) הוא 1.
4. אם אנו מחשבים זאת ביד, אנו משתמשים במעריך כפורמט קצר. אם אין לך מחשבון עם פונקציית מודולוס, השתמש בסימון עם אקספוננט כדי להקל על ההליך לקביעת השאר. ראה למטה:
   • בדוגמה שלנו, אנו מחשבים 3 עם מודולוס של 100. 3 הוא מספר מאוד מאוד גדול - 515,377,520,732,011,331,036,461,129,765,621,272,702,107,522,001 - כל כך גדול שקשה מאוד לעבוד איתו. במקום להשתמש בתשובה בת 48 הספרות ל -3, מוטב שנכתוב אותה כמעריך, כך (((((((3)*3))))*3)). זכור שלקיחת המעריך של המעריך יש השפעה של הכפלת המעריכים ((x) = x).
     • עכשיו נוכל לקבוע את השאר. התחל על ידי פתרון ((((((3) * 3))) * 3)) במערך הסוגריים הפנימי ועבור בדרך החוצה, וחלק כל שלב ב 100. לאחר שמצאנו את השאר, נשתמש בזה לשלב הבא ולא לתשובה בפועל. ראה למטה:
       • ((((((9) * 3))) * 3)) - ל- 9/100 אין שום שארית, כך שנוכל להמשיך.
       • (((((27)))) * 3)) - ל- 27/100 אין שום שארית, כך שנוכל להמשיך הלאה.
       • ((((729))) * 3)) - 729/100 = 7 R 29. השאר שלנו הוא 29. אנו ממשיכים בשלב הבא, ולא 729.
       • ((((29=841)) * 3)) - 841/100 = 8 R 41. אנו משתמשים בשארית 41 שלנו שוב בשלב הבא.
       • (((41 = 1681) * 3)) - 1681/100 = 16 R 81. אנו משתמשים בשארית 81 בשלב הבא.
       • ((81*3 = 243)) - 243/100 = 2 R 43. נשתמש בשאר 43 שלנו בשלב הבא.
       • (43 = 1849) - 1849/100 = 18 R 49. נשתמש בשאר 49 שלנו בשלב הבא.
       • 49 = 2401 - 2401/100 = 24 R 1. השארית הסופית שלנו היא 1. במילים אחרות, 3 (mod 100) = 1. שים לב שזו אותה תשובה כמו שחישבנו בשלב הקודם!
5. גלה אם א (mod נ) = א (mod נ). אם לא, n הוא מורכב. אם נכון אז נ כנראה, (אבל לא בטוח) מספר ראשוני. חזרה על המבחן עם ערכים שונים עבור a יכולה להפוך את התוצאה לוודאית יותר, אך ישנם מספרים מורכבים נדירים העונים על משפט פרמה לגבי את כל ערכים של a. אלה נקראים מספרי כרמייקל - הקטן מבין המספרים האלה הוא 561.
   • בדוגמה שלנו, 3 (mod 100) = 1 ו- 3 (mod 100) = 3.1 ≠ 3, כך שנוכל לומר ש 100 הוא מספר מורכב.
6. השתמש במספרי קרמייקל כדי להיות בטוח בתוצאה שלך. לדעת אילו מספרים עומדים בסדרת כרמייקל לפני שתמשיך יכול לחסוך לך דאגה רבה אם המספר הוא ראשוני או לא. באופן כללי, מספרים של כרמייקל הם תוצר של מספרים ראשוניים בודדים, כאשר עבור כל המספרים הראשוניים הוא קובע שאם p הוא מחלק של n, אז גם p-1 הוא מחלק של n-1. הרשימה המקוונת של מספרי כרמייקל יכולה להיות שימושית מאוד לקביעת האם המספר הוא ראשוני, באמצעות המשפט הקטן של פרמה.
   
   

שיטה 3 מתוך 4: שימוש במבחן מילר-רבין

מבחן מילר-רבין פועל באופן זהה למשפט הקטן של פרמה, אך עוסק טוב יותר במספרים שאינם סטנדרטיים כמו מספרי כרמייקל.

1. לְהַנִיחַ נ הוא מספר אי זוגי שאנו רוצים לבדוק ראשוניות. כמו בשיטות שצוינו לעיל, n הוא המשתנה שבו אנו רוצים לקבוע את הראשוניות.
2. לַחַץ נ-1 בצורה 2 × ד באיזה ד זה מוזר. המספר n הוא ראשוני אם הוא מוזר. אז n - 1 חייב להיות שווה. מכיוון ש n - 1 הוא שווה, ניתן לכתוב אותו כחזק פי 2 מספר אי זוגי. אז, 4 = 2 × 1; 80 = 2 × 5; וכולי.
   • נניח שאנחנו רוצים לקבוע אם n = 321 הוא ראשוני. 321 - 1 = 320, אותו אנו יכולים לבטא כ 2 × 5.
     • במקרה זה n = 321 הוא מספר מתאים. קביעת n - 1 עבור n = 371 עשויה לדרוש ערך גדול עבור d, מה שמקשה על התהליך כולו בשלב מאוחר יותר. 371 - 1 = 370 = 2 × 185
3. בחר מספר כלשהו א בין 2 ל נ-1. המספר המדויק שתבחר לא משנה - רק שהוא חייב להיות פחות מ- n וגדול מ- 1.
   • בדוגמה שלנו עם n = 321, אנו בוחרים a = 100.
4. לחשב א (mod נ). אם א = 1 או -1 (mod נ) ואז עובר נ מבחן מילר-רבין והוא כנראה מספר ראשוני. כמו במשפט הקטן של פרמה, מבחן זה אינו יכול לקבוע בוודאות מוחלטת את ראשוניות המספר, אלא דורש בדיקות נוספות.
   • בדוגמה שלנו עם n = 321, a (mod n) = 100 (mod 321). 100 = 10,000,000,000 (mod 321) = 313. אנו משתמשים במחשבון מיוחד, או בשיטת הקיצור עם אקספוננט כפי שתואר לעיל, כדי למצוא את שארית 100/321.
     • מכיוון שלא השגנו 1 או -1, איננו יכולים לומר בוודאות כי n הוא ראשוני. אבל עדיין יש עוד מה שאנחנו צריכים לעשות - המשך לקרוא.
5. מכיוון שהתוצאה אינה שווה ל -1 או -1, חישבו א, א, ... וכן הלאה, עד אד. חישב העלאה בכוח d פעמים, עד 2. אם אחד מאלה שווה ל -1 או -1 (mod נ) ואז עובר נ מבחני מילר-רבין וכנראה שהוא מעולה. אם קבעת ש- n עומד במבחן, בדוק את תשובתך (ראה שלב למטה). אם n נכשל באחת מהבדיקות הללו, זה אחד מוּרכָּב מספר.
   • כזכור, בדוגמה שלנו, הערך של a הוא 100, הערך של s הוא 6, ו- d הוא 5. אנו ממשיכים בבדיקות כפי שמוצג להלן:
     • 100 = 1 × 10.
       • 1 × 10 (mod 321) = 64.64 ≠’ 1 או -1. המשיכו בשלווה.
     • 100 = 1 × 10.
       • 1 × 10 (mod 321) = 244.244 ≠ 1 או -1.
     • בשלב זה אנו יכולים לעצור. s - 1 = 6 - 1 = 5. כעת הגענו ל -4 ד = 2, ואין כוחות של פי 2 ד מתחת ל 5 ד. מכיוון שאף אחד מהחישובים שלנו לא ענה על 1 או -1, אנו יכולים לומר כי n = 321 אחד מוּרכָּב המספר הוא.
6. אם נ עובר את מבחן מילר-רבין, חזור על הערכים האחרים של א. אם גילית שהערך של n יכול להיות ראשוני, נסה שוב עם ערך אקראי אחר כדי לאשר את תוצאת הבדיקה. אם n הוא ממש ראשוני, זה יהיה נכון לכל ערך של a. אם n הוא מספר מורכב, הוא ייכשל בשלושה רבעים מהערכים של a. זה נותן לך וודאות רבה יותר מאשר המשפט הקטן של פרמה, שם מסוימים מספרים מרוכבים (מספרי קרמייקל) עוברים את המבחן לכל ערך של a.

שיטה 4 מתוך 4: שימוש במשפט השאר סיני

1. בחר שני מספרים. אחד המספרים אינו ראשוני והשני הוא המספר שנבדק לפרימליות.
   • "מבחן מספר 1" = 35
   • מבחן מספר 2 = 97
2. בחר שתי נקודות נתונים הגדולות מאפס ופחות מ- TestNumber1 ו- TestNumber2, בהתאמה. הם לא יכולים להיות שווים זה לזה.
   • נתונים 1 = 1
   • נתונים 2 = 2
3. חשב את ה- MMI (הפוך מכפלתי מתמטי) עבור מבחן מספר 1 ומספר מבחן 2
   • חשב את ה- MMI
     • MMI1 = מספר הבדיקה 2 ^ -1 מספר הבדיקה Mod1
     • MMI2 = מספר הבדיקה 1 ^ -1 מספר הבדיקה Mod2
   • למספרים ראשוניים בלבד (תהיה תוצאה למספרים שאינם ראשוניים, אך זה לא ה- MMI):
     • MMI1 = (TestNumber2 ^ (TestNumber1-2))% TestNumber1
     • MMI2 = (TestNumber1 ^ (TestNumber-2))% TestNumber2
   • כך:
     • MMI1 = (97 ^ 33)% 35
     • MMI2 = (35 ^ 95)% 97
4. צור טבלה בינארית עבור כל MMI עד לוג 2 של המודולוס
   • עבור ה- MMI1
     • F (1) = מספר הבדיקה 2% מספר הבדיקה 1 = 97% 35 = 27
     • F (2) = F (1) * F (1)% מספר הבדיקה 1 = 27 * 27% 35 = 29
     • F (4) = F (2) * F (2)% מספר בדיקה 1 = 29 * 29% 35 = 1
     • F (8) = F (4) * F (4)% מספר בדיקה 1 = 1 * 1% 35 = 1
     • F (16) = F (8) * F (8)% מספר הבדיקה 1 = 1 * 1% 35 = 1
     • F (32) = F (16) * F (16)% מספר הבדיקה 1 = 1 * 1% 35 = 1
   • חשב את הלוגריתם הבינארי של TestNumber1 - 2
     • 35 -2 = 33 (10001) בסיס 2
     • MMI1 = F (33) = F (32) * F (1) mod 35
     • MMI1 = F (33) = 1 * 27 Mod 35
     • MMI1 = 27
   • עבור MMI2
     • F (1) = מספר הבדיקה 1% מספר הבדיקה 2 = 35% 97 = 35
     • F (2) = F (1) * F (1)% מספר בדיקה 2 = 35 * 35 mod 97 = 61
     • F (4) = F (2) * F (2)% מספר בדיקה 2 = 61 * 61 mod 97 = 35
     • F (8) = F (4) * F (4)% מספר הבדיקה 2 = 35 * 35 mod 97 = 61
     • F (16) = F (8) * F (8)% מספר הבדיקה 2 = 61 * 61 mod 97 = 35
     • F (32) = F (16) * F (16)% מספר הבדיקה 2 = 35 * 35 mod 97 = 61
     • F (64) = F (32) * F (32)% מספר הבדיקה 2 = 61 * 61 mod 97 = 35
     • F (128) = F (64) * F (64)% מספר הבדיקה 2 = 35 * 35 mod 97 = 61
   • חשב את הלוגריתם הבינארי של TestNumber2 - 2
     • 97 - 2 = 95 = (1011111) בסיס 2
     • MMI2 = ((((((F (64) * F (16)% 97) * F (8)% 97) * F (4)% 97) * F (2)% 97) * F (1)% 97)
     • MMI2 = ((((((35 * 35)% 97) * 61)% 97) * 35% 97) * 61% 97) * 35% 97)
     • MMI2 = 61
5. חשב (Data1 * TestNumber2 * MMI1 + Data2 * TestNumber1 * MMI2)% (TestNumber1 * TestNumber)
   • תשובה = (1 * 97 * 27 + 2 * 35 * 61)% (97 * 35)
   • תשובה = (2619 + 4270)% 3395
   • תשובה = 99
6. בדוק ש- "TestNumber1" אינו prime1
   • חשב (תשובה - נתונים 1)% מספר הבדיקה 1
   • 99 -1 % 35 = 28
   • מכיוון ש- 28 גדול מ- 0, 35 אינו ראשוני
7. בדוק אם TestNumber2 הוא ראשוני
   • חישוב (תשובה - נתונים 2)% מספר הבדיקה 2
   • 99 - 2 % 97 = 0
   • מכיוון ש- 0 שווה ל- 0, 97 הוא מספר ראשוני פוטנציאלי
8. חזור על שלבים 1 עד 7 לפחות פעמיים נוספות.
   • אם שלב 7 שווה 0:
     • השתמש ב- "TestNumber1" אחר אם TestNumber1 אינו ראשוני.
     • השתמש ב- TestNumber1 אחר כאשר TestNumber1 הוא למעשה ראשוני. במקרה זה, שלבים 6 ו- 7 שווים ל- 0.
     • השתמש בנקודות נתונים שונות עבור data1 ו- data2.
   • אם שלב 7 תמיד שווה ל- 0, אז ההסתברות שמספר 2 הוא מספר ראשוני היא גבוהה מאוד.
   • ידוע כי שלבים 1 עד 7 אינם נכונים במקרים מסוימים כאשר המספר הראשון אינו ראשוני והשני הוא גורם ראשוני למספר הלא ראשוני "מבחן מספר 1". זה עובד בכל התרחישים שבהם שני המספרים ראשוניים.
   • הסיבה ששלבים 1 עד 7 חוזרים ונשנים היא מכיוון שיש כמה תרחישים שבהם, גם אם TestNumber1 אינו ראשוני ו- TestNumber2 אינו ראשוני, כל המספר משלב 7 עדיין אפס. תנאים אלה הם נדירים. על ידי שינוי TestNumber1 למספר שאינו ראשוני אחר, אם TestNumber2 אינו ראשוני, TestNumber2 כבר לא יהיה שווה לאפס, בשלב 7. למעט המקרה בו "TestNumber1" הוא גורם של TestNumber2, המספרים הראשוניים תמיד יהיו אפס. שלב 7.

טיפים

• 168 המספרים הראשוניים מתחת ל -1000 הם: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997
• כאשר הניסיון לחלק הוא איטי יותר מהשיטות המתוחכמות יותר, הוא עדיין יעיל למספרים קטנים יותר. גם כאשר בודקים מספרים גדולים יותר, אין זה נדיר לבדוק קודם את המספרים הקטנים לפני שעוברים לשיטות המתקדמות יותר.

צרכים

• נייר, עט, עיפרון ו / או מחשבון לאימון