תוֹכֶן

• לדרוך
• שיטה 1 מתוך 1: חלק שני: שימוש בסכום 1 עד N כדי למצוא את הסכום של שני מספרים שלמים
• טיפים
• אזהרות

מספרים שלמים הם מספרים שלמים ללא שברים או עשרוניים. אם בעיה במתמטיקה מחייבת אותך לחשב את סכום מספר המספרים השלמים מ -1 לערך נתון N, אז אין צורך להוסיף כל ערך ביד. במקום זאת, כדי לחסוך זמן ומאמץ, השתמש במשוואה (N (N + 1)) / 2, כאשר N הוא המספר הגבוה ביותר בסדרה.

לדרוך

1. הגדר את המספר השלם הגדול ביותר כ- N. כאשר מוסיפים מספרים שלמים מ -1 למספר נתון נ., עליך להגדיר את N עצמו כמספר שלם חיובי. N הוא מספר שלם, ולכן הוא לא יכול להיות מספר עשרוני או שבר. N גם לא חייב להיות שלילי.
   • כדוגמה, נניח שאנחנו רוצים להוסיף את כל המספרים השלמים בין 1 ל 100. במקרה זה, 100 הוא הערך עבור N, מכיוון שזה המספר האחרון בסדרה שלנו, או, במילים אחרות, המספר הגדול ביותר בתוספת.
2. הכפל את N (N + 1) וחלק ב -2. כאשר הגדרת את הערך של N, החל ערך זה על המשוואה (N (N + 1)) / 2. משוואה זו מוצאת את סכום כל המספרים השלמים בין 1 ל- N.
   • בדוגמה שלנו, אנו מזינים 100, הערך עבור N, למשוואה. (N (N + 1)) / 2 ואז הופך להיות (100 (100 + 1)) / 2.
3. חשב את התשובה. הערך הסופי של משוואה זו הוא סכום המספרים שבין 1 ל- N.
   • בואו נפתור את הדוגמה הזו.
     • (100(100 + 1))/2 =
     • (100(101))/2 =
     • (10100)/2 =
     • 5050. האם סכום כל המספרים השלמים הוא 1 עד 100 5050.
4. הבן כיצד נגזרת המשוואה (N (N + 1)) / 2. התבונן שוב בבעיית המדגם. חלק את הרצף הזה 1 + 2 + 3 + 4 ... + 99 + 100 לשתי קבוצות - מ -1 ל 50 ואחת מ 51 ל- 100. אם תוסיף את המספר הראשון בקבוצה הראשונה (1) למספר האחרון ב- בקבוצה השנייה (100), אתה מקבל 101. אתה מקבל את אותה התשובה (101) עם 2 + 99, 3 + 98, 4 + 97, וכן הלאה. אם נוסיף כל מספר בקבוצה הראשונה למספר המקביל בקבוצה השנייה, נקבל 50 זוגות מספרים עם אותו סכום: 101. אז 50 x 101 = 5050, הסכום עבור המספרים השלמים מ -1 עד 100 שימו לב כי 50 הוא חצי מ- 100, ו- 101 הוא 100 + 1. למעשה, תצפית זו מחזיקה בסכום של כל מספר שלם חיובי - ניתן לחלק את תוספת הרכיבים לשתי קבוצות, ואת המספרים בקבוצות אלה ניתן לחלק. מוקצים זה לזה באופן שלכל זוג יש את אותו הסכום. שים לב כי עבור רצף מוזר של מספרים שלמים, נשאר מספר אחד - זה לא משפיע על התשובה הסופית.
   • באופן כללי, אנו יכולים לומר כי עבור כל מספר N, סכום המספרים מ- 1 ל- N שווה ל- (N / 2) (N + 1). הצורה הפשוטה של ​​משוואה זו היא (N (N + 1)) / 2, שהוא סכום משוואת המספרים השלמים.

שיטה 1 מתוך 1: חלק שני: שימוש בסכום 1 עד N כדי למצוא את הסכום של שני מספרים שלמים

1. החליטו אם אתם מוסיפים כולל או בלעדי. פעמים רבות המטרה היא לא לסכם טווח של מספרים שלמים בין 1 למספר נתון, אך תתבקש למצוא את הסכום של טווח מספרים שלמים בֵּין שני מספרים שלמים N.₁ ו- N₂, שם נ₁ > נ₂ ושניהם הם> 1. התהליך למציאת סכום זה הוא פשוט יחסית, אך לפני שנתחיל, עלינו להחליט האם הסכום כולל או בלעדי - במילים אחרות, האם ה- N₁ ו- N₂ כולל או רק המספרים השלמים שביניהם, מכיוון שהנוהל שונה במקצת זה מזה במקרים אלה.
2. לקביעת סכום המספרים השלמים בין שני מספרים N.₁ ו- N₂ ראשית אנו קובעים את הסכום של כל ערך של N בנפרד ומחסירים אותו. באופן כללי, אתה רק צריך לחסר את סכום הערך N הקטן יותר מסכום הערך N הגדול יותר כדי למצוא את התשובה. למרות זאת, כאמור לעיל, חשוב לדעת האם תוספת זו כוללת או בלעדית. כולל תוספת מחייב אותך להפחית 1 מהערך N.₂ לפני הכניסה אליו למשוואה, בעוד שמניין בלעדי מחייב אותך להפחית 1 מהערך עבור N.₁.
   • בוא נגיד את כָּלוּל סכום המספרים השלמים בין N.₁ = 100 ו- N₂ = 75. במילים אחרות, עלינו למצוא את סכום הסדרה 75 + 76 + 77 ... + 99 + 100. לשם כך אנו לוקחים את סכום המספרים השלמים מ -1 ל- N₁והחסר את הסכום מהמספרים השלמים מ -1 ל- N.₂ - 1 (זכרו שאנו מוסיפים כולל, אז גרעו 1 מ- N.₂), ולעבד את זה ככה:
     • (נ₁(נ₁ + 1)) / 2 - ((N₂-1) ((N₂-1) + 1))/2 =
     • (100(100 + 1))/2 - (74(74 + 1))/2 =
     • 5050 - (74(75))/2 =
     • 5050 - 5550/2 =
     • 5050 - 2775 = 2275. הסכום הכולל של המספרים השלמים שבין 75 ל 100 הוא 2275.
   • עכשיו בואו בִּלעָדִי להתחיל לספור. המשוואה נותרה זהה, אלא שאנו מפחיתים 1 מ- N במקרה זה₁ במקום N.₂:
     • ((נ₁-1) ((N₁-1) + 1)) / 2 - (N₂(נ₂ + 1))/2 =
     • (99(99 +1))/2 - (75(75 + 1))/2 =
     • (99(100))/2 - (75(76))/2 =
     • 9900/2 – 5700/2 =
     • 4950 - 2850 = 2100. הסכום הבלעדי של המספרים השלמים שבין 75 ל 100 הוא 2100.
3. להבין מדוע תהליך זה עובד. שקול את סכום המספרים השלמים מ -1 עד 100 כ -1 + 2 + 3 ... + 98 + 99 + 100 ואת סכום המספרים השלמים מ -1 עד 75 כ -1 + 2 + 3 ... + 73 + 74 + 75 הסכום הכולל של המספרים השלמים מ- 75 ל- 100 פירושו 75 + 76 + 77 ... + 99 + 100. הסכום של 1-75 ו- 1-100 זהה עד 75 -– באותה נקודה הסכום של 1 -75 'מפסיק' וסכום של 1 - 100 ממשיך, עם ... 75 + 76 + 77 ... + 99 + 100. לכן, חיסור סכום המספרים השלמים בין 1-75 מסכום המספרים השלמים מ 1-100 לנו את היכולת להפריד את סכום המספרים השלמים בין 75-100.
   • עם זאת, אם נוסיף כולל, עלינו להשתמש בסכום 1-74 במקום בסכום 1-75 כדי לוודא ש 75 כלול בסכום הסופי.
   • כמו כן, כאשר מוסיפים באופן בלעדי, אנו משתמשים בסכום של 1-99, במקום בסכום של 1-100, כדי לוודא ש- 100 לא נכללים בסכום. אנו יכולים להשתמש בסכום של 1-75 מכיוון שהחסרת סכום זה מהסכום של 1-99 אינה כוללת את המספר 75 מהסכום הסופי שלנו.

טיפים

• התוצאה היא תמיד מספר שלם, מכיוון ש- n או n + 1 שווים ולכן ניתן לחלק אותם ל- 2.
• בקיצור: SUM (1 עד n) = n (n + 1) / 2
• SUM (a עד b) = SUM (1 עד b) - SUM (1 ל- a-1).
  
  

אזהרות

• אמנם הכללות למספרים שליליים אינן קשות במיוחד, אך הסבר זה מוגבל לכל המספרים השלמים החיוביים N, כאשר N הוא לפחות 1.