תוֹכֶן

• צעדים
• עֵצָה

מהירות מוגדרת כמהירות של אובייקט בכיוון נתון. במקרים רבים, כדי למצוא מהירות נשתמש במשוואה v = s / t, כאשר v היא המהירות, s הוא המרחק הכולל של תזוזת האובייקט ממיקומו המקורי, ו- t הוא הזמן שלוקח לעצם לנסוע. ללכת עד הסוף. עם זאת, בתיאוריה נוסחה זו מיועדת רק למהירות בינוני של דברים בדרך. על ידי חישוב מהירות האובייקט בכל רגע נתון לאורך המרחק. זה זמן תחבורה ומוגדר על ידי המשוואה v = (ds) / (dt), או במילים אחרות, זו הנגזרת של המשוואה למהירות הממוצעת.

צעדים

חלק 1 מתוך 3: חישוב מהירות מיידית

1. 

   
   
   התחל במשוואה לחישוב מהירות לפי מרחק תזוזה. כדי למצוא את המהירות המיידית, ראשית עלינו לקבל משוואה המציינת את מיקום האובייקט (מבחינת תזוזה) בכל רגע נתון. כלומר המשוואה חייבת לכלול משתנה אחד בלבד ס בצד אחד וסובב t בצד השני (לא בהכרח רק משתנה אחד), כך:
   

   s = -1.5t + 10t + 4

   • במשוואה זו, המשתנים הם:

     s = עקירה. המרחק שהאובייקט עבר ממיקומו המקורי. לדוגמא, אם אובייקט יכול ללכת 10 מטרים קדימה ו -7 מטרים אחורה, מרחק הנסיעה הכולל שלו הוא 10 - 7 = 3 מטר (לא 10 + 7 = 17 מטר).

     t = זמן. משתנה זה פשוט ללא הסבר, בדרך כלל נמדד בשניות.

2. 

   
   
   קח את הנגזרת של המשוואה. הנגזרת של המשוואה היא משוואה נוספת המציגה את שיפוע המרחק בזמן מסוים. כדי למצוא את נגזרת המשוואה לפי מרחק תזוזה, קח את ההפרש של הפונקציה על פי הכלל הכללי הבא כדי לחשב את הנגזרת: אם y = a * x, נגזרת = a * n * x. זה חל על כל המונחים בצד "t" של המשוואה.
   • במילים אחרות, התחל לקבל את ההפרש משמאל לימין בצד "t" של המשוואה. בכל פעם שאתה נתקל במשתנה "t", אתה מפחית את המעריך ב- 1 ומכפיל את המונח במעריך המקורי. כל מונחים קבועים (מונחים ללא "t") ייעלמו מכיוון שהם מוכפלים ב- 0. התהליך אינו קשה כמו שאתה יכול לחשוב - בוא ניקח את המשוואה בשלב הנ"ל כדוגמה:
     

     s = -1.5t + 10t + 4
     (2) -1.5t + (1) 10t + (0) 4t
     -3t + 10t
     -3t + 10

     
     

3. 

   החלף את "s" ב "ds / dt". כדי להראות שהמשוואה החדשה היא נגזרת של הריבוע המקורי, אנו מחליפים את "s" בסמל "ds / dt". בתיאוריה, סימון זה הוא "הנגזרת של s במונחים של t". דרך פשוטה יותר להבין סימון זה, ds / dt הוא השיפוע של כל נקודה במשוואה הראשונית. לדוגמא, כדי למצוא את שיפוע המרחק המתואר על ידי המשוואה s = -1.5t + 10t + 4 בזמן t = 5, אנו מחליפים את "5" ב- נגזרת המשוואה.
   • בדוגמה שלעיל, הנגזרת של המשוואה נראית כך:
     

     ds / dt = -3t + 10

4. 

   החלף ערך עבור t למשוואה החדשה כדי למצוא את המהירות המיידית. עכשיו שיש לנו את המשוואה הנגזרת, קל מאוד למצוא את המהירות המיידית בכל רגע נתון. כל שעליך לעשות הוא לבחור ערך t ולהחליפו במשוואה הנגזרת. לדוגמא, אם אנו רוצים למצוא את המהירות המיידית ב- t = 5, עלינו רק להחליף את "5" ל- t במשוואת הנגזרת ds / dt = -3t + 10. נפתור את המשוואה כך:
   

   ds / dt = -3t + 10
   ds / dt = -3 (5) + 10
   ds / dt = -15 + 10 = -5 מטר / שנייה

   • שים לב שאנו משתמשים ביחידה "מטר / שנייה" לעיל.מכיוון שאנו פותרים את הבעיה בתזוזה במטרים ובזמן בשניות, כאשר המהירות היא בדיוק התזוזה בזמן, יחידה זו מתאימה.
   פרסומת

חלק 2 מתוך 3: הערכת מהירות מיידית בצורה גרפית

1. 

   גרף את מרחק התנועה של האובייקט לאורך זמן. בסעיף לעיל אמרנו שהנגזרת היא גם נוסחה המאפשרת לנו למצוא את השיפוע בכל נקודה במשוואה שנלקחה מהנגזרת. למעשה, אם אתה מציג את המרחק הנע של האובייקט בגרף, שיפוע הגרף בכל נקודה הוא המהירות המיידית של האובייקט באותה נקודה.
   • לרישום מרחקי תנועה, השתמש בציר ה- x לזמן ובציר ה- y לתזוזה. לאחר מכן אתה קובע מספר נקודות על ידי חיבור הערכים של t למשוואת התנועה, התוצאה היא ערכי s, ואתה מנקד את הנקודות t, s (x, y) בתרשים.
   • שים לב שהגרף עשוי להתמתח מתחת לציר ה- X. אם הקו המציג את תנועת האובייקט יורד בציר ה- x, המשמעות היא שהאובייקט נע אחורה ממצבו המקורי. באופן כללי, הגרף לא ישתרע מאחורי ציר ה- y - לרוב איננו מודדים את מהירות האובייקטים הנעים אחורה בזמן!

2. 

   בחר נקודה P ונקודה Q הממוקמת ליד נקודה P בגרף. כדי למצוא את שיפוע הגרף בנקודה P, אנו משתמשים בטכניקה של "מציאת גבולות". מציאת גבול פירושו לקחת שתי נקודות (P ו- Q (נקודה ליד P)) על העקומה ולמצוא את שיפוע הקו המחבר בין שתי הנקודות, וחוזר על התהליך הזה כאשר המרחק בין P ל- Q מתקצר. בהדרגה.
   • נניח שלמרחק העקירה יש נקודות (1; 3) ו- (4; 7). במקרה זה, אם אנו רוצים למצוא את המדרון ב (1; 3) אז נוכל להגדיר (1; 3) = P ו (4; 7) = ש.

3. 

   מצא את השיפוע בין P ל- Q. השיפוע בין P ו- Q הוא ההפרש בין ערכי y עבור P ו- Q על פני ההפרש של ערכי x עבור P ו- Q. במילים אחרות, H = (y_ש - y_פ) / (איקס_ש - איקס_פ), כאשר H הוא השיפוע בין שתי נקודות. בדוגמה זו, השיפוע בין P ל- Q הוא:
   

   H = (y_ש - y_פ) / (איקס_ש - איקס_פ)
   H = (7 - 3) / (4 - 1)
   H = (4) / (3) = 1,33

4. 

   חזור על כך מספר פעמים על ידי התקרבות Q אל P. המטרה היא לצמצם את המרחק בין P ל- Q עד שהם מגיעים לנקודה אחת. ככל שהמרחק בין P ו- Q קטן יותר, כך השיפוע של הקטע הקטן לאין ערוך יהיה קרוב יותר למדרון בנקודה P. חזור מספר פעמים על משוואת הדוגמה שלנו, בעזרת נקודות (2; 4 , 8), (1.5; 3.95) ו- (1.25; 3.49) נותנים Q והקואורדינטות הראשוניות של P הן (1; 3):
   

   ש = (2; 4.8): H = (4.8 - 3) / (2 - 1)
   H = (1.8) / (1) = 1,8
   
   ש = (1.5; 3.95): H = (3.95 - 3) / (1.5 - 1)
   H = (0.95) / (0.5) = 1,9
   
   ש = (1.25; 3.49): H = (3.49 - 3) / (1.25 - 1)
   H = (0.49) / (0.25) = 1,96

5. 

   מעריך את שיפוע הקטע הקטן ביותר בעקומת הגרף. כאשר Q מתקרב יותר ויותר ל- P, H יתקרב בהדרגה למדרון ב- P. לבסוף, בקו קטן מאוד, H יהיה המדרון ב- P. מכיוון שאיננו יכולים למדוד או לחשב אורכו של קו קטן ביותר, לכן אמד רק את השיפוע ב- P כאשר הוא נראה בבירור מהנקודות שאנו מחשבים.
   • בדוגמה לעיל, כאשר אנו מתקרבים את H קרוב יותר ל- P, יש לנו את הערכים עבור H של 1,8; 1.9 ו- 1.96. מכיוון שמספרים אלה מתקרבים ל -2 אנו יכולים לומר 2 הוא הערך המשוער של המדרון ב- P.
   • זכור כי השיפוע בכל נקודה בגרף הוא הנגזרת של משוואת הגרף באותה נקודה. מכיוון שהגרף מציג תזוזה של אובייקט לאורך זמן, כפי שראינו בסעיף הקודם, המהירות המיידית שלו בכל נקודה היא הנגזרת של מרחק העקירה של האובייקט בנקודת הבעיה. גישה, אנחנו יכולים לומר 2 מטר / שניה הוא אומדן משוער למהירות המיידית כאשר t = 1.
   פרסומת

חלק 3 מתוך 3: בעיה לדוגמא

1. 

   מצא את המהירות המיידית כאשר t = 1 עם משוואת העקירה s = 5t - 3t + 2t + 9. כמו הדוגמה בסעיף הראשון, אך זהו קובייה במקום ריבועית, כך שנוכל לפתור את הבעיה באותו אופן.
   • ראשית, קח את הנגזרת של המשוואה:
     

     s = 5t - 3t + 2t + 9
     s = (3) 5t - (2) 3t + (1) 2t
     15t - 6t + 2t - 6t + 2

   • לאחר מכן אנו מחליפים את הערך של t (4) ב:
     

     s = 15t - 6t + 2
     15(4) - 6(4) + 2
     15(16) - 6(4) + 2
     240 - 24 + 2 = 22 מטר לשנייה

2. 

   השתמש בשיטת הערכת הגרף כדי למצוא את המהירות המיידית ב- (1; 3) למשוואת העקירה s = 4t - t. לבעיה זו אנו משתמשים בקואורדינטות (1; 3) כנקודה P, אך עלינו למצוא נקודות Q אחרות הממוקמות בסמוך לה. ואז כל שעלינו לעשות הוא למצוא את ערכי H ולהסיק את הערך המשוער.
   • ראשית, אנו מוצאים נקודות Q כאשר t = 2; 1.5; 1.1 ו- 1.01.
     

     s = 4t - t
     
     t = 2: s = 4 (2) - (2)
     4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, אז ש = (2; 14)
     
     t = 1.5: s = 4 (1.5) - (1.5)
     4 (2.25) - 1.5 = 9 - 1.5 = 7.5, כך ש = (1.5; 7.5)
     
     t = 1.1: s = 4 (1.1) - (1.1)
     4 (1.21) - 1.1 = 4.84 - 1.1 = 3.74, כך ש = (1.1; 3.74)
     
     t = 1.01: s = 4 (1.01) - (1.01)
     4 (1,0201) - 1.01 = 4.0804 - 1.01 = 3.0704, אז זהו Q = (1.01; 3.0704)

   • לאחר מכן נקבל ערכי H:
     

     ש = (2; 14): H = (14 - 3) / (2 - 1)
     H = (11) / (1) = 11
     
     ש = (1.5; 7.5): H = (7.5 - 3) / (1.5 - 1)
     H = (4,5) / (0.5) = 9
     
     ש = (1.1; 3.74): H = (3.74 - 3) / (1.1 - 1)
     H = (0.74) / (0.1) = 7,3
     
     ש = (1.01; 3.0704): H = (3.0704 - 3) / (1.01 - 1)
     H = (0.0704) / (0.01) = 7,04

   • מכיוון שנראה כי ערכי H קרובים יותר ל -7, אנו יכולים לומר זאת 7 מטר לשנייה הוא האומדן המשוער למהירות המיידית בקואורדינטה (1; 3).
   פרסומת

עֵצָה

• כדי למצוא תאוצה (שינוי מהירות לאורך זמן), השתמש בשיטה בחלק הראשון כדי לקבל את הנגזרת של משוואת העקירה. ואז קח את הנגזרת שוב למשוואת הנגזרת שמצאת זה עתה. התוצאה היא שיש לך משוואה לתאוצה בנקודת זמן נתונה - כל שעליך לעשות הוא לחבר זמן.
• המשוואה המציגה את הקשר בין Y (מרחק תזוזה) ל- X (זמן) יכולה להיות פשוטה מאוד, שכן Y = 6x + 3. במקרה זה, השיפוע קבוע ואין צורך לקחת הנגזרת לחישוב השיפוע, כלומר היא עוקבת אחר צורת המשוואה הבסיסית Y = mx + b עבור גרף ליניארי, כלומר השיפוע שווה 6.
• מרחק העקירה הוא כמו המרחק אך יש לו כיוון, ולכן זהו כמות וקטורית, ומהירות היא גודל סקלרי. מרחקי נסיעה עשויים להיות שליליים, ואילו מרחקים עשויים להיות חיוביים בלבד.