תוֹכֶן

• צעדים
• שיטה 1 מתוך 3: חישוב שיפוע משוואת הקו
• שיטה 2 מתוך 3: חישוב השיפוע באמצעות שתי נקודות
• שיטה 3 מתוך 3: שימוש בחשבון דיפרנציאלי לחישוב המדרון

השיפוע מאפיין את זווית הנטייה של הקו הישר לציר אבצ'סיס (השיפוע שווה מבחינה מספרית לטנגנס של זווית זו). השיפוע קיים במשוואת קו ישר ומשמש בניתוח מתמטי של עקומות, כאשר הוא תמיד שווה לנגזרת של פונקציה. כדי להקל על הבנת השיפוע, דמיינו שהוא משפיע על קצב השינוי של הפונקציה, כלומר ככל שערך השיפוע גדול יותר, כך ערך הפונקציה גדול יותר (עבור אותו ערך של המשתנה הבלתי תלוי).

צעדים

שיטה 1 מתוך 3: חישוב שיפוע משוואת הקו

1. 1 השתמש במדרון כדי למצוא את זווית הקו אל האבקסיס ואת כיוון הקו הזה. חישוב השיפוע קל למדי אם נותנים לך את המשוואה של קו ישר. זכור כי בכל משוואת קו ישר:
   • ללא מעריכים
   • ישנם רק שני משתנים, שאף אחד מהם אינו חלק (למשל, כזה ${ displaystyle { frac {1} {x}}}$)
   • למשוואת הקו הישר יש את הצורה ${ displaystyle y = kx + b}$, כאשר k ו- b הם מקדמים מספריים (למשל, 3, 10, -12, ${ displaystyle { frac {4} {3}}}$).
2. 2 כדי למצוא את השיפוע, עליך למצוא את הערך של k (מקדם ב- "x"). אם למשוואה שניתנה לך יש את הטופס ${ displaystyle y = kx + b}$, ואז כדי למצוא את השיפוע, אתה רק צריך להסתכל על המספר שלפני ה- "x". שים לב ש k (שיפוע) נמצא תמיד במשתנה הבלתי תלוי (במקרה זה, "x"). אם אתה מבולבל, בדוק את הדוגמאות הבאות:
   • ${ displaystyle y = 2x + 6}$
     • שיפוע = 2
   • ${ displaystyle y = 2-x}$
     • שיפוע = -1
   • ${ displaystyle y = { frac {3} {8}} x-10}$
     • שיפוע = ${ displaystyle { frac {3} {8}}}$
3. 3 אם למשוואה שניתנה לך יש צורה אחרת מאשר y=קאיקס+ב{ displaystyle y = kx + b}, לבודד את המשתנה התלוי. ברוב המקרים, המשתנה התלוי מסומן כ- "y", וכדי לבודדו ניתן לבצע פעולות של חיבור, חיסור, כפל ועוד. זכור כי יש לבצע כל פעולה מתמטית משני צידי המשוואה (כדי לא לשנות את ערכה המקורי). עליך להביא כל משוואה שניתנה לך לטופס ${ displaystyle y = kx + b}$... הבה נבחן דוגמא:
   • מצא את שיפוע המשוואה ${ displaystyle 2y-3 = 8x + 7}$
   • יש צורך להביא את המשוואה הזו לצורה ${ displaystyle y = kx + b}$:
     • ${ displaystyle 2y-3 (+3) = 8x+7 (+3)}$
     • ${ displaystyle 2y = 8x + 10}$
     • ${ displaystyle { frac {2y} {2}} = { frac {8x + 10} {2}}}$
     • ${ displaystyle y = 4x + 5}$
   • מציאת המדרון:
     • שיפוע = k = 4

שיטה 2 מתוך 3: חישוב השיפוע באמצעות שתי נקודות

1. 1 חישוב הגרף ושתי נקודות לחישוב השיפוע. אם אתה מקבל רק גרף של פונקציה (ללא משוואה), אתה עדיין יכול למצוא את השיפוע. לשם כך, אתה צריך את הקואורדינטות של כל שתי הנקודות בגרף זה; הקואורדינטות מוחלפות בנוסחה: ${ displaystyle { frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}}}$... כדי להימנע מטעויות בעת חישוב השיפוע, זכור את הדברים הבאים:
   • אם הגרף גדל, השיפוע חיובי.
   • אם הגרף יורד, השיפוע שלילי.
   • ככל שערך השיפוע גבוה יותר, הגרף תלול יותר (ולהיפך).
   • שיפוע קו ישר המקביל לציר אבצ'סיס הוא 0.
   • שיפועו של קו ישר המקביל לצו אינו קיים (הוא אינסופי).
2. 2 מצא את הקואורדינטות של שתי נקודות. בגרף, סמן שתי נקודות ומצא את הקואורדינטות שלהן (x, y). לדוגמה, נקודות A (2.4) ו- B (6.6) נמצאות בגרף.
   • בצמד קואורדינטות, המספר הראשון מתאים ל- "x" והשני ל- "y".
   • כל ערך "x" מתאים לערך מסוים "y".
3. 3 שווים x₁, י₁, איקס₂, י₂ לערכים המתאימים. בדוגמה שלנו עם נקודות A (2,4) ו- B (6,6):
   • איקס₁: 2
   • y₁: 4
   • איקס₂: 6
   • y₂: 6
4. 4 חבר את הערכים שנמצאו לנוסחת השיפוע. כדי למצוא את השיפוע משתמשים בקואורדינטות של שתי נקודות ומשתמשת בנוסחה הבאה: ${ displaystyle { frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}}}$... חבר את הקואורדינטות של שתי נקודות.
   • שתי נקודות: A (2.4) ו- B (6.6).
   • החלף את קואורדינטות הנקודות בנוסחה:
     • ${ displaystyle { frac {6-4} {6-2}}}$
   • פשט לתשובה חד משמעית:
     • ${ displaystyle { frac {2} {4}} = { frac {1} {2}}}$ = שיפוע
5. 5 הסבר על מהות הנוסחה. השיפוע שווה ליחס של השינוי בקואורדינטת "y" (שתי נקודות) לשינוי בקואורדינטת "x" (שתי נקודות). שינוי קואורדינטות הוא ההבדל בין הערכים של הקואורדינטות המתאימות של הנקודה הראשונה והשנייה.
6. 6 סוג אחר של נוסחה לחישוב השיפוע. הנוסחה הסטנדרטית לחישוב השיפוע היא: k = ${ displaystyle { frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}}}$... אך הוא יכול להיות בצורה הבאה: k = Δy / Δx, כאשר Δ היא האות היוונית "דלתא" המציינת את ההבדל במתמטיקה. כלומר, Δx = x_2 - x_1, ו- Δy = y_2 - y_1.

שיטה 3 מתוך 3: שימוש בחשבון דיפרנציאלי לחישוב המדרון

1. 1 למד לקחת נגזרות מפונקציות. הנגזרת מאפיינת את קצב השינוי של פונקציה בנקודה מסוימת המונחת על הגרף של פונקציה זו. במקרה זה, הגרף יכול להיות קו ישר או מעוקל. כלומר הנגזרת מאפיינת את קצב השינוי של הפונקציה ברגע מסוים. זכור את הכללים הכלליים לפיהם נגזרות נגזרות, ורק לאחר מכן המשך לשלב הבא.
   • קרא את המאמר כיצד לקחת נגזרת.
   • כיצד לקחת את הנגזרות הפשוטות ביותר, למשל, הנגזרת של המשוואה האקספוננציאלית, מתואר במאמר זה. החישובים המוצגים בשלבים הבאים יתבססו על השיטות המתוארות בו.
2. 2 למד להבחין בין בעיות בהן יש לחשב את השיפוע מבחינת הנגזרת של פונקציה. בבעיות לא תמיד מוצא למצוא את השיפוע או הנגזרת של פונקציה. לדוגמה, ייתכן שתתבקש למצוא את קצב השינוי של פונקציה בנקודה A (x, y). ייתכן שתתבקש גם למצוא את שיפוע המשיק בנקודה A (x, y). בשני המקרים, יש צורך לקחת את הנגזרת של הפונקציה.
   • לדוגמה, מצא את שיפוע הפונקציה ${ displaystyle f (x) = 2x ^ {2} + 6x}$ בנקודה A (4.2).
   • הנגזרת מסומנת לעתים קרובות כ ${ displaystyle f ’(x), y’,}$ אוֹ ${ displaystyle { frac {dy} {dx}}}$
3. 3 קח את הנגזרת של הפונקציה שניתנה לך. אינך צריך לשרטט גרף כאן - אתה רק צריך את משוואת הפונקציה. בדוגמה שלנו, קח את הנגזרת של הפונקציה ${ displaystyle f (x) = 2x ^ {2} + 6x}$... קח את הנגזרת לפי השיטות המתוארות במאמר שהוזכר לעיל:
   • נגזר: ${ displaystyle f ’(x) = 4x + 6}$
4. 4 החלף את הקואורדינטות של הנקודה הנתונה לנגזרת הנגזרת כדי לחשב את השיפוע. נגזרת הפונקציה שווה לשיפוע בנקודה מסוימת. במילים אחרות, f '(x) הוא שיפוע הפונקציה בכל נקודה (x, f (x)). בדוגמה שלנו:
   • מצא את שיפוע הפונקציה ${ displaystyle f (x) = 2x ^ {2} + 6x}$ בנקודה A (4.2).
   • נגזרת הפונקציה:
     • ${ displaystyle f ’(x) = 4x + 6}$
   • החלף את הערך עבור קואורדינטות ה- x של נקודה זו:
     • ${ displaystyle f ’(x) = 4 (4) +6}$
   • מצא את המדרון:
   • שיפוע הפונקציה ${ displaystyle f (x) = 2x ^ {2} + 6x}$ בנקודה A (4.2) הוא 22.
5. 5 במידת האפשר, בדוק את התשובה שלך בגרף. זכור כי לא ניתן לחשב את השיפוע בכל נקודה. חשבון דיפרנציאלי בוחן פונקציות מורכבות וגרפים מורכבים, כאשר לא ניתן לחשב את השיפוע בכל נקודה, ובמקרים מסוימים הנקודות אינן מונחות על הגרפים כלל. במידת האפשר, השתמש במחשבון גרפים כדי לבדוק שהשיפוע מחושב כראוי עבור הפונקציה שניתנה לך.אחרת, צייר משיק לגרף בנקודה הנתונה ושקול אם ערך השיפוע שמצאת תואם את מה שאתה רואה בגרף.
   • המשיק יהיה בעל שיפוע זהה לזה של גרף הפונקציות בנקודה מסוימת. על מנת לצייר משיק בנקודה נתונה, עבור ימינה / שמאלה לאורך ציר ה- X (בדוגמה שלנו, 22 ערכים מימין), ולאחר מכן למעלה יחידה אחת לאורך ציר Y. סמן את הנקודה ולאחר מכן חבר אותו לנקודה שניתנה לך. בדוגמה שלנו, חבר את הנקודות בקואורדינטות (4,2) ו- (26,3).